电磁场-概述、矢量分析

电磁场与电磁波2023年1月16日张瑞峰zhangruifeng@教材&参考书自编教材“电磁场与电磁波”毕德显，“电磁场理论”卢荣章，“电磁场与电磁波基础”谢处方，“电磁场与电磁波”P.劳兰，D.R.考森，陈成钧译，“电磁场与电磁波”网易公开课，MIT，WalterLewin

，“电与磁”/special/opencourse/electricity.html学习态度和方法电磁场难学，但无法回避，整个民族不能永远停留在为发达国家代工的水平上，需要在高科技领域有自己的知识产权。“在橄榄球场上，我们总是说其他队战胜不了我们。我们必须坚信我们不能打垮我们自己。所有人都必须这么做，确保自己不要被自己打垮。你会发现，来得容易的东西总是一文不值。事实上，我从来没有看到哪位橄榄球运动员带着微笑完成阻截的。从来没有。”（伍迪•海耶斯，大学橄榄球教练，1986年在俄亥俄州立大学的毕业典礼演讲）本课的学习方法掌握整个电磁场理论的知识体系结构:场和波，场分为静态场和时变电磁场，静态场包括静电场、恒定电场和恒定磁场。波只涉及最简单的均匀平面电磁波。另外还可以从电磁学的发展历史入手，关注几个里程碑式的大科学家，建立发展脉络。对于每一种场的描述都遵循亥姆霍兹定理，即需要了解场的旋度、散度方程和边界条件，矢量场可唯一确定。然后是其对应的能量和力，再者是其对应的工程物理量。如何面对数学问题复习高等数学和场论查字典式，用什么找什么，无需全盘重来在数学推导过程中强化物理概念，不要把本课程当成大学物理和高数的混合升级，数学只是工具，一种描述语言，重要的是物理思想和逻辑，不能由于数学的复杂牵扯了我们太多精力，就忽略电磁场的意义。电磁场理论的应用领域军用航空航天卫星通信移动互联网（平板电脑PAD智能手机SmartPhone）物联网（IternetofThings）无线传感网（WSN）（UWB和空白电视频段:超级WiFi，16Mbps,10Km）无线供电(电磁感应无线电波电磁共振)，能量获取微波能近距离无线通信（NFC），手机钱包电子产品的EMC静电放电（ESD）问题太赫兹波2023/1/167标量场和矢量场矢量与矢量场的不变特性矢量的通量散度矢量的环流旋度标量场的梯度亥姆霍兹定理小结矢量分析2023/1/16

JinJie8单位矢量：表示矢量的方向

一、

标量场和矢量场标量：实数域内任一代数量。（-∞~+∞）矢量：三维空间内既有大小又有方向特性的量，称矢量，记为，为的模。线段表示模，箭头是的方向。具有物理涵义的矢量：被赋予“物理单位”，含两个变量，模与方向。物理量：任意代数量被赋予“物理单位”，具有物理意义，例如电压，电流。其中是任意取向的单位矢量。2023/1/16

JinJie9

矢量乘法：

矢量间的除法无意义2023/1/1610•静态场：与时间无关.•动态场或时变场：与空间和时间有关。•标量场：只需用标量函数描绘的场。例：•矢量场：需要物理矢量描绘的场。例：力场，流速场。

场：物理量数值的无穷集合表示一种场。例温度场与空间、时间有关。场重要属性：占有空间；除有限个点和面而外，场量处处连续2023/1/1611矢量场可以分解为三个分量场其中为位置矢量，从坐标原点指向空间位置点，为三个标量场。•场图：研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方法。图0.1.1等值线矢量分析2023/1/16

12场线微分方程：：力线切向微分矢量，矢量分析方向为切向方向。2023/1/16

JinJie13二、

矢量与矢量场的不变特性（指与坐标系关系）(1)空间点的曲线坐标与坐标系

空间中任一点与有序数一一对应，则称为空间点的曲线坐标。坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即三种常用的坐标系：

