概率论第三章课后习题答案

第三章离散型随机变量.一射手对某目标进行了 三次独立射击，现将观 察这些次射击是否命中作为试验，试写出此试 验的样本空间；试在样 本空间上定义一个函数 以指示射手在这三次独立 射击中命中目标的次数 ；设已知射手每次射击 目标的命中率为0.7,试写出命中次数的概 率分布。解：设a=”第i次射中"，i=1,2,3则「一{(Ai,A2,A3),(A,A2,A3),(A,A2,A3),(Ai,A2,A3),(Ai,A2,A3),(Al,A2,A3),(Al,A2,A3),(Al,A2,A3)}-{,1,'2, ,'8}令二代表击中目标的次数，则(1)=3,(2)"(3)"(4)=2, (5)"(6)=(7)=1(8)=。将立必)简记为♦则P«=3)uP(1=3)-P(A1A2A3)-(0.7)3u0.343P(=2)=P(2=2)P(3=2)P(4=2)=3P(AA2A3)=30.70.7(1-0.7)=0.441P(=1)=P(5=1)P(6=1)P(7=1)=3P(aA2A3)=30.7(1-0.7)(1-0.7)=0.189P(=0)=P('=0)=P(A/2A3)=(1-0.7)3=0.027所以，3勺分布列为0 1 2 3、©0270.1890.4410.343,.一批零彳^中有9个合格品、3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个来使用，若取得废品就不再放回而再取1个，求在取得合格品之前已取出的废品数的概率分布。解：令3弋表废品数，则E可能取值为：0,1,2,3cP(=0)=CP(=1)=1911213912P(=2)C112C；cj矶c23 9 27= X = 12c911 132P(=3)1121311112110113 2 9—X——M——12111054

1320C12C11C10CjCl12111095411880所以，地勺分布列为，09<121

271322

5413203

5411880J3.设在10个同类型的一堆产品内混有2个废品，现从中任取个，试分别就（1）取后不放回；（2取后放回两种不同情废品数的概率分布。3件，每次取1况，求出取得解：（。令t代表废品数,C：P（=0）=尸C10所以，2的分布列为则七的可能值有：0,1,2P(=1)=_2 _1C8 C23 ，C；0P(=2)=c8C2C；00C3

C8C3C1012 1C8C2C3C1021 2C8C2C3C10⑵设废品数为，则可能取值有:0,123,P(=0)=c80.512,P(=1)=CC110C0 it=0.384P(=2)=C2所以，”的分布列为c20.5120.3840.096=0.096,P(=3)=3.0.0083I=0.008.自动生产线经调整后出次品的概率是p,若在生产过程中出现次品就立即要进行调整，试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。解：令合格品数为3则P住=0)=P｛两次调整之间生产的是一件次品｝=pP住=1)=P｛两次调整之间生产一件正品，再是一件次品｝=pqP伐=n)=P｛两次调整之间前P伐=n)=P｛两次调整之间前所以，比勺分布列为「01 2 32 3lppqpq pqnnb其中q=1—p.pq.甲、乙两人分别独立的对同一目标各射击1次，甲、乙击中目标的概率分别为p1,p2,试求击中目标次数的概率分布。解：甲、乙二人分别独立对同一目标各射击一 次，令e为击中目标次数,则2的取值为0,1,2P(=0)=(1-访)(1一出)P(=1)=(1-p1)p2P1(1-6)P(=2)=p1p2所以，［的分布列为0 1 2'41—pj(1—p2)(1—pjp2+出(1—p2)p1p2j.4已知随机变量所有的可能值是1,2,…，N,且已知P(=k)=jk=1,2,,N

N试确定a的值；⑵试问下式的c取何值能使P(=k)P(=k)=ck=1,2,为分布律。N则V-kjN知N则V-kjN知=1,从而a=1；Q0"P(=k)=1,k1「2]k—i=hm|1-2n-1—I3123解：(1)由概率的规范性，可知N、P(=k)=1,k1⑵由概率的规范性，可3,3,以之表示首次取得成功的试4亡为偶数的概率p。~ ，一1所以，2c=1,从而c27.设在某种试验中，试验成功的概率为次数序号，试写出邙勺分布律，并求出

