Bezier曲线计算机图形学

会计学1Bezier曲线计算机图形学Bézier曲线和曲面法国工程师Bézier使用逼近样条为雷诺汽车公司设计汽车外形而开发。数学基础简单，容易实现

Bézier样条在各种CAD系统、大多数图形系统、相关绘图和图形软件包中有广泛应用第1页/共42页BézierCurves定义控制点:

pk=(xk,yk,zk),k=0,1,···n.构造P(u)Bk,n(u)是Bernstein(伯恩斯坦)函数:C(n,k)是二项式系数:Prescribed:00=1,0!=1.Bernsteinbasis第2页/共42页4Vectorequation第3页/共42页2023/1/175两点创建1次Bezier曲线n=1,

矩阵方程:P0

到P1直线。第4页/共42页2023/1/176TheTwoFirstDegreeBlendingFunctions1次Bernstein函数第5页/共42页2023/1/177Whenn=2, Thematrixformis:Thisisaparabola(抛物线)startingatP0andendingatP1.And:3点创建2次Bezier曲线第6页/共42页2023/1/178BlendingFunctions

andtheCurveExamples2次Bernstein函数第7页/共42页2023/1/1793次

BézierCurvesFourpointscanspecifyingacubicBéziercurve.P(t)=B0,3P0+B1,3P1+B2,3

P2+B3,3P3 =(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3 (0t

1)第8页/共42页2023/1/17103次BézierCurves矩阵表达式第9页/共42页2023/1/1711 Thatis:代数形式第10页/共42页Asarule,aBézierCurveisapolynomialofdegreeonelessthanthenumberofcontrolpointsused:

twopointsgenerateastraightline,

threepointsgenerateaparabola,

fourpointsacubiccurve,andsoforth.UkUn-k第11页/共42页2023/1/1713已知Bezier曲线特征多边形的顶点P0（1,2）、P1（3,4）、P2（5,6）、P3（7，8），求Bezier曲线的参数方程P(t)（矩阵表示）；计算t=0.5，曲线上点P(0.5)

重要试从Bèzier曲线的定义式写出三次Bèzier曲线的矩阵表示。（本题15分，只写出结果者得2分）UkUn-k第12页/共42页2023/1/1714Examplesprog8BezierCurve.exe第13页/共42页2023/1/1715BézierCurves的性质EndpointInterpolation(端点插值)AffineInvariance(仿射不变性)Convex-hullProperty(凸包性)LinearPrecision(线性)Variation-diminishingProperty(变差缩减性)DerivativesofBézierCurves(导数)掌握第14页/共42页2023/1/1716端点插值EndpointInterpolationABézierCurvedosenotgenerallypassthrough,orinterpolate,allofthecontrolpoints,butitalwaysinterpolatesthefirstandthelastpoint.第15页/共42页2023/1/1717P0P3P2P1Q0Q3Q1Q2AffineInvariance(仿射不变性)第16页/共42页2023/1/1718Convex-hullProperty(凸包性)ABézierCurveneverwandersoutsideitsconvexhull.第17页/共42页2023/1/1719LinearPrecision（线性）Ifallofthecontrolpointsareplacedinastraightline,theirconvexhullcollapses(压缩)toaline.TheBézierCurveistherefore“trapped”insidethishullandsomustalsobeastraightline.第18页/共42页2023/1/1720Variation-diminishingProperty

(变差缩减性)第19页/共42页2023/1/1721DerivativesofBézierCurves导数ThefirstderivativeofaBézierCurveisSothevelocity(thefirstderivative)isanotherBézierCurve,builtonanewsetofcontrolvectorspk.第20页/共42页2023/1/1722Whent=0,t=1,onecanevaluatethederivativesatthestartingpointandtheendingpoint:Thus,theslopeatthebeginningofthecurveisalongthelinejoiningthefirsttwocontrolpoints,andtheslopeattheendisalongthelinejoiningthelasttwoendpoints.第21页/共42页2023/1/1723因此，曲线在起点处的切线方向是第一第二控制点的连线，长度是其n倍；曲线在终点处的切线方向是倒数第二第一控制点的连线，长度是其n倍。端点的二阶导数取决于与其最靠近的三个控制点，与其他点无关。事实上，r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关。

第22页/共42页2023/1/1724使用BézierCurves设计

ClosedBéziercurve（封闭）Topassclosertoagivenpoint（靠近曲线）PiecinglowerdegreeBéziercurvesections

