飞行器结构动力学-第6章

第6章连续体振动6.1弦的振动

6.2杆的纵向振动6.3轴的扭转振动6.4梁的横向振动

6.5简支梁情形6.6固支梁情形

6.7悬臂梁情形

6.8振型函数的正交性

6.9主振型叠加法

第5章工程振动测试和实验前言

连续系统：由弹性体元件组成

理想弹性体的振动理想弹性体是满足以下三个条件的连续系统模型：

均匀分布各向同性服从虎克定律

弹性体特点分布的物理参数（质量、阻尼、刚度）空间位置需用无数个点的坐标来确定（无限个自由度）有无限个固有频率以及与之相应的主振型主振型间关于质量和刚度的正交性自由振动＝各主振动的线性叠加主振型叠加法仍然适用于动响应分析前言

理想柔软的细弦张紧于两固定点间，张力为T，跨长为l，弦单位长度的质量为ρ，两支点连线方向取为x轴，与x轴垂直的方向取为y轴。求弦的自由振动方程。

波动方程6.1弦的振动假设：振动在xoy平面内，弦的运动y=y(x,t)

振幅很小（y

与均为小量）T≈常量忽略重力与阻尼的影响横向振动微分方程6.1弦的振动弦的微元dx受力图

（6-1）

边界条件：固支（6-2）6.1弦的振动c是弹性波沿弦向的传播速度波动方程

将弦振动函数y(x,t)分解为空间函数与时间函数的乘积（6-3）

X(t)：振型函数，表示整个弦的振动形态

Y(t)：点的振动规律（6-4）要对任意的x与t都成立，等式两边必须等于同一常数α特征方程6.1弦的振动（6-3）代入（6-1）解得

（6-7）（6-8）6.1弦的振动取（6-5）（6-6）边界条件（6-9）（6-10）（6-11）特征值特征函数/振型函数（6-12）（6-13）6.1弦的振动弦振动的特征方程固有频率（6-14）弦的主振动（6-15）（6-16）Ai，Bi由运动初始条件确定。设在（6-17）6.1弦的振动由三角函数的正交性（6-18）张紧弦的自由振动＝基频振动＋倍频(基频整数倍)振动倍频振动亦称为谐波振动

例:张紧弦在初始时刻被拨到如图位置，然后无初速度地释放。求弦的自由振动。

解：按题设，有

6.1弦的振动弦的自由振动由(6-18)

6.1弦的振动

6.2杆的纵向振动

假设：1）杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动；2）略去杆纵向伸缩引起的横截面变形。

杆的纵向为x

轴，各截面纵向位移为u(x,t)杆密度:ρ，杆长:l，截面积:A，弹性模量:E截面x处纵向应变:ε(x)，纵向张力:P(x)

x=dx处的张力杆微元dx的运动方程6.2杆的纵向振动

整理得

得到类似（5-5）与（5-6）的常微分方程组令

6.2杆的纵向振动

积分常数A、B、C、D由初始条件和边界条件得边界条件两端固定

6.2杆的纵向振动

两端自由边界条件：两端应力必须为零一端固定一端自由边界条件：

6.2杆的纵向振动

一端固定一端弹性支承（支承刚度为k

）边界条件：6.3轴的扭转振动假设：轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。

以轴心线为x轴，截面x处转角:θ(x,t)轴长:l

，密度:ρ，截面对中心的极惯量矩:Ip，剪切弹性模量:G

。扭转应变:作用于dx

两截面的扭矩:,。波动方程运动微分方程6.3轴的扭转振动例:轴一端固定，另一端附有圆盘。圆盘的转动惯量为I。分析系统的扭振固有频率与振型函数。

解：令轴的扭转振动为且有

l端截面处的扭矩＝圆盘的惯性力矩边界条件：固定端（a）

考虑到

（b）6.3轴的扭转振动l端的边界条件由（b）

（c）（c）为轴系的特征方程α：轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比6.3轴的扭转振动由（a）

0.010.100.300.500.700.901.001.500.100.320.520.650.750.820.860.982.003.004.005.0010.020.01001.081.201.271.321.421.521.57不同α对应的基本特征特征值β1值如令，则（c）化简为

（d）忽略轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式

6.3轴的扭转振动这时有

（e）

进一步近似取

即将轴的转动惯量的1/3加到圆盘上后，所得单自由度扭振系统的固有频率公式只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量，则（e）在实用上已足够准确了

