材料力学C(II)下册第三章

第三章能量法§３-1概述§３-2应变能·余能§３-3卡氏定理§３-4用能量法解超静定问题的提出FABC30°45°Fl/2ACBl/2法一：利用几何、物理、静力学三方条件求解法二：利用外力功与应变能相等求解§3-1概述

能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将力和变形（位移）作为一体讨论．第三章能量法

图中AC和AB杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)优点：不管中间过程，只算最终状态

利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。

能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。上例若利用外力功在数值上等于应变能，即第三章能量法

对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物理关系和静力学关系三个方面入手的思想，或者从几何协调关系出发，显得非常麻烦.小前提：

缓慢加载;外力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能)§3–2应变能和余能

大前提：

1、小变形；

2、服从郑玄—胡克定律线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数.第三章能量法恒力功:

力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功变力功:

I.功和应变能曲线与横轴围成的面积第三章能量法F1D1FDoD1F1FdD式中F——广义力(力或力偶)；

——广义位移(线位移或角位移),在所有力共同作用下与广义力F相对应的沿着力的方向的广义位移。F在线弹性范围内第三章能量法FMe轴向拉压扭转弯曲FMe轴向拉压扭转弯曲应变能:外力做功系统储存的能量，W=Vε第三章能量法组合变形关于应变能计算的讨论：1.以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变能的计算。2.应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。应变能的大小与加载顺序无关.（能量守恒）3.应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。4.应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。第三章能量法单向应力状态纯剪切应力状态复杂应力状态s1s2s3ts各式仅适用于线弹性范围应变能密度:

单位体积内储存的能量，用vε表示非线弹性材料deseoe1s1s应变能密度应变能计算II.余功和余能余功与外力功

之和等于矩形面积与余功相应的能称为余能,用Vc表示FFdF曲线与纵轴围成的面积第三章能量法线弹性材料应变能等于余应变能。例题

图示等截面悬臂梁，E,I,A已知。在自由端受集中力F和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响.利用应变能密度三种方法利用外力功利用内力功F

Ml第三章能量法弯矩:第三章能量法解:方法一F

MlxF先加载M再加载方法二F

Mlx第三章能量法M先加载F再加载第三章能量法F

MlxF

MlxF

lx

Mlx?≠第三章能量法FMlxFlxMlx?思考:第三章能量法

例题

原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载F１作用下的应变能。两杆的弹性模量均为E,横截面面积均为A。

解：首先分析力F

和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式。设两杆的轴力均为FN

，两杆的伸长量和A点的位移分别为第三章能量法由结点A的平衡方程

为小角度，第三章能量法由于所以或AFNFN例题

试计算图示结构在荷载F1作用下的余能，结构中两杆的长度均为l

，横截面面积均为A,材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图所示。解：由结点C的平衡方程，得杆的轴力横截面上的应力为第三章能量法由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为余能密度为第三章能量法第三章能量法

（1）由于力F引起的变形Dl，对FN产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。

（2）几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。杆的应变能为注意:F第三章能量法一、功和应变能、余能利用应变能密度三种方法利用外力功利用内力功FdF

余能线弹性二、卡氏第一定理

弹性杆件的应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。第三章能量法组合变形时的应变能解：法一例题：简支梁受力如图所示，已知梁的刚度为EI，求梁的应变能。AFl/2BCl/2M法二AFl/2BCl/2MFAFBx1x2AC段CB段AFl/2BCl/2MFAFBx1x2qAB

例题弯曲刚度为EI的简支梁受均布载荷q作用,如图所示,试求梁内的应变能.解:方法一:外力功梁的挠曲线方程为方法二:应变能密度方法三:内力功第三章能量法虚功原理对于刚体：

平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚功之和为零.

