B微分形式的基本方程解析

会计学1B微分形式的基本方程解析2B3.1.1流体运动的连续性原理

根据质量守恒定律，不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，称其为流体运动的连续性原理。

由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证：动脉系统毛细管系统静脉系统心脏控制体---流体流过的固定边界包含的体积控制面---固定边界构成的面—欧拉观点第1页/共84页3B3.1.2微分形式的连续性方程•

微分形式的流体连续性方程化为对长方形控制体元，在单位体积内三个坐标方向净流出的质流量应等于密度的减少率上式表明：一点邻域内流体体积的相对膨胀率等于流体密度的相对减少率。方程的限制条件：同种流体。•

对不可压缩流体，相对膨胀率处处为零：第2页/共84页4连续性方程质量守恒定律在流体力学中的具体形式。yxzOdxdydzdt时间内，流进控制体的流体质量为流出的流体质量为dt时间x轴向流出的净质量：第3页/共84页5同理：y轴向的净流出量：z轴向的净流出量：六面体的净流出量：连续性方程

据质量守恒定律，dt时间内流出控制体的总净流质量应等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即：微分形式的连续性方程第4页/共84页6连续性方程质量守恒方程体积的相对膨胀率对于速度的散度！第5页/共84页7连续性方程密度的质点导数连续性方程流体体积的相对膨胀率等于流体密度的相对减少率第6页/共84页8连续性方程连续性方程定常、可压缩柱坐标系不可压缩ρ=const第7页/共84页9例已知x方向的速度分布，试求y方向的速度分布不可压二维连续性方程连续性方程点涡流动第8页/共84页10auv例已知a点的速度u=10.38m/s,x方向的速度梯度试求a点上方5mm处y方向的速度v第9页/共84页11流场中的分布力表面力

切向应力

重力场：

重力势：法向应力p

体积力单位质量力重力、惯性力单位体积力电磁力B3.2作用在流体微元上的力第10页/共84页12质量力

作用在流体的每个质点（微团）上并与流体质量成正比的力称为质量力。A点附近取微团dm，dV，dF∝dm

，称极限为作用在A点的单位质量力。第11页/共84页13均质力：f，X，Y，Z的单位为m/s2非均质力：特别地：重力场中X＝0，Y＝0，Z＝－gf在三个坐标轴上的分量用（X，Y，Z）表示!第12页/共84页14

表面力

表面力分布在流体面上，是一种接触力。定义表面力的面积密度，即单位面积上流体所承受的表面力为应力。正应力/压强切应力第13页/共84页15满足上式的质量力为有势质量力

重力场与有势力特别地：重力场中X＝0，Y＝0，Z＝－g；重力势函数W第14页/共84页16流体静力学

流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条件求静压强分布，并求静水总压力。静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系（静止）或非惯性系（相对平衡）静止的情况，流体质点之间肯定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流体或理想流体。第15页/共84页17流体静压强及其特性

流体静压强流体处于静止或相对静止时的压强。

静压强定义属于应力定义其它单位：kPa，MPa，bar（巴）等。

1bar＝105Pa=0.1MPa第16页/共84页18

方向性静压强的方向垂直于作用面并指向流体内部！原因:（1）静止流体不能承受剪切力，即，故p垂直于受压面；

（2）因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。

静压强的两个特性第17页/共84页19

作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关！

各向等值性表面力合力：质量力合力：xzyOABCPxPyPzPndxdydzdAx

dAy

dAz

x方向平衡第18页/共84页20

是外法线方向压力的合力Pp=const第19页/共84页21流体或固体中任一点的应力应力/压强DA第1个下标作用面方向第2个下标力的方向B3.2.3流体应力场第20页/共84页22任一点的应力作用力与反作用力xzyOBCdxdydzA⊿V是比⊿A高一阶的小量应力转换关系第21页/共84页23应力转换关系剪应力互等第2个下标→力的方向力矩平衡第22页/共84页24

作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关！剪应力等于零第23页/共84页25B3.2作用在流体微元上的力B3.2.3流体应力场1.一点的表面应力矩阵（适用于固体或流体）该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。2.应力矩阵的常用表达式（适用于流体）在运动粘性流体中压强压强项偏应力项第24页/共84页26B3.3微分形式的动量方程牛顿第二定律用于单位体积流体元，并运用质点导数公式，可得