弦的横振杆的纵振轴的扭振物理参数弦的张力弦的线质量弹性模量截面积密度剪切弹性模量截面极惯性矩密度截面的位移横向位移纵向位移转角单位长度质量或转动惯量

截面x的力或扭矩

6.3轴的扭转振动弦的横振、杆的纵振与轴的扭振运动方程均为波动方程，具有共同的运动规律。

弦的横振杆的纵振轴的扭振波速

运动微分方程

通解

边界条件两端固定两端自由一端固定一端自由

固有频率

振型函数

6.3轴的扭转振动假设梁具有对称平面，梁的轴线（挠曲线）在振动中始终保持在对称平面内。理想弹性体，微幅振动，梁的长度与截面高度之比相当大6.4梁的横向振动梁挠曲线的微分方程未变形时的轴线为x轴对称面内与x轴垂直的方向为y轴（6-19）微元力矩平衡（6-20）梁挠曲线6.4梁的横向振动材料力学微元力平衡（6-21）梁弯曲振动的微分方程（6-22）4阶偏微分方程，需根据梁的支承情形附加适当的边界条件。数学上这类问题常称为偏微分方程的边值问题。

弯曲振动的微分方程6.4梁的横向振动等截面均质梁的运动方程

转角或

（6-23）

常见边界条件

固支端

挠度

铰支端

或（6-24）6.4梁的横向振动弯矩挠度

自由端或（6-25）弯矩剪力几何边界条件：对挠度或转角的限制条件。力边界条件：对弯矩与剪力的限制条件。边界条件的分类采用分离变量法，令（6-26）代人（6-22）振动微分方程求解要使上式对于任何x与t都成立，必须使二者都等于同一个常数－ω2

6.4梁的横向振动（6-27）（6-28）（6-27）的通解

（6-29）（6-28）是4阶常系数线性常微分方程，特征方程为6.4梁的横向振动特征值为

（6-28）的通解引用双曲函数其中为积分常数。

（6-30）

铰支端（6-24）

自由端（6-25）边界条件

固支端（6-23）

6.4梁的横向振动（6-31）（6-32）（6-33）边界条件中要用到的X(x)的各阶导数

6.5简支梁情形边界条件（6-34）（6-35）（6-36）（6-37）特征方程（6-38）特征值（6-39）固有频率（6-40）振型函数（6-41）与对应的主振动（6-42）6.5简支梁情形（6-43）自由振动设时由（6-43）（6-44）6.5简支梁情形但在x=ξ处有一微段δ因受撞击而获得初速度，即

例：设简支梁在t

=0时未发生位移，即试求梁的自由弯曲振动。

解：由（6-44）可得6.5简支梁情形设撞击发生在梁中点，即此时，只发生那些与中点截面对称的主振动，（即）而它们的振幅则按递减。

由（6-43）6.5简支梁情形固支梁的边界条件为（6-45）（6-46）由（6-45）（6-46）代入（6-31）～(6-33)（6-47）6.6固支梁情形若对有非零解，系数行列式必须为零。即

（6-47）特征方程（6-48）最低几个特征根的数值解4.7307.85310.99614.13717.2796.6固支梁情形超越方程其中，对应于的各个特征根可近似表示为梁的固有频率（6-49）由（6-47）可确定系数的比值：（6-50）6.6固支梁情形（6-51）前三阶振型与对应的振型函数可取为6.6固支梁情形取固定端为坐标系xOy原点。悬臂梁的边界条件6.7悬臂梁情形（6-52）（6-53）（6-54）关于具有非零解，可得（6-55）悬臂梁弯曲振动的特征方程代入（6-31）～(6-33)最低几个特征根的数值解1.8754.6947.85510.99614.137对于的各个特征根可写成悬臂梁的固有频率（6-56）基频（6-57）由式（6-54）可确定系数的比值6.7悬臂梁情形（6-58）对应振型函数为

（6-59）前三阶振型函数6.7悬臂梁情形物理参数挠曲线挠度弹性模量截面惯量矩梁单位长度质量梁长运动方程

通解

固有频率

不同边界条件均匀梁固有频率与振型函数（振型函数值可查表）。6.7悬臂梁情形边界条件固支梁自由梁悬臂梁

特征方程

特征根4.7307.85310.9964.7307.85310.996（零频率除外）1.8754.6947.855振型函数

6.7悬臂梁情形边界条件简支梁铰支-固支梁铰支-自由梁

特征方程

特征根

3.9277.06910.210

3.9277.06910.210（零频率除外）振型函数

注

6.7悬臂梁情形例：悬臂梁自由端加上横向弹性支承，其弹簧刚度系数为k。推导系统的频率方程。解：取固支端作为坐标系的原点。在自由端在弹性支承端，弯矩为零，剪力就是弹簧力边界条件为（a）