对于变形体：

平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚功恒等于内力在虚位移上的虚功（虚应变能）.第三章能量法I.卡氏第一定理（卡斯蒂利亚诺）Ve为最终位移i

的函数fi为瞬时载荷，δi为瞬时位移由于改变了，外力功相应改变量§3–3卡氏定理第三章能量法ABF1F2FiFnΔ1Δ2ΔiΔndΔiFiDi第三章能量法应变能的相应改变量为由于外力功相应改变量为所以——卡氏第一定理弹性体的应变能对杆件某一位移的偏导数，就等于与该位移相应的载荷。解：例题：图示三角架受铅垂载荷F作用，已知各杆的刚度为EA，试用卡氏第一定理求B节点的铅垂位移。Bl30°AFCB′1、确定位移与变形的关系Dl1Dl2Bl30°AFCB′2、应变能表达式Dl1Dl2即Bl30°AFC3、铅垂位移解得II.卡氏第二定理由于改变了，外力余功相应改变量第三章能量法ABF1F2FiFnΔ1Δ2ΔiΔndFi余能的相应改变量为由于所以在线弹性范围内卡氏第二定理

线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。余能定理

杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。第三章能量法——余能定理——卡氏第二定理III.卡氏第一定理和余能定理的比较

卡氏第一定理

余能定理Di→Di+dDi，其它位移均不变，所有的力均不变。Fi→Fi+dFi，其它力均不变，所有的位移均不变。(平衡方程)（变形的几何关系）非线性和线性弹性体非线性和线性弹性体第三章能量法

Fi——广义力(力、力偶、一对力或一对力偶等)；

i——广义位移(线位移、角位移、相对线位移或相对角位移),在所有力共同作用下与广义力F相对应的沿着力的方向的广义位移。FFABMBMB第三章能量法

例题

线弹性材料悬臂梁，受力如图所示，若F、EI、l等均为已知，试用卡氏第二定理求：1.加力点A处的挠度；2.梁中点B处的挠度。1.加力点A处的挠度xF

ABCl/2l/2解：弯矩：第三章能量法2.梁中点(非加力点)B处的挠度

在B处施加与所求挠度方向相同的假设力FB（附加力法）弯矩：F

ABCl/2l/2ＦB第三章能量法

所要求的位移不限于加力点沿加力方向的位移，可以是任意点、任意方向的位移。

虚载荷必须加在所要求位移的那一点、并且沿着所要求位移的方向。第三章能量法卡氏第二定理的变形形式：对于变形构件

对桁架只有轴力产生的应变能;对梁只考虑弯矩产生的应变能;对刚架和曲杆只考虑弯矩和扭矩的应变能。Ⅳ.卡氏定理的应用卡氏第二定理

桁架结构弯曲直杆(刚架)弯曲曲杆扭转第三章能量法

例题

图示桁架结构，杆的拉压刚度均为EA，F已知,长度分别为a和已知。求A点的水平位移△HAFAFFF①②③④⑤第三章能量法解：

求支反力②①③④⑤FNili00-F-F0-1-10aaaaFABM例题图示半圆形曲杆，试计算B截面的水平位移和转角。已知其抗弯刚度为EI，只考虑弯曲变形的影响。解：在B截面虚加一集中力偶M.B截面的水平位移为R弯矩方程为第三章能量法B截面的转角为B截面转角的为负值，说明实际转角的方向同虚加力偶的方向相反。第三章能量法解：1、求约束反力例题：简支梁受力及几何尺寸如图所示，试用卡氏第二定理求梁C点的挠度wc。FACaaaaBDEEIEI2EI2、列弯矩方程并求其偏导数x3、求C点挠度FACaaaaBDEEIEI2EI第三章能量法

例题

图a所示结构中，AB,BC

杆中的横截面面积均为A，弹性模量均为E。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第二定理，求B点的水平位移D1和铅垂位移D2

。

解：

卡式第二定理先虚加一水平方向的集中力FH.

利用节点法，考虑A节点的平衡，可得各杆的内力和对外载荷的导数:FHFHFFABFBCBFHFFABFBCB

卡式第二定理第三章能量法第三章能量法

例题

图所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。圆环开口处的张开量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（←→）解：弯矩方程，结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。第三章能量法（）←→

利用对称性，由卡氏第二定理，得，思考:

若计算圆环开口处的相对转角θ,或AB的相对位移,该如何加载?AB1.确立载荷系统：加什么力？加在哪里？加在什么方向？2.建立载荷与虚加力引起的内力表达式：要不要分段？怎样分段？建立坐标系？充分利用对称性？第三章能量法