体积力表面力梯度质量密度加速度第25页/共84页27

如果⊿V是比⊿A高一阶的小量体积微元质量力合力面积微元面力合力微元的平衡则微元的平衡化为：质量力

表面力

质量力如何与面力平衡??第26页/共84页28一点的表面应力矩阵表面上的应力方向上的应力剪应力互等第27页/共84页29长方体六个面上x方向上的应力dxdzdydydxdzxyz第28页/共84页30粘性流体运动微分方程式

x方向表面力的合力流体微元X向表面力第29页/共84页31

粘性流体运动微分方程式

连续介质力学基本运动平衡方程体积力应力梯度或散度

加速度应力分量散度

无粘第30页/共84页32粘性流体运动微分方程式

质量力表面力散度质量密度加速度以应力表示的流体运动微分方程体积力第31页/共84页33

粘性流体运动微分方程式速度梯度矩阵

对称反对称由于应力矩阵是对称的应力矩阵只依赖对称的变形率矩阵第32页/共84页34

应力矩阵分解为在运动粘性流体中压强偏应力矩阵变形率矩阵第33页/共84页35

粘性流体运动微分方程式

理想或静止流体中：实际（粘性）流体中：可互不相等，但定义某点的压强为：p与该点平面上的法应力（附加法向应力）有一定的偏差-第34页/共84页36z,y,z是主应力坐标系第35页/共84页37B3.4纳维－斯托克斯方程对均质不可压缩（常数）牛顿流体(常数），N－S方程为矢量式质量密度加速度＝体积力＋压差力＋粘性力第36页/共84页38

牛顿粘性定律牛顿粘性定律的逻辑推广

应力与应变率的关系/本构关系假设应力与应变率的关系是线性的本构关系不可压流体的本构关系第37页/共84页39

斯托克斯假设应力与应变率的关系如下线性的本构关系可压流体的本构关系第38页/共84页40

粘滞系数不变第39页/共84页41

粘滞系数不变

粘性流体的运动微分方程纳维－斯托克斯方程拉普拉斯算子第40页/共84页42粘性流体的运动微分方程（N-S方程）

连续介质力学平衡方程线性的本构关系粘滞系数不变纳维－斯托克斯方程不可压缩流体质量密度×

加速度＝体积力＋压差力＋粘性力第41页/共84页43

欧拉运动方程对理想流体，N-S方程可简化为欧拉方程：纳维－斯托克斯方程连续性方程④p③uz①ux②uy⑤ρ补充一个状态方程ρ=f（p）5个未知数，5个方程不可压ρ=const，4个未知数，4个方程第42页/共84页44

流动问题的初始条件和边界条件1初始条件时恒定流时无初始条件！！！B3.5边界条件与初始条件

第43页/共84页45常见边界条件(1)固体壁面粘性流体不滑移条件v=v固

流体法向速度连续vn=v

n固

(2)外流无穷远条件:v=v∞，

p=p∞

(3)内流出入口条件:v

=vin(out)，

p=p

in(out)

(4)自由面条件:(5)两种粘性流体交界面：速度、压强、切应力连续理想流体实际流体B3.5边界条件与初始条件

第44页/共84页46

流体平衡微分方程（欧拉平衡微分方程）物理意义：流体处于平衡状态时，单位质量流体所受的表面力梯度与体积力彼此相等。静止流体平衡微分方程体积力压力梯度第45页/共84页47B3.6.1静止重力流体中的压强分布在重力场中由N－S方程可得说明：在静止重力流体中，铅垂方向的压强梯度是由单位体积流体的重力决定的，积分上式可得积分常数c由边界条件决定。第46页/共84页48或者写为：压强全微分平衡方程全微分形式压强梯度积分第47页/共84页49重力场中X＝0，Y＝0，Z＝－g；压力能+重力势能=常数

p0为自由面上的压强(1)在垂直方向，压强与淹深成线性关系(2)水平方向压强保持常数均质静止液体中压强分布特征：重力势函数W静止流体液体压强公式第48页/共84页50第49页/共84页51数学温习：等位面标量场ψ(x,y,z,t)其值相等的点构成的的面，为等位面梯度的方向与等位面的法线重合ψ(x,y,z,t)=常数梯度的方向即等位面的法线方向梯度的方向是函数ψ变化最快的方向等压面第50页/共84页52等压面流体中各点压强相等的面（平面或曲面）2

等压面与质量力正交。两个特点：1等压面即等势面（等压面与等势面重合）当质量力只有重力时等压面为水平面。可判断等压面的形状p(x,y,z,t)=常数质量力的方向是压力梯度的方向第51页/共84页53静止液体中的等压面推论：

自由液面为水平面也为等压面；

分界面为水平面也为等压面；压强的大小与容器的形状无关；存在多种液体时，满足静止、同种、连续三个条件的水平面是等压面。即等压面为水平面。N=Wk第52页/共84页54地面反作用力N与容器底部作用力pA的差别N=W

刚体受力简图液柱受力简图N0=pA>W

?Ah空气压强p0的合力为零任意常矢量的封闭积分为零第53页/共84页55帕斯卡原理—压强等值传递

式中hAB为A、B

两点的水深差。

若在A点增加一个压强值ΔpA，A点的压强变为于是，B点的压强则应为

上式说明，静止液体中任意点的压强增值将等值地传递到对于液体中任意A、B两点，有各点。第54页/共84页56

帕斯卡原理压强等值传递规律应用：水压机，液压传动

平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液体内的一切点上；即当p0增大或减小时，液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值。即：帕斯卡（Pascal）

