初中数学锐角三角函数的基础测试题及答案

初中数学锐角三角函数的基础测试题及答案一、选择题将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB//CF,ZF=ZACB=90O,ZE=30°,ZA=45°,AC=12j2，则CD的长为（）A.4运B.12-4j3C.12-6^3D.6【答案】B【解析】【分析】过点B作BM丄FD于点M,根据题意可求出BC的长度，然后在NEFD中可求出ZEDF=60°,进而可得出答案.【详解】解：过点B作BM丄FD于点M,在AACB中，ZACB=90°,ZA=45°,AC=12p'2,.•・BC=AC=12\''2.•:AB//CF,BM=BCxsin45°=12、：2x=122CM=BM=12,在AEFD中，ZF=90°,ZE=30°,.\ZEDF=60°,・•・MD=BM=tan60°=4J3,.CD=CM-MD=12-4朽.故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A,B在同一水平面

上）.为了测量A,B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为a，则AB两地之间的距离约为（A.lOOOsina米BA.lOOOsina米B.1000tana米c.1000贏米D.1000米sina【答案】C【解析】【分析】在RtAXBC在RtAXBC中，ZCAB=90°,ZB=a,AC=1OOO米,AC根据tana=乔，即可解决问题.【详解】解：在【详解】解：在RtAABC中，ZCAB=90°,ZB=a,ACtana=,ABAC=1000米,AB=AC

AB=AC

tana1000tana米.故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.在半径为1的中，弦AB、AC的长度分别是嘗3，、込，则ZBAC为（）度.A.75B.15或30C.75或15D.15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解.【详解】利用垂径定理可知：AD=^,AE=迈.22££22sinZAOD=.•sinZAOD=.•・ZAOD=60°；sinZAOE=.•・ZAOE=45°；.•・ZBAC=75°.当两弦共弧的时候就是15°.故选：C.【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.如图，△XBC内接于半径为5的0O,圆心O到弦BC的距离等于3则ZA的正切值等A.B.5A.B.5C.4D.【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点O作OD丄BC，垂足为D,连接OB,OC,•••0B=5,OD=3，.根据勾股定理得BD=4.1•.•ZA=—ZBOC，.•・ZA=ZBOD.2BD4AtanA=tanZBOD=OD3故选D.考点：1•垂径定理；2•圆周角定理；3•勾股定理；4•锐角三角函数定义.如图，在矩形ABCD中，BC=2,AE丄BD,垂足为E，ZBAE=30°，则tanZDEC的值是()

D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意过点C作CF丄BD与点F可求得△AEB^^CFD(AAS)，得到AE=CF=1,EF=<3—i3=2v3，即可求出答案33【详解】过点C作CF丄BD与点F.VZBAE=30°,.\ZDBC=30°,VBC=2,:.CF=1,BF=爲,易证△AEB^^CFD(AAS).•・AE=CF=1,VZBAE=ZDBC=30°,・—AE=:・EF=BF-BE=\.'3在RtACFE中,1_tanZDEC=CF_2/f_卫，EF_3_2【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等6.如图，在△ABC中，AC丄BC,ZABC=30°,点D是CB延长线上的一点，且AB=BD，贝tanD的值为（）A.2..'3B.3*3C.2+込D.2-、我【答案】D【解析】【分析】设AC=m,解直角三角形求出AB,BC,BD即可解决问题.【详解】设AC=m,在RtAXBC中，TZC=90°,ZABC=30°,AB=2AC=2m,BC=*3AC=\3m,.°.BD=AB=2m,DC=2m+\；3m,ACml.•・tanZADC==-3=2-、：3.CD2m+\；3m故选：D.【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.7.某游乐场新推出了一个“极速飞车"的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为/=1：2,BC=12\F米，CD=8米，ZD=36°,（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°=0.73,cos36°=0.81,sin36°=0.59）5.6B.6.9C.11.4D.13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE,BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案.【详解】

