第二章 有心力

第二章有心运动§2.1

有心力和有心运动

一、有心力的基本性质1.有心力：运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。有心力的量值一般为r的函数。2.平面运动因为力通过力心质点必在平面内运动。如：月亮绕地球运动、地球绕太阳运动3.运动微分方程(1)直角坐标(2)极坐标物理意义:动量矩守恒4.有心力为保守力机械能守恒定律：解决问题的基本出发点：二、轨道微分方程：比耐公式通常求轨道：然后消去t后得到。但在有心力中，所有对于时间的微分都可以通过消除，从而得到关于r

与θ的微分方程,求解轨道微分方程可得轨道方程。令：--比耐公式用途:1、已知力的具体形式，求轨道运动；2、已知轨道形状，求力的具体形式复习1、有心力的特点……；4、基本方程：5、比耐公式：2、有心力下质点必做平面运动；3、有心力下质点动量矩守恒、机械能守恒；后面讨论的是第一类问题，我们看第二类问题的例子§2.2

平方反比引力──行星运动引力:比耐公式变为A,θ0微积分常数,将极轴转动使θ0=0为正焦弦的一半为偏心率,由初始条件确定以太阳为焦点的圆锥曲线e<1椭圆e=1抛物线e>1双曲线决定行星运动轨道通过守恒律讨论轨道形状设无穷远处为零势能,任意位置的势能为：机械能守恒律写为：已知角动量值守恒：结合消去t。如何做？作变换，代入机械能守恒律，得决定行星轨道E<0椭圆E=0抛物线E>0双曲线§2.3

圆轨道的稳定性

在有心力势场中：设势能V（r）令：有效势能满足：为稳定平衡等效为质点在矢径方向作一维的运动，圆轨道稳定条件：若：则二维的圆运动，化为一维的静平衡.§2.4

平方反比斥力—α质点的散射α粒子(42H)散射:把一束具有一定能量的α粒子碰撞靶核（用重金属及薄的箔），靶核金属原子核带电Ze.α粒子所受的金属原子核的万有引力可以认为是有心斥力：α粒子具有的势能：定义V（∞）=0，则α粒子的机械能守恒：α粒子的运动轨道：因E>0而为双曲线的一个分支。1、α散射的轨道方程用比耐公式讨论确定A、B:①从无穷远处入射，θ=π，r=∞，即u=0.②无穷远处，θ=π，y=ρ.无穷远处，A，B都已确定，故α粒子被散射的轨道方程为：因故代入2、偏转角Α粒子远离力心后r=∞，u=0,θ=φ，代入用方便测量的量代替。？偏转角φ可见，只要瞄准距离ρ足够小，就可能出现大角度的反弹。这正可以解释卢瑟福的α散射实验出现的大角度散射现象。补充例题例1.一质量为m的小环在半径为r的水平圆环上，设小环的初速度为，小环与圆环的摩擦系数为，求小环经过多少弧长后停止运动。解：1.

研究对象：小环

2.

参考系：地面坐标系：自然坐标系3.

受力分析：4.

列运动微分方程:联立方程(1)、(2)和(3)得分离变量得：两边求定积分得3.

受力分析xyoAB解法一:1.

研究对象：质点2.

参考系：地面，坐标系:

直角坐标系4.

列运动微分方程例2.质量为m的质点，沿半径为R的圆上的光滑AB弦运动，次质点受一指向圆心o的引力作用，引力大小与质点到o点的距离成反比，开始时质点静止于A处，求质点通过点的速度，已知分离变量得两边求定积分得解法二：质点机械能守恒(有心力为保守力，R不作功)(1)

求势能函数选势能零点(2)用机械能守恒列方程得例3.

一质点穿在一光滑抛物线轴线上方h处，并从此处无初速地滑下，抛物线的方程为，p为常数。问滑至何处，曲线对质点的反作用力将改变符号？Aoxy解：1.研究对象：质点2.参考系：地面坐标系：自然坐标系3.

受力分析4.列质点运动微分方程

(5)解方程由(1)得在N=0处，反作用力将改号，由(2)得(3)式变为：整理得即改号处得y为方程(4)的根。例4.光滑滑道AB的后部是半径为a的圆环，重为P的物体由静止自高度h沿AB下滑。求：①使物体通过圆环顶点不脱落的h最小值；②若圆环上部形成一角的缺口，欲使物体越过缺口仍能通过圆环，h应该多大；欲使h为最小，为？CDEoB零势能A解：①物体在重力场中沿滑道滑到E点的过程中，不作功，只有重力做功，机械能守恒同时，物体在E点的法向运动微分方程为