（Bezier曲线拼接）第23页/共42页2023/1/1725ClosedBéziercurve第24页/共42页2023/1/1726ToPassClosertoGivenPoint第25页/共42页2023/1/1727Bezier曲线拼接G0:Pn=Q0；(ai=

Pi-

Pi-1

bj=

Qj-

Qj-1)G1:b1=an

,

thatis,

Pn-1,

Pn=Q0

,

Q1arecollinear.C1:b1=an,thatis,

Pn=Q0andQ1=Pn+(Pn-Pn-1).C2:basedonC1,andQ2=Pn-2+4(Pn-Pn-1).第26页/共42页2023/1/1728Chapter8

Three-DimensionalObjectRepresentations贝塞尔曲面(BézierSurfaces)第27页/共42页2023/1/1729张量积Bezier曲面定义 Withpj,kspecifyingthelocationofthe(m+1)by(n+1)controlpoints.第28页/共42页2023/1/1730MatrixForm第29页/共42页2023/1/1731ExampleBézierSurfaceconstructedform=2,n=2.prog8Beziersurf.exe第30页/共42页2023/1/1732BézierSurfacesHavetheSame PropertiesasBézierCurves.DoublecubicBéziersurfacepatchanditsboundary10P20P01P11P21P31P02P22P12P32P13P23P00)0,0(PP=30)0,1(PP=03)1,0(PP=33)1,1(PP=)0,(uP)1,(uP),0(vP),1(vP第31页/共42页2023/1/1733用OpenGL画Bezier曲线Bezier曲线由以下函数定义：

voidglMap1{fd}(GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintstride,GLintorder,constTYPE*points);GLenumtarget，枚举型变量，指定控制点维数：GL_MAP1_VERTEX_3、GL_MAP1_VERTEX_4。TYPEu1、TYPEu2，指定参数的最小、最大值。constTYPE*points，指向控制点数组的指针。GLintstride，指出在数组constTYPE*points中，从一个控制点到下一个控制点之间的数据个数（位移量）。GLintorder，控制点个数，即Bezier曲线的阶数，多项式次数+1。第32页/共42页2023/1/1734定义了Bezier曲线后，进行计算之前，需用target的值为参数调用glEnable()激活（glDisable()取消）。用以下函数计算曲线上的点：

voidglEvalCoord1{fd}{v}(TYPEu);TYPEu的取值在TYPEu1、TYPEu2之内。该函数会将参数规范化。例子：源代码运行第33页/共42页2023/1/1735定义并激活贝塞尔曲线后，亦可用定义网格（Grid，均匀间隔坐标）的方式在参数区间均匀取值计算曲线上点的坐标。定义一维网格：

voidglMapGrid1{fd}(GLintn,TYPEu1,TYPEu2);GLintn，参数的均匀分割数。一维求值并绘制曲线：

voidglEvalMesh1(GLenummode,GLintp1,GLintp2);GLenummode，取值GL_POINT或GL_LINE，画点或划线。GLintp1、GLintp2，参数的对应范围。第34页/共42页2023/1/1736用OpenGL画Bezier曲面Bezier曲面由以下函数定义：

voidglMap2{fd}(GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintustride,GLintuorder,TYPEv1,TYPEv2,GLintvstride,GLintvorder,TYPE*points);GLenumtarget，枚举型变量，指定控制点维数：GL_MAP1_VERTEX_3、GL_MAP1_VERTEX_4。TYPEu1、TYPEu2，TYPEv1、TYPEv2指定参数u和v的最小、最大值。constTYPE*points，指向控制点数组的指针。GLintustride、GLintvstride，分别指出在数组constTYPE*points中，从一个控制点到下一个控制点之间的数据个数（位移量）。GLintuorder、GLintvorder，分别指出两个方向的控制点个数，即其各自的阶数，多项式次数+1。第35页/共42页2023/1/1737定义了Bezier曲面后，进行计算之前，需用target的值为参数调用glEnable()激活（glDisable()取消）。用以下函数计算曲面上的点：

voidglEvalCoord2{fd}{v}(TYPEu,TYPEv);TYPEu、TYPEv的取值分别在TYPEu1、TYPEu2和TYPEv1,TYPEv2之内。该函数会将参数规范化。例子：源代码运行第36页/共42页2023/1/1738定义