解:解:如图，延长DC、AB交于点E,由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i=1：2,得BE：CE=1：2.设BE=xm,CE=2xm.在RtABCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2,即X2+（2x）2=（12'］汗）2,解得X=12,BE=12m,CE=24m,DE=DC+CE=8+24=32m,由tan36°=0.73，得AB=0.73,DE解得AB=0.73x32=23.36m.由线段的和差，得AB=AE-BE=23.36-12=11.36=11.4m,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE,BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差.&将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4,则光盘表示的圆的直径是（）8朽C.8朽C.6【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,根据切线长定理可得AB=AC=3,ZOAB=60°,然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知，AB=AC=3,AO平分ZBAC,.•・ZOAB=60°,在RtAABO中，OB=ABtanZOAB=4,・•・光盘的直径为8爲•故选：B.【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工.在AC上找一点B，取ZABD二145°，BD=500m，ZD二55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）500A.500sin55°mB.500cos55°mC.500tan55°mD.mcos55【答案】B【解析】【分析】根据已知利用ZD的余弦函数表示即可.【详解】DE在RtABDE中，cosD=—BD・DE=BD・cosD=500cos55°.故选B.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为a大桥主架的顶端D的仰角为B，已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）

DA.asina+asinBB.acosa+acosBDA.asina+asinBB.acosa+acosBC.atana+atanBD.a*a

tanatanP【答案】C【解析】【分析】在RtAABD和RtAABC中，由三角函数得出BC=atana,BD=atanB，得出CD=BC+BD=atana+atanB即可.【详解】BCBD在Rt^ABD和Rt^ABC中，AB=a,tana=,tanB=,ABABBC=atana,BD=atanB，CD=BC+BD=atana+atanB，故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键.某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度.他从点A出发沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°,建筑物底端E的俯角为30°,若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为（精确到0.1米，参考数据：嘗3沁1.73,sin37o«0.60,cos37°q0.80,tan37°»0.75）（）23.0米B.23.6米C.26.7米D.28.9米【答案】C【解析】【分析】如图，设CB丄AF于N,过点C作CM丄DE于M,根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用ZMBE的正切可求出CM的长，利用ZDCM

的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案.【详解】如图，设CB丄AF于N,过点C作CM丄DE于M,•・•沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处,BN_1AN_24,・AN=2.4BN,・BN2+(2.4BN)2=262,解得：BN=10（负值舍去），・CN=BN+BC=11.6,・ME=11.6,*ZMCE=30°,・CM=・CM=ME时皿恥'3'*ZDCM=37°,.•・DM=CM・tan37°=8.7J3,••・DE=ME+DM=11.6+8.7=26.7(米),故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键.如图，将一个小球从斜坡的点0处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-1一1一2X2刻画，斜坡可以用一次函数y=2x刻画，下列结论错误的是（）

斜坡的坡度为1:2小球距0点水平距离超过4米呈下降趋势小球落地点距0点水平距离为7米当小球抛出高度达到7.5m时，小球距0点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、C;根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断b；求出当y二7.5时，x的值，判定d.详解】y=—x2+4x解：解得，2解：解得，1y=x27，x=7，1y=01小球落地点距O点水平距离为7米，C正确;y=4x-x22=-—(x-4)2+8，2则抛物线的对称轴为x=4，•••当x>4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当y=7.5时，7.5=4x-1x2，2整理得x2-8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，•••当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，d错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键.如图，^ABC的顶点是正方形网格的格点，则COSA=()

【答案】B【解析】【分析】【答案】B【解析】【分析】构造全等三角形,【详解】证明△ABD是等腰直角三角形，进行作答.过A作AE丄BE,连接BD,过D作DF丄BF于F.•.•AE=BF,ZAEB=ZDFB,BE=DF,.•・AB=DB.ZABD=90°,•••△ABD是等腰直角三角形，近•cosZDAB=・2答案选B.【点睛】本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题解题关键.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE丄AC于点F,则下列结论中错误的是()1A.心CFZDCF=ZDFC图中与△AEF相似的三角形共有5个tanZCAD=2【答案】D【解析】【分析】11AEAF1由AE=AD盲BC,又AD〃BC,所以二=亍故A正确，不符合题意；22BCFC21过D作DM〃BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=-BC,得到厶CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由厶BAEs^ADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tanZCAD的值，故D错误，符合题意.【详解】解：A、TAD〃BC,.•.△AEFs^CBF,AEAF•BCFC11VAE=AD=—BC,22AF1=^■，故A正确，不符合题意；FC2B、过D作DM〃BE交AC于N,•.•DE〃BM,BE〃DM,.四边形BMDE是平行四边形，1BM=DE=BC,2.BM=CM,.CN=NF,•.•BE丄AC于点F,DM〃BE,DN丄CF,.DF=DC,ZDCF=ZDFC,故B正确，不符合题意；C、图中与△AEF相似的三角形有厶ACD,△BAF,△CBF,△CAB,△ABE共有5个，故C正确,不符合题意.baD、设AD=a,AB=b由厶BAE^^ADC，有一==.a2CDbJ2VtanZCAD==—=——，故D错误，符合题意.ADa2故选：D.故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.15.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB：BC=2：1,且BE〃AC,CE〃A.B.6)A.B.6)D.310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF丄直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G.根据邻边相等的平1行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=㊁X,CF=x.再由锐角三角函数定义作答即可.【详解】解：•・•矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,AB：BC=2：1,・•・BC=AD,设AB=2x，则BC=x.如图，过点E作EF丄直线DC交线段DC延长线于点F,连接0E交BC于点G.•.•BE〃AC,CE〃BD,・•・四边形B0CE是平行四边形，•・•四边形ABCD是矩形，.•・0B=0C,・•・四边形B0CE是菱形..OE与BC垂直平分，11•••EP2AD=2x，0E〃AB'