例题

图示结构中，杆的弯曲刚度均为EI，F已知。求：A、B两点的相对位移。(不考虑轴向力和剪力的影响)第三章能量法FFABDCRRR1.确立载荷系统：加什么力？加在哪里？加在什么方向？2.建立载荷与虚加力引起的内力表达式：要不要分段？怎样分段？建立坐标系？充分利用对称性？EG虚加载荷FAB;建立各段内力表达式并偏导：解：FFABDCRRRjFABFABxEG第三章能量法例题

试求刚架ABC在均布荷载q的作用下A点的垂直位移和C点的转角。尺寸l和EI已知。刚架剪力和轴力忽略不计。解：列出各段的弯矩及偏导方程：AB段：BC段BllqAC第三章能量法求刚架的支座反力：

1.计算A点的垂直位移，应在A点上虚加力F;根据卡氏定理：第三章能量法列出各段的弯矩及偏导方程：AB段：BC段2.计算C截面转角，应在C截面上虚加一个力偶M

根据卡式定理：各段的弯矩及偏导方程为：AB段：BC段：第三章能量法BllqAC求刚架的支座反力：

？w11FF2w21FF212F2思考:第三章能量法例题：图示平面刚架，抗弯刚度为EI，求D点的竖直位移和C截面的转角。解：1、求D点的竖直位移xFAClBDllFCD段BC段y1

区分B、D两点的外力，将B点力表示为F′′第三章能量法xFAClBDllFAB段y1y2令F=F′′2、求C截面的转角xFAClBDllFCD段BC段y1在C截面施加外力偶M0M0AB段y2令M0=0注意：卡二定理中与所求位移对应的载荷必须是独立载荷；无对应载荷时，可虚加载荷，求偏导数后令其为零。弯矩方程若与所求位移对应的载荷无关，该段弯矩方程可不列。ACDllBF2F例题：图示平面桁架，各杆拉压刚度均为EA，求C点的水平位移和BD间的相对位移。解：1、求DCH①求约束反力FAyFBFAx′区分C、D两点的外力，将C点力表示为F′ACDllBF2FFAyFBFAx⑤④③②①杆号①④②③⑤CF′FN2FN3FN5F′′令F′=F②各杆的内力及偏导数ACDllBF2FFAyFBFAx①④②③⑤2、求DBDF1F1BD间虚加一对外力F1可用叠加法求轴力⑤④③②①杆号⑤④③②①杆号ACDllBF1F1①④②③⑤令F1=0先虚加（或区分）载荷，后求约束反力。例题：图示小曲率平面曲杆，A端固定，B端自由，其轴线为水平面内的四分之一圆弧。若杆在自由端受铅垂外力F，求B端的铅垂位移和B截面的扭转角。（不计剪力的影响）解：1、求B截面的铅垂位移FR⊕FABBATM⊕FqTM⊕FqR2、求B截面的扭转角R⊕FAB在B截面虚加外力偶M0M0TM⊕FqM0令M0=0TM⊕FqR一、卡氏第一定理

杆件的应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。第三章能量法三、卡氏第二定理

杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。二、余能定理线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。卡式定理应用桁架结构弯曲直杆(刚架)弯曲曲杆扭转注意：卡二定理中与所求位移对应的载荷必须是独立载荷；无对应载荷时，可虚加载荷，求偏导数后令其为零。RACB解：F/2F/2

求支反力

内力方程并偏导数j

卡式第二定理及对称性第三章能量法

例题

半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求C点的铅垂位移．F

未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构.

未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.§3–4用能量法解超静定系统I.基本概念：超静定次数=未知力的数目-独立平衡方程数第三章能量法

所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.