解：令［代表首次取得成功的试验次数序号，从而的取值为1,2,…~八3TOC\o"1-5"\h\zP(-1) ;44 3 3^3P(匕=2)=1—I;4J4/ 3 3^3P(匕=3)=1--।-;4)43—■;3—■;4心I3P代=k)=(1--I所以，［的分布列为3二为偶数时,2 3313 2 3f3二为偶数时,2 3313 2 3f3—I1— 1——I1一4J4 < 4J 4kkJ通31-4，k=1,2，…P=P(=2)P(=4)’3、'3 3、33=1—I+1-1 +…< 4J4< 4J4.一本500页的书，共有100个错别字，设每个错别 字等可能的出现在500页的任何一页上，现考察该书某一页上的错别字数，试用n重贝努利试验描述之。解：每个错别字以概率p=。出现在该页，而以概率4=您不出现在该页,500 500由于错别字是否出现在该页对其他错别字是否出现没有影响，故该页上错别字字数~B(100,—).500.人类的血型可粗分成 O、A、B、AB等四型，设已知某地区 人群中这四种血型人数的百分比 依次为0.4、0.3、0.25、0.05,要从该地区任意选出 10人，考察带AB型的人数，试用n重贝努利试验描述之。解：由于只关心AB血型的人数，其他血型可不予区分，故在此时每个人血型只有两个可能结果： AB型或者非AB型。这样p=0.05是任取一人，其血型为AB型的概率，而问题可说成是成功概率为p的10重贝努利试验，带AB血型的人数~B(10,0.05)..某建筑物内装有5个同类型的供水设备， 设在任一时刻每个设备被使用的概率是0.2,又设各个设备是否被 使用相互独立，求在同一时刻下列事件的概率：(1)恰有2个设备在使用；⑵最多有2个设备在使用；⑶至少有2个设备在使用；(4有多数设备在使用。解：设i代表设备使用的个数，巴=0,1,2,…，5,由题意，显然~~B(5,0.2)(1)P(=2)=C；p2q3=C；(0.2)2(0.8)3=0.2048P(<2)=P(=0KP(=1)+P(=2)=C：(0.2)°(0.8)5+C5(0.2)1(0.8)4+C；(0.2)2(0.8)3=0.94208(3)P(_2)=1—P(=0)_P(=1)=1—C0(0.2)0(0.8)5-C5(0.2)1(0.8)4=0.26272(4)有多数设备在使用，即超过半数以上的设备在使用，故E应取3,4,5,即 2,从而P(2)=1-P(<2)=1-0.94208=0.05792..设事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当在进行多次试验时 ,若A发生3次或更多次时，指示灯就要发出信号，求下列情况下，指示灯发出信号的概率：(1)共进行3次试验；(2共进行5次试验。

解：设“弋表事件A发生的次数，由题意~~B(n,0.3)* k 因为试验只进行3次，要指示灯发出信号，⑴P43)=呼=3)则事件A只能出现3次P(=3)=C；(0.3)3(0.7)0=0.027(2)P(_3)=P((2)P(_3)=P(=3)P(=4)P(=5)因为试验进行5次，要指示灯发出信号，则事件A可发生3次、4次和5次_ - _ - _ _3__3_ 2,_4__4_ 1,_5__5_ 0P(_3)=C5(0.3)(0.7)+C5(0.3)(0.7)+C5(0.3)(0.7)=0.1630812.某商店有4名售货员，据统计，每为1512.某商店有4名售货员，据统计，每为15分钟，各人何时用秤相(1)该店配备几台秤较为(2)若按(。的结果配秤，互独立合适？名售货员平均在一小时O试问：内用秤的时间天8小时内平均有多少时间 秤不够用?1解：设•弋表一小时内用秤的售货员数，则£~B(4,」)4(1)限=0)上轨3)4假=。.3164P(=1)=C：P(=1)=C：P(=2)=C：1134 4「3=0.42192:0.2109P(M2)=P(=0)P(=1)P(=2)=0.9492故同时用秤的人数不超过2人的概率接近0.95,从而可配2台秤，这样既不使秤过度闲谿，也不致常因秤不够用而影响业务(2)由题(1),每小时，出秤的平均使用率为0.9492,那么还有(1-0.9492)1的时间内秤不够用，而在8小时内，秤不够用的时间就为(1-0.9492)父8=0.4064(小时)，…、一一，i一一1 ” ，…， 、.已知某厂产品的次品率是工，今从其大批产品中任取10件来检验，问10其中是否必有1其中是否必有1件次品?为什么?解：任取一件产品为次产品中次品出现的频率解：任取一件产品为次产品中次品出现的频率品的概率为工，任查十件产品的次品率是在这十件10,两者有区别，可算出任取10件产品其中1件是次品的概率为p=C；0(0.1)(0.9)9电0.3874,可见，如果经常任抽十件检查，约有38.74%的机会会遇到1件次品。.进行8次独立的射击，设每次击中目标的概率均为0.3,试问：(1)击中几次的可能性最 大？并求出相应的概率；⑵求至少击中目标2次的概率。解：设名弋表击中目标的次数，则』0,1,2,3,…,8,显然~~B(8,0.3)(n1)p=2.7,由二项分布的Th.2,取k=ent((n1)p)=2时，B(2;8,0.3)的值最大，故击中2次的可能性最大p=C；(0.3)2(0.7)6=0.2965；P仁>2)=1—P住=0)_P售=1)=1—CO(0.3)0(0.7)8—C8(0.3)1(0.7)7=0.7447..某厂产品的次品率为0.005,问在它生产的1000件产品中：(D只有1件次品的概率；(2)至少有1件次品的概率；(3)最大可能有几件次品 ，概率是多少？解：设匕代表产品为次品的件数,1=0,1,2，…，1000,显然匕~B(1000,0.0005)显然n很大，pf艮小，从而0~P(九)，九=np=5_ 5上⑴P。-1)e0.03371!505(2)P(_1)=1一P(二0)=1--e0.993355 5(3)最多可能有5件次品，其概率为P(=5)=—e0.1755.为了保证设备能够正常运转，需配备适当数量 的维修人员(配少了有时会影响设备正常运 转，配多了会造成浪费人力资源)，根据检验，每台设备发生故障的概 率是0.01,各台设备情况相互独 立，试问：(1)若由1人负责维护20台设备，有设备发生故 障而不能得到及时维修 的概率；(2若有设备100台，每台发生故障时均需1人去处理，则至少要配多少维护人员，才能使设备 发生故障时不能得到及时维修的概率不超过0.01解:(1)设酊弋表一人负责的20台设备中，同时发生故障的台数，000,1/,20,显然~P(), =np=0.2P(_2)=1-P(=0)一P(=1)=1一0”e-0.20!(2)设”代表10怡设备中，同时发生故障的台数,=npP(_2)=1-P(=0)一P(=1)=1一0”e-0.20!(2)设”代表10怡设备中，同时发生故障的台数,=np=102-ea0.017551!上=0,1,…，100,显然刈~P(7J,P(=0)P(=2)P(=4)10」

