第2-3次课-第1章信号及其描述

第一章信号及其描述第2次课1第一节信号的分类与描述第二节周期信号与离散频谱第三节非周期信号与连续频谱第四节随机信号2教学目的与要求1、了解信号分类及描述方法；2、掌握傅里叶级数的三角函数和复指数函数展开式；3、掌握各种典型周期信号频谱分析与计算。重点及难点：

1、学会辨别各种信号；

2、傅里叶级数的三角函数和复指数函数展开式。3（二）信号的时域描述和频域描述（1）

时域描述：以时间t为独立变量的描述方法。例：（2）

频域描述：以频率ω为独立变量的描述方法。例：对上例应用傅立叶级数展开：

此式表明该周期方波是由一系列幅值和频率不等、相角为零的正弦信号叠加而成的。tx(t)A-A-T0/20T0/24周期方波的描述56x2(t)=x1(t-)7讨论：1、时域描述：信号瞬时值随时间变化。如：振动中反映的是振动的烈度。3、两者描述的是同一信号，只是变换域不同，研究的方面不同。2、频域描述：反映信号频率组成及其幅值、相角大小。例：寻找振源8910一、傅立叶级数的三角函数展开式二、傅立叶级数的复指数函数展开式三、周期信号的强度表述第二节周期信号与离散频谱11一、傅立叶级数的三角函数展开式在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。狄里赫利条件——⑴在一个周期内，周期信号x(t)必须绝对可积；

⑵在一个周期内，周期信号x(t)只能有有限个极大值和极小值；

⑶在一个周期内，周期信号x(t)只能有有限个不连续点，而且，在这些不连续点上，x(t)的函数值必须是有限值。

或12常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值—周期—圆频率，13例：求下图周期性三角波的傅立叶级数Ⅰ-T0/2T0/2A解：在x(t)的一个周期中可表示为1/16/202314余弦分量的幅值正弦分量的幅值常值分量15结果：可见：周期性三角波频谱，其幅频谱只包含常值分量、基波、和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值收敛。在其相频谱中基波和各次谐波的初相位均为零。16根据欧拉公式：

式可改写成

二、傅立叶级数的复指数函数展开式有17令则或令则或(n=1,2,3,…)18一般情况下cn

是复数

与共轭19一些分析周期函数x(t)展开为傅立叶级数的复指数函数形式后可分别以|Cn|

-ω

和θn-ω作幅频谱图和相频谱图也可分别以CnR

–ω和C

nI

–ω作实频谱图和虚频谱图20三角函数展开式与复指数函数展开式对比：(n=1,2,3,…)a)复指数函数形式的频谱为双边谱（ω从-∞～∞），

三角函数形式的频谱为单边谱（ω从0～∞）；b)|Cn|=½An，|c0|

=a0c)双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。21负频率说明主要原因：角速度按其旋转方向可以为正或负，一个矢量的实部可以看成为两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，而虚部则为虚轴上投影之差。ω0-ω0A/222例题1-1画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。解：根据式子故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称;正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。结论：一般周期函数按傅立叶级数的复指数函数形式展开后，其实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是奇对称的。23周期信号频谱的三大特点1）离散性周期信号的频谱是离散的。2）谐波性

每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数。3）收敛性

各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐波次数的增高而减小的。因此，在频谱分析中没必要没必要取那些次数过高的谐波分量。24周期信号的强度以峰值xp、绝对均值u|x|

、有效值xrms和平均功率pav来表述。见下图：三、周期信号的强度表述254）平均功率—有效值的平方（均方值）就是信号的平均功率1）峰值是信号可能出现的最大瞬时值，即峰-峰值是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差2）绝对均值—周期信号全波整流后的均值3）有效值—是信号的均方根值262728第三节瞬变非周期信号与连续频谱一、傅立叶变换二、傅立叶变换的性质三、典型信号频谱29另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0，fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。30（√）准周期信号瞬变非周期信号非周期信号具有离散频谱的信号不一定是周期信号。Or

几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。周期信号—由很多简谐信号叠加而成，判断对错：任意两个谐波的频率比都是有理数存在至少两个谐波的频率比是无理数准周期信号—由很多简谐信号合成，（√）31非周期信号常见示例指数衰减信号矩形脉冲信号衰减振荡信号单一脉冲信号32一、傅立叶变换对于非周期信号的理解周期信号频谱谱线的频率间隔当周期趋于无穷大时，其频率间隔趋于无穷小，谱线无限靠近。变量连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。注意：通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号

准周期信号具有离散频谱傅立叶变换满足的条件：狄里赫利条件收敛33设有一个周期信号x(t)在区间以傅立叶级数表示为

将代入上式则得34

当趋于无穷大时，频率间隔成为，离散频谱中相邻的谱线紧靠在一起，成为连续变量，求和符号就变为积分符号，则——这就是傅立叶积分式1-2535两者称为傅立叶变换对，可记为

代入式1-25中，则式1-26、式1-27变为式1-26式1-27—傅立叶变换—傅立叶逆变换36关系

一般是实变量的复函数，可以写成式中为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱。37例题1-3求矩形窗函数的频谱常称为矩形窗函数，其频谱为Ⅰ38引入式式中T称为窗宽有定义sinc

