4向量组的线性相关性

会计学14向量组的线性相关性向量组的线性相关性n维向量的概念向量组的线性相关性线性相关性的判别定理向量组的秩向量空间第1页/共77页§1

n维向量的概念第2页/共77页1、定义ｎ个数组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，如：记作α,β,γ.ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，一、ｎ维向量（Vector）第3页/共77页2、元素全为零的向量称为零向量（NullVector）.3、维数相同的列（行）向量同型.元素是复数的向量称为复向量（ComplexVector）.2、几种特殊向量1、元素是实数的向量称为实向量（RealVector）.4、对应分量相等的向量相等.第4页/共77页二、向量的运算1、加法2、数乘向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.第5页/共77页3、运算律（1）

（交换律）（2）

（结合律）（3）（4）(设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数)（5）（6）（7）（8）第6页/共77页.},,,),,,({21T21维向量空间叫做集合维向量的全体所组成的nRxxxxxxXRnnnnÎ==LL.},,),,({3叫做三维向量空间的集合三维向量的全体所组成RzyxzyxrRTÎ==第7页/共77页三、应用举例第8页/共77页例1设求解第9页/共77页线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．即或第10页/共77页向量组与矩阵的关系其第ｊ个列向量记作ｍ个ｎ维行向量.按行分块按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.第11页/共77页§2向量组的线性相关性

第12页/共77页一、向量组的线性相关性定义线性相关线性无关第13页/共77页的一个线性组合则称为向量

定义2使得一组实数若存在设n维向量,,,,,,,,2121mmkkkaaaLL,,,,maLa12a线性表示或称能由向量,,,maLa12a)(组成的集合叫做向量组.所或同维数的行向量若干个同维数的列向量第14页/共77页16定义3★如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.★一个向量a=0线性相关,而时线性无关★两个向量线性相关它们对应分量成比例第15页/共77页17i.e.二、判别方法1.向量个数未知数的个数向量维数方程的个数(无)(没)(没)第16页/共77页18第17页/共77页19第18页/共77页2.第19页/共77页21第i个分量3.第20页/共77页22从向量组中找尽量多的线性无关向量第21页/共77页例2解第22页/共77页第23页/共77页例3证一第24页/共77页第25页/共77页三、性质第26页/共77页28整体无关部分无关部分相关整体相关第27页/共77页第28页/共77页30定义

第29页/共77页练习设向量组线性相关，则ｋ

.第30页/共77页§4向量组的秩第31页/共77页§4向量组的秩向量组等价极大线性无关组与向量组的秩向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵的秩与矩阵的运算第32页/共77页1.定义4一、向量组等价第33页/共77页第34页/共77页第35页/共77页第36页/共77页2.性质

1）自反性

2）对称性3）传递性具有以上性质的关系称为等价关系第37页/共77页1定义7二、极大线性无关组与向量组的秩第38页/共77页＊＊＊第39页/共77页第40页/共77页第41页/共77页第42页/共77页第43页/共77页三、向量组的秩与矩阵秩的关系第44页/共77页向量组与矩阵的关系其第ｊ个列向量记作ｍ个ｎ维行向量.按行分块按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.第45页/共77页第46页/共77页证第47页/共77页第48页/共77页第49页/共77页证明设Ａ的某些列有关系则相应的具有相同的线性关系.即Ｂ中列向量组与Ａ中列向量组第50页/共77页第51页/共77页解：第52页/共77页第53页/共77页第54页/共77页总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法方法1：矩阵的初等行变换法（1）以向量组中的向量为列向量作矩阵（2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）（3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求方法2：录选法（1）在向量组中选一个非零向量（2）再选一个与的对应分量不成比例的向量（3）再选一个不能由线性表出的向量线性表出的向量……第55页/共77页四、矩阵的秩与矩阵的运算第56页/共77页例14.第57页/共77页第58页/共77页练习.第59页/共77页证明:第60页/共77页第61页/共77页§5向量空间第62页/共77页向量空间概念基与维数向量的坐标第63页/共77页说明一、向量空间的概念定义1

设V为n

维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间．第64页/共77页例2例1

第65页/共77页例3例4练习1练习2第66页/共77页例5第67页/共77页那么，向量组就称为向量

的一个基，称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．二、向量空间的基与维数定义2

设是向量空间，如果个向量，且满足若V的维数为r，记做