求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.II.求解超静定问题的解法1、确定静不定次数。2、选择基本静定基。3、列出变形协调条件。

4、用能量法或叠加法计算几何条件.第三章能量法RBqlAB1.建立静定基等价xqlAByEI2.变形协调方程3.梁的弯矩方程及偏导数4.卡式第二定理第三章能量法仅有q作用，B点挠度为：仅有作用，B点挠度为：因此叠加法第三章能量法qlABRB

例题

各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。第三章能量法

解：设1,2,3杆的轴力分别为FN1

FN2,FN3（图b），相应的位移为D1,D2和D3．由对称性可知，FN1＝FN2,D1＝D2。几何关系第三章能量法结构的应变能为以D3为基本未知量，该题为一次超静定。由卡式第一定理由胡克定律得第三章能量法

以位移作为基本未知量求解超静定问题的方法，称为位移法.该方法仍然是综合考虑了平衡方程,几何关系和物理方程来求解超静定问题的。

例题三杆的材料相同,各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A，3杆长度为l。用余能定理求各杆的轴力。第三章能量法

解：以铰链D

的支反力X

为多余未知力，基本静定系如图b所示，F,X看作基本静定系上独立的外力，Vc=Vc

(F,X)因为铰链D处沿铅垂方向的位移为零，应有由该式求出X后，再利用平衡方程求各杆的轴力。(1)第三章能量法由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为(2)三杆的余能密度分别为第三章能量法结构的余能为由余能定理得将X值代入（1），得

以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。一、能量法求解静定和超静定系统求解超静定问题的解法1、确定静不定次数。2、选择基本静定基。3、列出变形协调条件。

4、用能量法计算几何条件.第三章能量法MBMBFA

用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和

的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。第三章能量法例题：图示平面刚架，各段抗弯刚度均为EI，求约束反力。解：1、确定静定基，求约束反力AqBCllqlABClXFCFAyFAx2、列弯矩方程，并求其偏导数xyqlABClXFCFAyFAx3、根据已知位移条件建立补充方程4、由平衡方程确定所有约束力列内力方程时，约束力应表示为外力和多余未知力的函数。对称结构－几何形状、尺寸、材料、约束等对称于某一对称轴。III.对称性的应用R第三章能量法问题特点：结构对称，外力对称。问题简化：轴力和弯矩对称，剪力反对称=0。FRACBFABFHFHF/2F/2j解：

先求支反力

对称结构，为一次超静定

例题

半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求C点的铅垂位移．

内力方程及偏导第三章能量法

再求位移，卡式定理

内力方程及偏导卡式第二定理第三章能量法

例题

半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。第三章能量法FRACB

解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系，多余未知力为轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题为三次超静定。由对称性，反对称的内力X3＝0，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为F，X1，X2的函数，即CF/2RAX1X1X2X2BF/2与X1，X2

相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为第三章能量法CBF/2F/2RAX1X1X2X2基本静定系为两个1/4圆环，应用卡式定理得第三章能量法前式代入，可解得

怎样判断什么样的载荷是反对称的？将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为对称的，则原来的载荷便是反对称的。对称结构在反对称载荷作用下:

其约束力、内力分量、变形和位移等必须是反对称的；

对称处的对称内力分量、约束力必为零；某些反对称约束力和反对称的内力分量也可能为零。第三章能量法问题特点：结构对称，外力反对称。问题简化：轴力和弯矩对称=0，剪力反对称。a2aABCFFa2a讨论题：刚架所受外力和几何尺寸如图示，试确定1、该问题是几次超静定问题？2、静定基应如何取？3、已知位移条件一次超静定问题静定基如图所示已知位移条件ABFa2aX利用对称性、反对称性可使问题简化反对称问题

思考题：计算图示桁架各杆的内力，设各杆的材料相同，截面面积相等。lFABCDlXlFABCDl213456FFF如图所示静定组合梁ABC，在BC段上受均布载荷q作用，梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。不计剪力对位移的影响。qACaaB解：在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩MB，并求出在一对外力偶MB及q共同作用下梁的支反力

梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为AB段：BC段：对称结构的反对称变形FF/2F/2F对称还是反对称？MxMMxFMxF第三章能量法对称结构的对称变形－对称结构在对称载荷作用下:约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的;对称轴处的反对称内力分量必为零;某些对称分量也可等于零或变为已知。第三章能量法问题特点：结构对称，外力对称。问题简化：轴力和弯矩对称，剪力反对称=0。B1Δ1Δ2第三章能量法（↓）（→）,例题外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载F，求：（1）C端挠度,（2）C端转角。支座反力解：Fl/2ACBlx1x2第三章能量法（1）C端挠度弯矩方程AB段BC段总应变能为卡氏第二定理总应变能为（2）C端转角x1x2Fl/2ACBl虚加力偶MCMC支反力第三章能量法弯矩方程AB段BC段弯矩方程卡氏第二定理可得AB段BC段第三章能量法FFABCDFFABCDMFNFN例题图示圆形刚架，受力如图所示，已知材料的抗弯刚度为EI，计算刚架的最大弯矩。第三章能量法FFABFNMFNF/2MF/2AB利用对称性解:

