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会计学13数量积与向量积结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.第1页/共34页关于数量积的说明：证证第2页/共34页数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数若、为数：证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）第3页/共34页

仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明第4页/共34页设数量积的坐标表达式第5页/共34页两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为第6页/共34页解第7页/共34页证第8页/共34页例3应用向量证明Cauchy—Schwarz不等式证记则第9页/共34页例4应用向量证明直径所对的圆周角是直角证如图所示xyoABC圆的方程：设A点的坐标为则第10页/共34页例5设是三个单位向量始于同一点O且证明它们终点的连线构成一等边三角形证一ABCO又第11页/共34页由同理故它们终点的连线构成等边三角形证二由得又第12页/共34页同理故由余弦定理，有故它们终点的连线构成等边三角形第13页/共34页实例二、两向量的向量积第14页/共34页定义关于向量积的说明：//向量积也称为“叉积”、“外积”.第15页/共34页向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数证////第16页/共34页设向量积的坐标表达式第17页/共34页向量积还可借助于三阶行列式表示由上式可推出//第18页/共34页例如，补充第19页/共34页解第20页/共34页解三角形ABC的面积为第21页/共34页解第22页/共34页定义设混合积的坐标表达式三、向量的混合积第23页/共34页（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：——轮换对称性第24页/共34页证明由共面设由混合积的几何意义知得共面第25页/共34页解例9第26页/共34页解第27页/共34页式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.第28页/共34页例11设是四个已知向量，其中不共面，试利用矢量运算将表示为的线性组合[分析]依题意其中x,y,z待定为求得x，须消去

y,z由上式可见，若能用一个与都垂直的向量，则y,z可同时消去，自然想到

解设有第29页/共34页以与上式两端作点积，得由于不共面同理又由轮换对称性知第30页/共34页向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结

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