C状态空间表达式实用

会计学1C状态空间表达式实用2023/1/172状态空间表达式-例1注：传递函数反映了系统输入量与输出量的关系。没有表达出系统内部变量之间的变化及其与输入量与输出量间的关系。第2页/共88页第1页/共88页2023/1/173状态空间表达式-例1注：通过状态方程可以描述系统状态与输入量之间的关系，通过输出方程可以得到系统状态与输出量的关系，输入和输出量的关系可以由状态方程和输出方程联合得到。第3页/共88页第2页/共88页2023/1/174状态空间表达式-例2

月球软着陆问题：飞船靠发动机产生的与月球重力方向相反的推力F，控制飞船软着陆（着陆时的速度为0）选择一个发动机推力F的控制方案，使燃料消耗最少。解：设t时刻飞船质量为m(t)，距月球表面距离为h(t)，垂直速度为v(t)，飞船自身质量为M，所带燃料为Fu。系统的初始条件为：h(0)=h0,v(0)=v0,m(0)=M+Fu

系统的终止条件为：h(tf)=0,v(tf)=0例2第4页/共88页第3页/共88页2023/1/175状态空间表达式-例2第5页/共88页第4页/共88页2023/1/176状态空间表达式-例1、例2总结描述系统的运动规律常用的数学描述方式常微分方程；传递函数；一阶常微分方程组。常微分方程和传递函数将系统的输出量与输入量联系起来，而系统其他的独立变量（内部和中间变量）没有描述。选择一组描述系统行为特征的变量构成一阶常微分方程组来描述系统，可以反映系统内部变量的变化和系统的运动状态，还可以方便处理初始条件。第6页/共88页第5页/共88页2023/1/177状态空间表达式-基本概念状态变量：一组能够完全表征系统运动状态的相互独立的最小个数的变量。

x1(t),x2(t),…,

xn(t)

状态向量：以状态变量为分量构成的向量，维数与状态变量的个数相同，一般等于系统中储能原件的个数。

xT(t)=(x1(t),x2(t),…,

xn(t))状态空间：以状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的欧氏空间。第7页/共88页第6页/共88页2023/1/178状态空间表达式-基本概念状态方程：描述状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)与输入量u(t)之间的关系的一阶常微分方程组。

输出方程：描述状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)与输出变量y(t)间的关系的表达式。状态空间表达：状态方程与输出方程统称为状态空间表达式。第8页/共88页第7页/共88页2023/1/179状态空间表达式-基本概念状态变量的特点独立性：状态变量之间线性独立；多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案；等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换；现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量；抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义。第9页/共88页第8页/共88页2023/1/1710状态空间表达式-基本概念状态空间表达式的一般形式第10页/共88页第9页/共88页2023/1/1711状态空间表达式-基本概念第11页/共88页第10页/共88页2023/1/1712状态空间表达式-基本概念第12页/共88页第11页/共88页2023/1/1713状态空间表达式-基本概念

第13页/共88页第12页/共88页2023/1/1714系统的图示加法器：积分器：放大器：第14页/共88页第13页/共88页2023/1/1715系统的方框图∫B(t)C(t)A(t)D(t)表示系统信号的传递关系+第15页/共88页第14页/共88页2023/1/1716系统的模拟结构图解:写方程

模拟结构图用来反映系统状态变量间的信息传递关系画出例1的模拟结构图例3第16页/共88页第15页/共88页2023/1/1717例3∫∫uy--第17页/共88页第16页/共88页2023/1/1718

状态空间表达式-建立方法多种视具体情况而定由物理机理分析直接建立由微分方程建立由传递函数建立由物理机理分析直接建立的步骤由牛顿定理，基尔霍夫定律等写出运动方程选择适当状态变量写出状态空间表达式第18页/共88页第17页/共88页2023/1/1719状态空间表达式-建立由微分方程建立微分方程不含有输入项的导数项；微分方程含有输入项的导数项。微分方程不含有输入项的导数项.

