垂径定理 圆 北师大版 九年级数学下册 课件

第三节垂径定理

第三章圆北师大版九年级数学下册知识回顾，引入新课

让我们一起来回忆问题：

同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？圆是中心对称图形吗？它的对称中心是什么？

圆既是轴对称图形也是中心对称图形，它有无数多条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线，它的对称中心是圆的圆心.圆的轴对称性如图，AB是⊙O的一条弦，作直径，CD⊥AB，垂足为M.（1）

右图是轴对称图形吗？若是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说一说你的理由.右图是轴对称图形，对称轴是CD.AM＝BM导入新课∵CD⊥AB，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴＝

，∵∠AOD＝180°－∠AOC，

∠BOD＝180°－∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD∴＝.证明：连接OA，OB，则OA

＝

OB，

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言叙述定理：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，∴AM＝BM，＝

，＝.

知识点一：垂径定理

求证：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，

并且平分弦所对的弧.已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，求证：CD⊥AB，＝

，＝.如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.上图是轴对称图形，对称轴是CD.AM＝BM想一想：∵AM＝BM

，∴CD⊥AB

，∠AOC＝∠BOC，∴＝

，∵∠AOD＝180°－∠AOC，

∠BOD＝180°－∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD∴＝.证明：连接OA，OB，则OA＝OB，

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.几何语言叙述定理：知识点二：垂径定理的逆定理∵AM＝BM，CD为⊙O的直径，∴CD⊥AB，＝

，＝.你可以写出相应的命题吗?已知其中两个条件,就可推出其余三个结论？如图，在同圆中，如果具备下列条件：（1）CD是直径；（2）CD⊥AB；（3）AM＝BM；（4）＝；（5）＝，

1.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离.

本例为垂径定理的应用。利用圆中常规辅助线“过圆心作弦的垂线”，与圆半径、弦，构成直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.例题讲解点拨：解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB于E，则：AE＝EB＝

AB＝×6＝3（cm）∵OA＝5cm，∴在Rt△OEA中，有：OE＝＝

＝4（cm），因而，圆心O到弦AB的距离为4cm.

1.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离.

2.如图，一条公路的转弯处是一段弧（即图中，点O是所在圆的圆心）.其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m.求这段弯路的半径.解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m，∵OE⊥CD，∴CF＝

CD＝

×600＝300（m），在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2解得：R＝545，∴这段弯路的半径为545m.做一做1.已知，⊙O的半径为2cm，弦AB为2

cm，

求弦AB中点到它所对劣弧中点的距离.解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆周于点D.则:AC＝AB＝×2

＝

（cm）在Rt△AOC中，有：OA＝2cm，AC＝

cm由勾股定理，得：OC2＋AC2＝OA2，∴OC＝＝＝1（cm），∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝2－1＝1（cm）.即弦AB中点到它所对劣弧中点距离为1cm.2.已知：AB是⊙O的直径，AC、AD是在AB两侧的两条弦，且AC＝AD.求证：AB平分∠CAD.解：过点O作OE⊥AC于EOF⊥AD于F.由垂径定理，可得：AE＝AC，AF＝AD∵AC＝AD，∴AE＝AF，在Rt△AOE和Rt△AOF中：OA＝OA，AE＝AF，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠OAE＝∠OAF，即AB平分∠CAD.你能说说本节课学习了哪些内容吗