312用二分法求方程的近似解

会计学1312用二分法求方程的近似解第1页/共31页1.理解二分法求方程近似解的原理．2．能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解．3．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.第2页/共31页1.二分法的定义对于在区间[a，b]上

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法，叫做二分法．连续不断且f(a)·f(b)<0一分为二零点第3页/共31页能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？参考答案：不能．看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号．第4页/共31页2．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证

，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；f(a)·f(b)<0第5页/共31页(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈

)；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈

)．(4)判断是否达到精确度ε：即若

，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).(a，c)(c，b)|a－b|<ε第6页/共31页1.用“二分法”求方程近似解对于在某区间上图象连续不断的函数，我们只需找到一个区间，使区间两个端点处的函数值异号，就可判定在此区间内至少有一个零点．但并不是所有函数的零点都能用这种方法找到，例如y＝x2的零点附近就没有一个这样的区间．通过“二分法”求方程的近似解，要体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．第7页/共31页2．使用“二分法”注意的几个问题二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，当达到一定精确度要求时，所得区间内的任意一点就是零点的近似值，在计算时要注意以下两点：(1)选好计算的初始区间，保证所选区间既要符合条件，又要使其长度尽量小．(2)计算时要注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足这一精确度．第8页/共31页二分法的思想虽然简单，但是在具体使用时，二分法还是有一定的局限性．首先，函数y＝f(x)在区间(a，b)内如果有几个零点时，使用二分法只能一次求得一个零点；其次，根据前面讲的，即使y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，f(a)·f(b)<0也未必成立．二分法的主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图象交点的横坐标等．在学习的过程中，我们应从本质上理解和掌握二分法的实质，准确合理地使用二分法解题.第9页/共31页第10页/共31页函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点．二分法只能求函数的变号零点．第11页/共31页例1

如下图所示，函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)第12页/共31页[解析]

根据二分法求函数近似零点的条件，虽然B是连续不断的函数，但对其定义域内任意区间[a，b]都不满足f(a)·f(b)<0，所以B不能用二分法求函数零点．故选B.[答案]

B第13页/共31页第14页/共31页[解析]

函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确．[答案]

D第15页/共31页1．用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使区间长度尽量小．2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．第16页/共31页例2

利用计算器，求方程lgx＝3－x的近似解(精确度为0.1)．[分析]

在同一坐标系内先作出函数y＝lgx与y＝3－x的图象，发现有一个交点，找到大致区间，后用二分法．[解]

令f(x)＝lgx＋x－3，在同一坐标系内作出函数y＝lgx，y＝3－x的图象，由图象可发现有一个交点，即方程lgx＝3－x有唯一解x0.且x0∈(2,3)，f(2)<0，f(3)>0，利用二分法，列表如下：第17页/共31页区间中点值中点函数值(符号)(2,3)2.5－0.102059991(－)(2.5,3)2.750.189332693(＋)(2.5,2.75)2.6250.044129307(＋)(2.5,2.625)2.5625－0.028836125(－)(2.5625,2.625)第18页/共31页[评析]

用二分法求方程的近似解，首先要选好初始区间，此区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求，以决定是继续还是停止计算．第19页/共31页求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度为0.1)．[解]

由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：第20页/共31页区间中点值中点函数值(1,2)1.5－2.625(1.5,2)1.750.2344(1.5,1.75)1.625－1.3027(1.625,1.75)1.6875－0.5618(1.6875,1.75)1.71875－0.1707第21页/共31页二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．第22页/共31页例32011年初我国南方遭遇了冻雨灾害，灾害发生后，停水断电，交通受阻．一日，某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？[分析]

对每一段线路一一检查很麻烦，当然也是不必要的，可以利用二分法的思想设计方案．第23页/共31页[解]

如右图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100m之间，即可迅速找到故障所在．第24页/共31页[评析]

本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度减半，就逐步逼近了函数的零点(或线路故障处)，从而使问题得到解决．第25页/共31页从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查接点的个数是________．[解析]

先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．[答案]

3第26页/共31页第27页/共31页区间中点中点函数值[1,2]1.51.375[1,1.5]1.25－0.0469[1.25,1.5]1.3750