2023/1/16

JinJie14圆柱坐标（特点见附录1）2023/1/16

JinJie15圆柱坐标中的体积元2023/1/16

JinJie16球坐标（特点见附录1）2023/1/16

JinJie17球坐标中的线元2023/1/16

JinJie18(3)矢量不变性：(2)唯一：当一定时，、是唯一的。与所选坐标系无关。矢量与矢量场的不变特性2023/1/16

JinJie19例1有一个二维矢量场，求：力线方程，绘制场图。力线微分方程即力线方程为圆方程。两边同时积分，整理得再观察矢量的特点，有解：2023/1/16

JinJie20单位矢量即：，定性描述场图为图1.2.2，密度正比于r。若在圆柱坐标下：2023/1/16

JinJie21三、

矢量的通量和散度

(面元方向)⑴面元矢量：2023/1/1622矢量分析⑵通量：矢量垂直穿过一个曲面的总量注意：通量是标量穿过任意闭合面上的通量有特殊意义：其中为矢量与的夹角2023/1/1623矢量分析⑶散度：研究矢量场在一个点附近的通量特性。表示从该点单位体积内散发出来的通量，表征通量源强度，又称散度源（称矢量场通量源）与大小形状无关，与沿空间位置变化有关。直角坐标系下：圆柱坐标系下：球坐标系下：2023/1/1624

引入拉梅系数使三种坐标系中矢量散度用统一表达式描述。直角坐标中的拉梅系数值：1，1，1球坐标中的拉梅系数值：圆柱坐标中的拉梅系数值：拉梅系数：矢量散度统一表达式2023/1/1625矢量分析例3：矢量场,计算穿过一个球心原点、半径为a的球面的通量，并求散度。解：采用球坐标球坐标直角坐标与坐标系无关。2023/1/1626矢量分析⑷散度定理：(高斯定理）由可得：揭示了散度与通量关系。上题：已知，则球面的通量2023/1/16271、线积分：四、

矢量的环流、旋度若为流体速度矢量环流是描述矢量场的重要物理量2、环流：矢量沿闭合曲线的线积分2023/1/16283、旋度：环流的面密度，表征每个点附近的环流状态，其值与面元及环流矢量有关，其中最大值为旋度。记为（即旋涡面与面元矢量相重合时）公式：直角坐标系下其中为任意面元，在矢量上投影为。2023/1/1629

圆柱坐标系下：球坐标系下：2023/1/1630

引入拉梅系数使三种坐标系中矢量旋度用统一表达式描述。矢量旋度统一表达式2023/1/1631例1.4.1求矢量场沿面内的积分及。

矢量分析∴解：∵代入得：2023/1/16

JinJie32矢量分析4、旋度的性质：旋度的散度恒等于零，即证明：利用此性质，若，可令满足：2023/1/16

JinJie335、斯托克斯定理斯托克斯定理

是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为由右图可知2023/1/1634

斯托克斯定理提供了计算环流的又一方法。

矢量函数的线积分与面积分的互换。

该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系在电磁场理论中，散度定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。斯托克斯定理2023/1/1635

1、标量场的梯度

梯度的模是的最大增加率，方向是等值面的法线方向，即增加率最大方向且指向u值增加方向。五、

标量场的梯度

引入拉梅系数用统一表达式描述梯度。拉梅系数：直角坐标中的拉梅系数值：1，1，1球坐标中的拉梅系数值：圆柱坐标中的拉梅系数值：2023/1/16362023/1/16372、梯度性质：①表征标量的增量2023/1/1638③梯度的旋度恒为零（重要性质）

矢量分析②梯度是与等值面垂直的量应用：若在场中各点有，则可用某一标量场的梯度表示，即：2023/1/16

JinJie39例1.5.1求二维标量场的梯度，并取任一回路，证明解：选aoca

闭合回路为证毕ac2023/1/1640矢量分析六、

亥姆霍兹定理

当散度源、旋度源分布确定，矢量场就唯一确定了。

矢量场有两种不同性质的场：若矢量场：1、无旋场（具有散度源）：

标量场的性质完全由它的梯度来表明。则为无旋场，即：可用标量场的梯度表示，标量场称为位场或势场，具有保守性。即2023/1/1641例如:静电场为无旋场，2023/1/1642

若矢量场仅由旋度源产生，则3、亥姆霍兹定理任一矢量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。即无旋场与无散场之和。即空间各点散度为0。此时2、无散场（具有旋度源）

即可用矢量的旋度表示。亥姆霍兹定理：若矢量场在无限空间中处处单值，且导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为：2023/1/1643矢量分析式中：

由亥姆霍兹定理，在无界空间中，当矢量连续，散度、旋度给定，就可通过积分计算出任一点的矢量场。2023/1/1644小结

矢量场在闭合面S的通量定义为，它是一个标量；矢量场的散度也是一个标量，定义为

我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，他们都是空间坐标的连续函数。矢量场在闭合路径C的环流定义为，它是一个标量 矢量场的旋度是一个矢量，它定义为2023/1/1645标量场u(r)中，梯度的定义为 ， 其中 为 变化