(1623-1662)法国数学家物理学家A1A2FR

δp

δp第55页/共84页57帕斯卡原理4两拔千斤A1A2F

δp

δp小活塞面积A1=2cm2大活塞面积A2=0.4m2小活塞上加力2.5N大活塞上得到的总压力第56页/共84页58流体静力学基本方程的意义几何意义（水力学意义）

物理意义z

位置高度（位置水头）单位重量流体具有的位能压强高度（压强水头）单位重量流体具有的压能测压管水面到基准面的高度（测压管水头）单位重量流体具有的总势能第57页/共84页59

单位质量流体机械能守恒式重力势能总势能

水头形式

常用形式位置水头总水头（测压管水头）限制条件:（1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。压强势能压强水头第58页/共84页60物理意义：仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。在均质（g=常数）、连续、静止的液体中，水平面（z1=z2=常数）必然是等压面（p1=p2

=常数）。第59页/共84页61压强分布图

根据静力学基本方程绘制静水压强大小；静水压强垂直于受压平面且为压应力。其绘制规则为：

①按一定比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小；

②用箭头标出静水压强的方向，并与该处受压面垂直。ABCρg(h左-h右)第60页/共84页62压强分布图γ1h1+γ2(h-h1)γ1h1+γ2(h2-h1)+γ3(h-h2)

γ1hγ1h1h2h1γ1γ2γ3γ1h1+γ2(h2-h1)h3第61页/共84页63绝对压强（absolutepressure)—以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强值，用符号pabs表示

相对压强（gagepressure)—以当地大气压为基准起算的压强值，用符号p表示。若设当地大气压强为pa，则绝对压强与相对压强间有关系

压强的度量与测压仪表度量压强的两种基准工程中使用的一种测量压强的仪器—压力表。由于该表以大气压作为0点，故该表所测的压强值为相对压强。相对压强又称表压强。第62页/共84页64普通工程设备都处于大气压强作用下，采用相对压强往往使计算简化。如开口容器中液面下某点的压强计算可简化为压强的度量与测压仪表空气压强pa的合力为零第63页/共84页65

真空压强或

真空压强又可表示为相对压强的负值，故又称负压。真空（vaccum)—绝对压强小于当地大气压的状态。真空压强pv

—

绝对压强小于大气压强的绝对值压强的度量与测压仪表

真空高度

真空度?第64页/共84页66压强关系图当地大气压相对压强

真空压强或真空度?压强的度量与测压仪表完全真空p状态一状态二pabs1p1pabs2pvpa绝对压强真空压强？术语真空度在不同的意义上使用？第65页/共84页67

当某点的绝对压强小于大气压，即处于真空状态时，真空值的大小也可用液柱高度即真空度表示出来，如图所示。hv由于密闭水箱内为真空，水槽为开口通大气，于是水槽中的水在玻璃管两端压强差的作用下上升了hv

的高度。或hv称为真空高度，简称真空度。pabspa压强的度量与测压仪表第66页/共84页68压强的度量与测压仪表压强的度量单位

应力单位国际单位制：帕（Pa），千帕（kPa或103Pa），兆帕（MPa或106Pa）；大气压的表示标准大气压（atm）：1atm相当于101325Pa；

工程大气压（at）：

1at相当于98000Pa

液柱高水柱高：1标准大气压可维持10.33mH2O高，

1工程大气压可维持10mH2O高；水银柱：1标准大气压可维持760mmHg高，

1工程大气压可维持736mmHg高。1bar＝105Pa=0.1MPa第67页/共84页69压强的度量与测压仪表水柱高：1标准大气压可维持10.33mH2O高1工程大气压可维持10mH2O高水银柱：1标准大气压可维持760mmHg高1标准大气压相当于工程大气压30m高的建筑供水大约需要0.4Mpa的绝对压力20m高的建筑供水大约需要2Bar的相对压力第68页/共84页70压强的度量与测压仪表液柱式测压计

测压管是以液柱高度为表征测量点压强的连通管，一端接于测点，另一端开口通大气的竖直玻璃管。优点：结构简单缺点：只能测量较小的压强，不适合测真空。hpρA1工程大气压可维持10mH2O高测出测点的相对压强，即第69页/共84页71连通器内的等压面因为再由所以等压面的条件：连通的相同液体的水平面由水静力学基本方程：得因为液柱式测压计在连通器内做两条水平线MN与M1N1，最低点为d。ρmρM1N1MNdh1h2第70页/共84页72由于MN为等压面，求得水箱液面压强

过M、N两点取水平等压面，根据水静力学基本方程，得压强的度量与测压仪表ρρmp0

h

hm

M

N

U型管测压计在U型管内装入分界面清晰的工作液体，常用水银。U型管测压计用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大，并可测真空度。第71页/共84页73压强的度量与测压仪表U型管测压计第72页/共84页74K称为微压计常数。一般K＝0.2、0.3、0.4、0.6、0.8压强的度量与测压仪表

微压计用于测定微小压