e0!12」e2!14」

e4!0.3679;0.1839;0.0153P(=0)P(=1)P(11」P(=1)e1!0.3679;13 1P(=3)e 0.0613;3!=2)P(=3)P(=4)=0.9963故在10怡设备中，有4台同时发生故障的概率在0.9963,所以应派4个维修人员,才能使得设备发生故障 而不能得到及时维修的 概率不超过0.01..设要对某一物理量进行测量，已知由于各种原因而导致带过大测量误差的概率是0.05,现在独立的进行了100次测量，求误差过大的次数不小于3的概率。解：设0弋表100次测量中，出现过大测量误传的次数，七=0,1，…，100,显然~P('),'=np=5P(_3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)50 451与524=1——e"—-eJ—e-5=0.87530! 1! 2!.设随机变量E服从参数为的泊松分布，问m为何值时，概率P(2=m)最大。k k」解：P(Z=k)=Je\P《=k-1)=」——e~Kk! (k-1)!P(=k)=P(=k-1)k(1)九Ak,P(Z=k)aPK=k—1),P(^=k);(2)九=k,P(^=k户P(t=k—1),P、=k)达到最大值；(1))『<k,PK=k)<P(t=k—1),P《=k)J从而，当上非整数时，m=伍］,使P(==m)最大；当K是整数时，m=*u或m=7u—1,同时使得P(i=m)最大.

19.一产品的次品率为0.1,检验员每天抽检4次，每次随机抽查10件产品进行检验，如发现次品多于1件，就要调整设备，以[表示1天要调整设备的次数，求E.解：之代表1天要调整设备的次数， U=0,1,2,3,4令”代表1次抽检中抽出次品的件 数，n=o,1；-,10,显然n〜p5)，=np=1令Ai="每i次抽检时，抽出次品多余1件，从而调整设备”，i=1,2,3,4P(Ai)=1-P(=0)-P(=1)=0.2642P(Ai)=1-P(Ai)=0.7358则P(=0)=P(A1A2A3A4)=(0.7358)4=0.2931P(1=1)=C4P(A)[P(Ai)]3=0.421_ _ _2 _2 2 P(=2)=C4[P(A)][P(AJ=0.2267P(=3)=C3[P(A)]3P(Ai)=0.0543P(=4)=C：[P(Ai)]4-0.0049”弟k「0 1 2 3 4)从而~〜Q29310.4210.22670.05430.0049；所以，E=00.2931+10.421+20.2267+30.054升40.0049=1.056923.已知^的分布列为3111301|-311130113a—3aa- 6试求：a的值;E%=2-1的分布列；(4)用两种方法算出E.解：(1)3a13aa11=1,从而a=—6 30 15f-2-10因止匕X~1 1 1<5 6 51 3)1 111530」1 1 1 1 11(2)E：^(-2)-(-1)-0-1 35 6 5 15 30(3)=2-1/-1 0 3 8、「J~ 1 工［ 11<5