・•・四边形AOEB是平行四边形,.°.OE=AB=2x,1・.CF=OE=x.2EF-x1AtanZEDC=DF=—=62x+x故选：B故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形,解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交4于点O,下列结论：①ZDOC=90°,②OC=OE,③CE=DF,④tanZOCD=3，⑤S^DOC=S3四A.1个BA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4,AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC9AFCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①ZDOC=90。正确，③CE=DF正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得ZOCD=ZDFC,即可求得④正确；由①易证得⑤正确.详解：•.•正方形ABCD的边长为4,ABC=CD=4,ZB=ZDCF=90°.•.•AE=BF=1,・BE=CF=4-1=3.〜BC=CD在"BC和"CD中，=/DCF,BE=CF:.△EBC^^FCD(SAS),・ZCFD=ZBEC,CE=DF,故③正确,.\ZBCE+ZBEC=ZBCE+ZCFD=90°,AZDOC=90°；故①正确；连接DE,如图所示，若OC=OE.TDF丄EC,・・・CD=DE.•••CD=AD<DE（矛盾），故②错误；VZOCD+ZCDF=90°,ZCDF+ZDFC=90°,AZOCD=ZDFC,AtanZOCD=tanZDC4DFC==，故④正确；FC3.△EBC竺△FCD,..Saebc=SafcD，・SAEBC-SAFOC=SAFCD-SAFOC，即S△ODC=S四边形©F，故⑤正确；故正确的有：①③④⑤.故选D.点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10€2km,一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4\订km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）用观测点A.8运B.9、込【答案】A【解析】【分析】【详解】解：•.•ZMAB=45°,BM=10j2,:.AB=BM2+MA2=（10\：'2）2+（10、；'2）2=20km,过点B作BD丄AC，交AC的延长线于D,在RtAADB中，ZBAD=ZMAC-ZMAB=75°-45°=30°,

tanZBAD=BD叵AD3.•・AD=p3BD,BD2+AD2=AB2,即卩BD2+(BD)2=202,.•・BD=10,.•・AD=10f3,在RtABCD中，BD2+CD2=BC2,BC=4営3,・・.CD=2j3,・•・AC=AD-CD=10\3-2話3=8<3km,答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8J3km.故选A.故选A.CC【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.如图1,在厶ABC中，ZB=90°,ZC=30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C,设ABPQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s),y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为()【答案】【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：丫3，根据x=2,y=6*：3，确定P、Q运动的速度，即可求解.【详解】a,解：设AB=a,ZC=30°,贝VAC=2a,BC=43设P、Q同时到达的时间为Ta,3a-</3a则点P的速度为—，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：、：3,

故设点P、Q的速度分别为：3v、J3v,由图2知，当x=2时，y=6朽，此时点P到达点A的位置，即AB=2x3v=6v,BQ=2xJ3v=2\3v，y=—xABxBQ=—x6vx2“3v=6、；'3，解得：v=1，故点P、Q的速度分别为：3,\；'3，AB=6v=6=a，贝yAC=12,BC=6朽，如图当点P在AC的中点时，PC=6，此时点P运动的距离为AB+AP=12，需要的时间为12-3=4，贝9BQ=J3x=4\3，CQ=BC-BQ=6\3-4^3=2^3，过点P作PH丄BC于点H，PC=6，贝9PH=PCsinC=6x—=3,同理CH=3\：3，贝VHQ=CH-CQ=3\3-2,3=<3，PQ=\PH—+HQ—=v3+9=2朽，故选：C.【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解.如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），ZBAO，ZABO的平分线相交于点C,过点C作CD〃x轴交AB于点D,则点D的坐标为（X168X168,1)C.(8,2)33D.（8，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F,过C作CG丄OA于G,CE丄AB于E,根据角平分线