高数-5-3换、分部且使用方法与相应不定积分类似

第三节定积分的和分部积换元公小不定积

微积分基本

且使用方法与相应的不定积分法类一、定积分换元定理（3）在[]上单调且([[a则有

f((x))

(x)dx

f((x))d(u(x

( f(u)du

fu)du 或bf(u)du

x(tb f(x)dx b

1(b1(a

f((t))d(t

f((t))

(tdt

f((t))

(t)dt证设Fx)fx)的一个原函b则

fx)dxF(bF(a);(tF[(t(tdFdxfx)(tf[(t)](t (t)是f[(t)](t)的一个原函数 f[(t)](t)dt()(bF(())F((

F(b)F(aa

f(x)dxF(aF(b)

fx)dx.证0 ucos0

616例 0

xsinxdx

udu 0 以cosx为积分变 或 cos5xsin 2

xdcos06

11cos6x|2

sin3xsin5xdx变 去绝对

cos

sin

2

cosxsinx2

cosxsinx2 凑分 0

dsin

2

2 2

5

23e ln lnx(1lne3凑 ee3

d(lnlnlnlnlnx(1ln e4e

d(ln

2e ln(1ln(1ln1lnxe3e

6 1x2例41x2 (2x23[0,1]3

6

],

sec2tdt.

sec2解3

6 1x2 (2x1x2

(2tan2t1)sec

cos2

dt

dsin2 1

1 10arctan(sint)0

22x2x2

x dx2x2解法 令xsect,dxsecttantdt,2x t,x2t2 x sectx2x2x2x2

44

ttan

secttan 3(1cost)dttsint 3232 1 3232 解法 2

x

x1x2x22x2x22

1t12121

1t

21dt 21

d(1t2 1t 1311arcsint 1t23112222()

1

232 326fx)在[aa] ①若f(x)为偶函数，则 f(x)dxa

f(x)dxa0a②若f(x)为奇函数，则 f(x)dxa0a证x

0

f(x)dx

a

f(x)dx

f(x)dx a

f(t)(dt)a

f(xa f(x)dx0 f(x)dxa

0(f(

x)f(x))2 fx)dx fx)为偶0 f(x)为奇函数 证毕11x2111x211

2x2xcos

111xcos2x21 1x2 原式

1x2(1

奇函1x2

1 1

dx

1(1x2 11

)dx44101x21x24101x21x28fx)在[0,1]上连（1）000

f(sinx)dx 0

f(cosx)dx0（2）0

f(sinx)dx2

f(sinx)dx（3）

xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx由此计

xsin 01cos2证

f(sinx

x2f2f

t 0

sin 0 0

f(cost

f(cosx)dx

f(sinx)dx 0

f(sinx)dx f(sin 0x0 0

f(sinx

f(sint)(dt20（3）0xf(sin

(t)f[sin(t

(t)f(sint)dt

f(sint)dt

0tf(sint

xf(sinx)dx

2

f(sin xsin

dx

sin 1cos2

1cos2

d(cosx)

arctan(cosx4注

201cos2 .由(1) 002sinnxdx2cosn00a例9a

x

(a0)a2a2x

acos a2(1sin2t2xasint,a2(1sin2t2

asint

2

dt

sint

cost2 costsin22

dt2

42dt 40例10

I

u

1 2 2

(du)

解

1cot2011

1cot2011

dx

tan2011 11/ (tan2011x1)

1 dx2

I 4 1tan2011

dx

cos2011

dx 1 x 例11计算

0x 解4ln(1tan

t)](dt4 1tan

)dt4 1tan

1tan4[ln2ln(1tant0ln2

ln(1tan4

ln(1tanx)dx

ln 例12若fx是周期为T的连aR

a a

f(x)dxa

f(a

f(x)dx

f(x)dx

0f( xt

a

aT0f(x)dx＝ f(tT)dta f(

f(t a f( f( f(T0f(二、分部积分公ux)、vxC1[ab]bu(x)v(x)a

[u(x)v(a 不定积分的分部积[u(x)v(x)]b u(x)v(x)dx]

[u(x)v(x) u(x)v(x)dx]b ba微积a

[u(x)v(x)]b

auxvxdx aau(b分部设ux)、vxC1[aaau(babu(x)v(x)dxa

[u(x)v(x)]b

v(x)dx例134

4ex000xt 00解ex 解0

2tetdt

2tdet2tee

222etdt4e

2e2202例

1lnxe 解

lnx

1(lnx)dx0ln xln

11dxxlnxe1

21dx22 1

例14

2arcsin012arcsin0

1x2221x222换元：以1x2为积分变量

1 d(1x21x2 21x2 1

1x

1

3 3换元：tarcsin 另 0

arcsin

则xsin

6tdsin0分部积 tsint

6sintdt 11例15计算11

xarctan1解1

xarctanxdx

0arctanxd(21 arctan 2xx1 arctan 2x

x1x11

1

1(1)2 例16

半角公式

2 1cos2 2 分部积

4 4

dtanx1xtan

1

tan2

241lnsecx4

40ln2 1例171

ln(1ln(1x)(2x)2

ln(1

21ln(1x)1 1

dln(1 2

2112 1112 1

11

2ln2ln(1x)ln(2x)1

5ln2 例18求

2e2xcos0

e2

cos

2e2xdsin [e2xsinx]

2sinxde2

2e2xsinxdxe 2e2xdcos 0e2([e2xcosx]0

2cosxde2x0

2 2e2xcos0e2xcosxdx1(e 例19I

2sin02x2

及In0

2cosn0∵ 2sin∵0~

x

cosntdt2

2cosn0InIn又

n2 分部积 2 2

sinn

00[sinn1xcosx]0

2cosxdsinn100(n1)2sinn2xcos201sin2In(n1)In2(n1)In得递推公式In

nn

In

(n1n3I n2

n

"In

~{In){

(n1)!! (n

n为偶数

n为奇数例20

2

0 204

6421675 例21求x x

xxxtxx

sin6 x解x0

20

tdt2

sin6

sin6

tdt

sin6

8

85315 x2sin 例21

f(x)

dtt

解因为sint没有初等形式的原函数（积分正弦tfx)1xf(1

1

f(x)d(x2)

1

x2df(1 21

21f(1)

11x2

f(x)dx

sinx

2x 21

20 x 202xsinx

0sinxd(x)

1(cos12三、小*