θ

=sinθ/θ，以2π为周期并随θ的增加而做衰减振荡。sincθθSincθ函数是偶函数，关于纵轴对称，当θ=nπ(n=±1,±2,…)时为零。3940作业：P401-1、1-2、1-3更正：2、P40页1-2题中绝对均值改为。1、P32页倒数第9行应改为

41傅立叶变换的主要性质熟悉傅立叶变换的性质的重要意义简化作用！！！第3次课42（一）、奇偶虚实性一般X(f)是实变量f的复变函数。余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。ⅰ.若x(t)是实偶函数→X(f)是实偶函数ⅱ.若x(t)是实奇函数→X(f)是虚奇函数证明：若x(t)是实偶函数则ReX(-f)=ReX(f)实偶

ImX(f)=0

故X(-f)=ReX(-f)=ReX(f)=X(f)是实偶函数证明：若x(t)是实奇函数则ReX(f)=0ImX(-f)=-ImX(f)实奇故X(-f)=-jImX(-f)=jImX(f)=-X(f)是虚奇函数43ⅲ.若x(t)是虚偶函数→X（f）是虚偶函数ⅳ.若x(t)是虚奇函数→X（f）是实奇函数证明：若x(t)是虚偶函数则ReX(-f)=ReX(f)虚偶

ImX(f)=0

故X(-f)=ReX(-f)=ReX(f)=X(f)是虚偶函数证明：若x(t)是虚奇函数则ReX(f)=0ImX(-f)=-ImX(f)虚奇故X(-f)=-jImX(-f)=jImX(f)=-X(f)是实奇函数44（二）、线性叠加性若x1(t)X1(f)若x2(t)X2(f)则c1x1(t)+c2x2(t)c1X1(f)+c2X2(f)45（三）、对称性若则

以-t代替t得将t与f互换，即得X(t)的傅立叶变换为所以证明：由46（四）、翻转性若令t=-t,则有所以证明：因为则47（五）、时间尺度改变特性窗函数

特性举例若则证明：48

当时间尺度压缩(k>1)时，频谱频带加宽、幅值降低；当时间尺度扩展(k<1)时，频谱频带变窄、幅值增高。49（六）、时移与频移特性若则，时域频域50证明：将式中的t替换为t-t0移项，得则得到即同理可证51证明：将式中的f替换为f-f0则得到移项，得即同理可证52频谱分析的应用53

卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与频率域变换分析，它是沟通时域－频域的一个桥梁。因此了解卷积积分的数学物理含义是很必要的。

卷积积分的概念

（七）、卷积特性54

在系统分析中，系统输入／输出和系统特性的作用关系在时间域就体现为卷积积分的关系，如下图所示用公式表示有

y(t)=x(t)*h(t)

函数x(t)与h(t)的卷积积分定义为

55若则卷积特性此称为时域卷积定理，它说明时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，即在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中两频谱相乘。56证明：=X1(f)·X2(f)57

X(f)*H(f)

<=傅里叶逆变换=>

x(t)h(t)

此称为频域卷积定理，它说明两时间函数的频谱的卷积等效于时域中两时间函数的乘积。如果：H(f)--傅里叶逆变换-->h(t)

X(f)--傅里叶逆变换-->x(t)则：58证明：59（八）、微分和积分特性若可得同理60证明：因为所以故有61证明：则故有线性62典型信号的频谱举例分析矩形窗函数的频谱函数及其频谱正、余弦函数的频谱密度函数周期单位脉冲序列的频谱63一、矩形窗函数的频谱函数关系式：频谱：64二、函数及其频谱

在ε时间内激发一个矩形脉冲，其面积为1。当ε趋于0时，的极限就称为δ函数，记做δ(t)。δ函数称为单位脉冲函数。从面积的角度来看（也称为δ函数的强度）1、δ函数定义652、δ函数的采样性质此性质表明任何函数f(t)和δ(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的δ函数δ(t-t0),而该乘积在无限区间的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。663、函数与其他函数的卷积特性x(t)函数和δ函数的卷积的结果，就是在发生δ函数的坐标位置上简单地将x(t)重新构图。674、δ(t)的频谱将δ(t)进行傅立叶变换其逆变换为时域的δ函数具有无限宽广的频谱，且在所有频段上都是等强度的（均匀谱）。△(f)=68根据傅立叶变换的对称、时移、频移性质，可得到下列傅立叶变换对：δ(t)↔11↔δ(f)69三、正、余弦函数的频谱密度函数1、定义正余弦函数的傅立叶变换如下：70711、定义等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用其傅立叶级数的复指数形式四、周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列72在（-Ts/2,Ts/2）区间内，

只有一个δ函数δ(t)，所以得到可得comb(t,Ts)的频谱comb(f,fs)也是梳状函数根据令f0=kfs（δ函数采样性质）73周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列74一、概述

随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的,不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。第四节、随机信号75随机过程{x(t)}={x1(t),x2(t),…,xi(t),…}集合平均—将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均xi(t)ti...时间平均—按单个样本的时间历程进行平均的计算76随机过程平稳过程非平稳过程各态历经随机过程√非各态历经随机过程77二、随机信号的主要特征参数

（一）均值、方差和均方值1、782、方差描述随机信号的波动分量，它是偏离均值ux的平方的均值，即