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文档简介

第五章空间问题的有限元法四面体单元位移插值函数单元刚度矩阵弹性力学基本方程约束与载荷处理1弹性力学基本方程1、空间问题中位移与应变的关系——几何方程22、空间问题应力与应变的关系——物理方程弹性力学基本方程其中：3以应变分量来表示应力分量，有：弹性力学基本方程4写成矩阵形式有：弹性力学基本方程或简写为：（5-3）

5弹性力学基本方程3-1、空间问题域内任一区域的平衡方程6弹性力学基本方程3-2、边界上力的平衡条件（力边界条件）7全体外力在虚位移上所做的外力虚功为：全体内力在虚应变上所做的内力虚功为：由虚功原理知：弹性力学基本方程3-3、与平衡条件（平衡方程+力边界条件）等价的虚功原理（应用于一个单元）8四结点四面体单元单元自由度数=节点数乘每节点位移数=12１．四节点四面体单元的自由度四面体单元的位移插值函数

92．位移函数的选择平面三角形单元及其位移函数

用四个结点的12个位移来表示12个待定系数，然后将系数带入式（5-1），经整理得：（5-5）（5-6）N（i,j,m,p）称为形函数10可以证明：四节点四面体单元的位移插值函数能够保证有限元解答的收敛性。11单元刚度矩阵1、四面体单元的应变矩阵[B]将单元位移插值函数带入几何方程有：单元结点位移

应变矩阵

单元内任一点应变122、四面体单元的应力矩阵[S]由物理方程知：代入物理方程有：单元刚度矩阵把13（5-11）（5-12）式（5-11）为三角形单元的单刚，式（5-12）为四面体单元的单元刚度方程。

由于[B]和[D]均为常数矩阵。故有：

三、四面体单元的单刚与平面应力问题相似，利用虚功原理来推导四面体单元的单刚。

四面体单元的刚度矩阵14总结：

空间有限元法可以解决所有的实际问题。从原理、方法上讲，用有限元法求解空间问题与平面问题几乎无差别。应注意的是：对空间物体进行离散时不像平面问题那么直观，很容易产生错误。空间问题计算规模剧增。15约束处理重点了解：

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