此结构为对称结构，载荷为对称载荷，取一半结构进行分析，如图所示。第三章能量法故此结构为一次超静定结构，A或B两截面的转角为零。考虑平衡方程后可知：根据卡氏第二定理及对称性可知解得（注：负号表示弯矩实际作用方向同假设方向相反。）将上式代入弯矩方程，可得该圆环形刚架的最大弯矩为此结构的弯矩方程及偏导数为：第三章能量法FNMFNF/2MF/2ABFFABFNMFNMCDCFAD故此结构为一次超静定结构，且C或D两截面的转角为零。解:

此结构为对称结构，载荷为对称载荷，取一半结构进行分析，如图所示。考虑平衡方程后可知：第三章能量法例题：对称结构受外力如图所示，三杆的刚度均为EA，试求各杆的轴力。解：①②③Dl3CBDAablFEGDl1Dl2①②③Dl3CBDAablFEGDl1Dl2①②③Dl3CBDAablFEGDl1Dl2位移法a2aABCFFa2a讨论题：刚架所受外力和几何尺寸如图示，试确定1、该问题是几次超静定问题？2、静定基应如何取？3、已知位移条件一次超静定问题静定基如图所示已知位移条件ABFa2aX利用对称性、反对称性可使问题简化反对称问题对称结构的反对称变形－对称结构在反对称载荷作用下:

约束力、内力分量、变形和位移等必须是反对称的；

对称处的对称内力分量、约束力必为零；某些反对称约束力和反对称的内力分量也可能为零。对称结构的对称变形－对称结构在对称载荷作用下:约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的;对称轴处的反对称内力分量必为零;某些对称分量也可等于零或变为已知。二、对称性应用第三章能量法例题：图示平面刚架，各段抗弯刚度均为EI，求约束反力。解：1、确定静定基，求约束反力AqBCllqlABClXFCFAyFAx2、列弯矩方程，并求其偏导数xyqlABClXFCFAyFAx3、根据已知位移条件建立补充方程4、由平衡方程确定所有约束力列内力方程时，约束力应表示为外力和多余未知力的函数。互等定理1.功的互等这里,w下标第一个字母表示为位移发生的地点，第二个字母表示引起位移的载荷的作用点。图(a):wAA

--A点作用力FA,变形后A点的位移;wBA

--A点作用力FA,变形后B点的位移.图(b):wAB

--B点作用力FB,变形后A点的位移;wBB

--B点作用力FB,变形后B点的位移.

(a)

(b)第三章能量法ABAB

(c)AB现在按照两种不同的顺序加载。再加FB

,相应所作的功:

图(c):先加FA,相应所作的功:故图(c)中梁的应变能为:图(d):加载顺序与上述相反，即先加FB，再加FA，此时梁的应变能为：(d)AB第三章能量法由于得到：第三章能量法

(c)AB

(d)AB——功的互等定理它说明：FA在由于FB引起的位移wAB上所作的功等于FB在由于FA引起的位移wBA上所作的功。2.位移互等若使上式中的FA=FB,则：

——位移互等定理它说明：载荷作用于A点而在B点引起的位移wAB等于同样的载荷作用于B点而在A点引起的位移wBA。第三章能量法BCAFL/2L/2MBCAL/2L/2例如：第三章能量法1.若F和M数值相等，则A.wc(M)=wc(F),B.

qB(M)=qB(F)C.qB(M)=wc(F),D.qB(F)=wc(M)CBMFBCwc(F)wc(M)qB(F)qB(M)ACB1FqB=0.006radACB1M1mm2.图示外伸梁ABC若在截面1处引起施加集中力F1=3kN，可测得支座B处截面转角q=0.006rad,现在外伸端A处施加顺时针的力偶，使截面处产生1mm的挠度，则这力偶有以下答案：A.M=1.0kN.