传递函数为第19页/共88页第18页/共88页2023/1/1720∫uy∫∫∫+++-第20页/共88页第19页/共88页2023/1/1721整理得能控标准型第21页/共88页第20页/共88页2023/1/1722状态空间表达式-建立另一种取状态变量的方法第22页/共88页第21页/共88页2023/1/1723所以有整理得能观标准型第23页/共88页第22页/共88页2023/1/17242.3状态空间表达式的建立二.由微分方程建立微分方程含有输入项的导数项（传函中有零点）即微分方程为一般情况m≦n第24页/共88页第23页/共88页2023/1/1725

从简单的入手:常微分方程为状态空间表达式-建立

二.由微分方程建立

传递函数：第25页/共88页第24页/共88页2023/1/1726第26页/共88页第25页/共88页2023/1/1727将上图改为一个等效图uyx1x2x3-第27页/共88页第26页/共88页2023/1/1728系统的状态空间表达式需要确定系数第28页/共88页第27页/共88页2023/1/1729用代数方法确定待定系数由状态变量选取有其中x4=-a0x1-a1x2-a2x3为辅助状态，带入方程后

第29页/共88页第28页/共88页2023/1/1730比较上式两边的系数后第30页/共88页第29页/共88页2023/1/1731整理有解此方程即可得第31页/共88页第30页/共88页2023/1/1732=状态空间表达式为：推广到n维：第32页/共88页第31页/共88页2023/1/1733

由微分方程所描述的系统为试写出其状态空间表达式。解：a2=18,a1=192,a0=640b3=0,b2=0,b1=160,b0=640

例4β3=b3=0;β2=b2-a2β3=0β1=b1-a2β2-a1β3=160β0=b0-a2β1-a1β2-a0β3

=640-18*160=-2240第33页/共88页第32页/共88页34系统的状态空间表达式为：第34页/共88页第33页/共88页2023/1/1735另一种实现方法第35页/共88页第34页/共88页2023/1/1736第36页/共88页第35页/共88页2023/1/1737第37页/共88页第36页/共88页2023/1/1738状态空间表达式-建立由传递函数建立传递函数微分方程状态空间表达式模拟结构图分解第38页/共88页第37页/共88页2023/1/1739状态空间表达式-建立由递函建立（利用分解建立状态空间表达式）串联分解：将传函分解为若干个一阶模块，由一阶模块绘出状态模拟结构图求得状态空间表达式第39页/共88页第38页/共88页2023/1/1740

系统传函为g(s)=

试用串联分解求状态空间表达式。解：uyb1yub1u11y例5第40页/共88页第39页/共88页2023/1/1741b1u11yu

b1y

p1p2p3x1

x2

x3

第41页/共88页第40页/共88页2023/1/1742有

=p1x1+b1u2=x1+p2x23=x1+(p2-z1)x2+p3x3y=x1+(p2-z1)x2+(p3-z2)x3

整理有：

第42页/共88页第41页/共88页2023/1/1743状态空间表达式的建立由传递函数建立（并联分解）3、并联分解：1）极点互异的情况2）极点相重的情况第43页/共88页第42页/共88页2023/1/1744并联分解1）极点互异的情况当p1…pn两两互异时，传函可分解为：

其中

，第44页/共88页第43页/共88页2023/1/1745此时，系统的状态模拟图可绘为：uy第45页/共88页第44页/共88页2023/1/1746如图所选状态，则有：

p1c1pncnxnx1uy第46页/共88页第45页/共88页2023/1/1747并联分解2）极点相重的情况此时传函可分解为：

其中

第47页/共88页第46页/共88页2023/1/1748此时取状态为：

有

第48页/共88页第47页/共88页2023/1/1749系统的状态方程和输出方程分别为：第49页/共88页第48页/共88页2023/1/1750已知系统传函为：

