插值与拟合模型二

三、拟合的使用及求解3.1引言

数据拟合就是从一组数据出发，寻找函数y=f(x)的一个近似表达式，要求该函数在某种准则下能尽量反应数据的整体变换趋势，而不一定要经过所有数据点(xi,yi).数据拟合问题也称为曲线拟合问题，而y=f(x)称为拟合曲线。3.2拟合模型直线拟合问题引例1温度t(ºC)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻数据：求60ºC时的电阻R．在直角坐标系下作图如下(plot)>>x=[20.532.751.073.095.7];>>y=[7658268739421032];>>plot(x,y,’+’)>>xlabel(‘温度’)，ylabel(‘电阻’)

设

R=a1t+a2a1,a2为待定系数曲线拟合问题引例2

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律c(t).在直角坐标系下作图如下(plot)拟合曲线：方案一抛物线a0,a1,a2为待定系数方案二c0,k为待定系数曲线拟合问题的提法已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…,n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好．

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii为点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离最小二乘准则：使n个点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离i

的平方和最小．记

根据最小二乘准则确定拟合函数的方法称为最小二乘法。最小二乘法又分为线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合：拟合函数的待定系数a1,a2,…,am+1全部以线性形式出现例如拟合函数：f(x)=a1xm+…+amx+am+1非线性最小二乘拟合：拟合函数的待定系不能全部以线性形式出现例如拟合函数：注：最小二乘法中拟合函数的确定最小二乘法中确定拟合函数是很关键的，通常有以下两种形式，1：如果没有现成的规则，可以通过散点图，结合曲线的形状变化趋势进行分析，建立经验模型；2：可以通过机理分析建立数学模型来确定拟合函数，如人口增长的Logistic模型就是通过机理分析法推导出来的。用MATLAB作线性最小二乘拟合式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有程序:在MATLAB中线性最小二乘拟合就是做多项a=polyfit(x,y,m)输入同长度的数组x，y拟合多项式次数说明:1.a-输出拟合多项式系数a=[a1,a2,…,am+1]2.多项式在x处的值y可用以下命令计算：y=polyval（a,x）温度t(ºC)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032例：已知热敏电阻数据：求60ºC时的电阻R．>>x=[20.532.751.073.095.7];>>y=[7658268739421032];>>a=polyfit(x,y,1)%做一次多项式拟合>>plot(x,y,'+')%绘制散点图a=3.3987702.0968

设

R=a1t+a2R=a(1)*t+a(2)温度t(ºC)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032例：已知热敏电阻数据：求60ºC时的电阻R．>>w=polyval(a,60)%求预测值%求预测值t=60R=a(1)*t+a(2)%做拟合函数的图像>>t=[20:0.1:100];>>R=a(1)*t+a(2);>>plot(t,R)温度t(ºC)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032例：已知热敏电阻数据：求60ºC时的电阻R．>>plot(x,y,'+')%做拟合效果对比图>>xlabel('温度')，ylabel('电阻')>>t=[20:0.1:100];>>R=a(1)*t+a(2);>>plot(t,R)>>holdon>>holdoff

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01例已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律c(t).(1)首先绘制散点图，观察规律>>x=[0.250.511.523468];>>y=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];>>plot(x,y,'+')>>xlabel('时间')，ylabel('药物浓度')>>clear(2)作线性拟合>>a=polyfit(x,y,2)%做2次多项式拟合>>holdon%做拟合曲线图。>>plot(x,y,'+')>>t=[0:0.01:8];>>c=a(1)*t.^2+a(2)*t+a(3);>>plot(t,c)%做拟合效果对比图>>holdoff用MATLAB作非线性最小二乘拟合

MATLAB提供了求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit．这个命令都要先建立M文件fun.m，在其中定义函数f(x).输入格式为:

fun是一个事先建立的定义函数F(x,xdata)的M文件,自变量为x和xdatax=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);迭代初值已知数据点例假设有一组实测数据xi0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

yi2.32012.6472.97073.28853.60083.9094.21474.51914.82325.1275假设已知该数据可能满足的原型函数为试求出满足下面数据的最小二乘解的a,b,c,d的值。

解先建立原型函数，建立f1.m文件，在M文件编辑器中输入functiony=f1(a,x)y=a(1)*x+a(2)*x.^2.*exp(-a(3)*x)+a(4);再在命令窗口中输入：>>clear>>x=[0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0];>>y=[2.32012.6472.97073.28853.60083.9094.21474.51914.82325.1275];>>a=lsqcurvefit('f1',[1;2;2;2],x,y)输出结果：a=2.56392.17251.50102.0616作对比效果图：>>x1=[0:0.01:1];>>y1=f1(a,x1);>>plot(x1,y1)>>holdon>>plot(x,y,'+')>>holdoff例:如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，并且我们会发现在不同的刊物预报同一时间的人口数字不相同，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。我国是世界第一人口大国，基本上地球每九个人中就有一个中国人。有效地控制我国人口的增长是使我过全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要。而有效控制人口增长的前提是要认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报。

例如：1949年—1994年我国人口数据资料如下：年份ti1949195419591964196919741979198419891994人口数yi5.46.06.77.08.19.19.810.311.311.8建模分析我国人口增长的规律,预报1999年我国人口数。说明：人口增长的经典数学模型(Logistic模型)其中：参数x0为人口初始数据，xm为最大人口容量，r为固定增长率，x(t)为第t年的人口数量。这里x0可以用第一年的统计数据代替，而另外两个参数需要用曲线拟合的方法进行估计。解：首先建立Logistic模型的函数文件，在M文件编辑器中输入functiony=f2(a,t)y=a(1)./(1+(a(1)/5.4-1).*exp(-a(2)*t));%a(1)=xm,a(2)=r然后在命令窗口中输入：>>t=[0:1:9];%将年份用0~9替换>>y=[5.46.06.77.08.19.19.810.311.311.8];

>>a=lsqcurvefit('f2',[100,1.8],t,y)

作对比效果图：t1=[0:0.1:9];

y1=f2(a,t1);plot(t1,y1)holdonz1=f2(a,t);%求出拟合函数在t年处的人口值plot(t,y,'+')holdoffxlabel('年'),ylabel('人口数')实际应用中插值和拟合方法的选择：

由于插值和拟合方法面对问题有很大的相似性，最终目的都是给定一组测量数据，找出尽可能反应数据变化规律的近似函数，并进行预测。所不同的是插值要经过所有数据点，而拟合不需要。这决定了两者在方法和原理上有着本质的不同。那么在实际应用中，到底选择哪方面比较恰当？大致可以从以下三个方面来考虑。1、如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值的方法，因此插值法可以保证插值函数和被插函数在插值节点处完全相等。2、如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是严格精确的，那么宜采用数据拟合的方法。这是因为一方面测试或统计数据本身就带有误差，如果要求所得函数与原有数据完全吻合，就会使所求函数