求状态空间表达式。解：将G(s)分解为：

取以上4个系数：

取

例6第50页/共88页第49页/共88页2023/1/1751整理有：

第51页/共88页第50页/共88页2023/1/1752小结建立状态空间表达式的方法物理机理直接建立通过微分方程建立不含有输入导数项含有输入导数项通过传递函数建立

串联分解并联分解作业:p551-5,1-6第52页/共88页第51页/共88页2023/1/1753状态空间表达式-传函、传函阵状态空间表达式和传递函数都是系统的数学描述，他们之间是否有关系？什么样的关系？对于多变量系统(MIMO)是否有类似传递函数的描述形式？第53页/共88页第52页/共88页2023/1/1754状态空间表达式-传函、传函阵第54页/共88页第53页/共88页2023/1/1755状态空间表达式-传函、传函阵第55页/共88页第54页/共88页2023/1/1756状态空间表达式-传函、传函阵第56页/共88页第55页/共88页2023/1/1757状态空间表达式-传函、传函阵u1u2up。。。y1y2yq。。。第57页/共88页第56页/共88页2023/1/1758状态空间表达式-传函、传函阵第58页/共88页第57页/共88页2023/1/1759状态空间表达式-组合系统系统串联连接∑1:A1,B1,C1,D1∑2:A2,B2,C2,D2u=u1y1=u2y2=y应满足的条件：第59页/共88页第58页/共88页2023/1/1760状态空间表达式-组合系统第60页/共88页第59页/共88页2023/1/1761状态空间表达式-组合系统第61页/共88页第60页/共88页2023/1/1762状态空间表达式-组合系统应满足的条件：系统并联连接∑1:A1,B1,C1,D1∑2:A2,B2,C2,D2u=u1y1y=y1+y2u=u2y2第62页/共88页第61页/共88页2023/1/1763状态空间表达式-组合系统第63页/共88页第62页/共88页2023/1/1764状态空间表达式-组合系统系统反馈连接∑1:A1,B1,C1∑2:A2,B2,C2u1=u-y2y=y1u2=y1y2应满足的条件：第64页/共88页第63页/共88页2023/1/1765状态空间表达式-组合系统第65页/共88页第64页/共88页2023/1/1766状态空间表达式-组合系统第66页/共88页第65页/共88页2023/1/1767状态空间表达式-组合系统整理可得到：另一种形式：请同学自己验证！第67页/共88页第66页/共88页2023/1/1768状态空间表达式-线性变换重新讨论例1：第68页/共88页第67页/共88页2023/1/1769状态空间表达式-线性变换第69页/共88页第68页/共88页2023/1/1770状态空间表达式-线性变换第70页/共88页第69页/共88页2023/1/1771状态空间表达式-线性变换线性变换下的不变量：系统矩阵A的特征根不变第71页/共88页第70页/共88页2023/1/1772状态空间表达式-线性变换线性变换下的不变量：系统的传递函数矩阵不变第72页/共88页第71页/共88页2023/1/1773状态空间表达式-线性变换矩阵的相似标准型对角阵：A阵的特征根为两两互异的实根第73页/共88页第72页/共88页2023/1/1774结论2：方阵A的特征根为两两互异的实根时，必存在可逆矩阵P使得PAP-1=Diag(λ1,λ2,…,λn)。其中P-1=(α1,α2,…,αn),λ1,λ2,…,λn是A阵的特征根，α1,α2,…,αn是相应的特征向量。第74页/共88页第73页/共88页2023/1/1775状态空间表达式-线性变换第75页/共88页第74页/共88页2023/1/1776状态空间表达式-线性变换例7第76页/共88页第75页/共88页2023/1/1777状态空间表达式-线性变换矩阵的相似标准型Jordan标准型：方阵A的特征根有重根。第77页/共88页第76页/共88页2023/1/1778第78页/共88页第77页/共88页2023/1/1779状态空间表达式-