6.7悬臂梁情形由此可得（b）（b）有非零解可得

（c）时,上式是悬臂梁的频率方程。

时，弹性支承端就相当于铰支端。6.7悬臂梁情形频率方程注意即一端固支一端铰支下的梁振动频率方程。

解：设m可看作质点，x=l处弯矩为零，剪力等于m的惯性力例：在悬臂梁自由端加集中质量m，求其频率方程。6.7悬臂梁情形（b）令，即得所求频率方程（c）（a）x＝l处边界条件梁的弯曲振动的振型函数的正交性－梁截面可以是变化的－ρ(x)

以及EI(x)是x的已知函数，而不必为常数。6.8振型函数的正交性（6-60）振动微分方程令（6-61）（6-62）（6-63）从（6-63）出发进行讨论。这时边界条件为

固支端：

（6-64）6.8振型函数的正交性

铰支端：（6-65）

自由端（6-66）（6-67）式乘以Xj(x)

dx，然后

积分（6-67）（6-68）（6-69）6.8振型函数的正交性设（6-63）在一定的边界条件下，对应于两个不同的特征值ωi或ωj的振型函数分别为Xi(x)与Xj(x)（6-70）（6-69）减（6-70）（6-71）若将（6-64）一（6-66）中任意两个式子组合成梁的边界条件，那么（6-71）右端都将等于零。6.8振型函数的正交性（6-68）乘以Xj(x)dx，然后积分（6-72）因为称振型函数与关于质量密度正交数学上亦称以为权的加权正交，以区别于常数时，与所具有的通常意义下的正交性考虑到（6-72），从（6-69）或（6-70）都可以看到，在上述边界条件下，有

（6-73）6.8振型函数的正交性由（6-69）或（6-70）当梁的l端为弹性支承时，边界条件为当i=j时，式（6-71）自然满足。这时，可记下列积分为振型函数关于刚度EI(x)

的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。

（6-74）6.8振型函数的正交性第i阶振型的广义质量第i阶振型的广义刚度当梁的l端具有附加质量时，边界条件为

代入（6-71）与（6-69）（6-75）代入（6-71）与（6-69）（6-76）在弹性支承端情形与附加质量端情形，振型函数的正交性分别由式（6-75）与（6-76）表示。6.8振型函数的正交性正交性的物理意义下面来证明，当时，对应于的惯性力与弹性力在上所作的功为零。对应于，梁微元的惯性力为对应于，梁在该微元处的速度为6.8振型函数的正交性故整个梁对应于的惯性力在上所作功的功率为在弯曲振动中，关于弹性力的功，只需要考虑截面弯矩所作的功。梁对应于的截面弯矩为而对应于的截面转角微元为6.8振型函数的正交性结论由于振型函数的正交性，当时，主振动不会激起主振动，即振型函数的正交性反映了各阶主振动之间既不存在惯性耦合作用，也不存在弹性耦合作用。同样适用于有弹性支承端与附加质量端的情形

故整个梁对应于的弯矩在上所作的功为6.8振型函数的正交性6.9主振型叠加法主振型叠加法利用系统的主振型矩阵进行主坐标变换，可以将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成解耦的主坐标运动方程，使多自由度系统的动响应分析问题转化为多个单自由度系统的问题分别来处理。连续系统对于具有无限多个自由度的连续系统，只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用振型函数的正交性，就可以将系统的物理坐标偏微分方程变换成一系列主坐标的二阶常微分方程组。这样，就可以按一系列单自由度系统的问题来处理了。

6.9主振型叠加法振型函数Xi(x)满足求弯曲刚度为EI(x)，质量分布密度为ρ(x)的梁，在分布载荷p(x,t)的作用下的动响应。（6-77）（6-78）振型函数正交性（6-79）6.9主振型叠加法梁的弯曲振动微分方程为（6-80）qi(x)：系统的广义坐标（相当于多自由度系统中的主坐标）。设（6-81）系统动能6.9主振型叠加法用拉格朗日方程导出各个广义坐标的运动微分方程梁各点的速度（6-82）系统势能（6-83）6.9主振型叠加法截面弯矩：对应于广义坐标的广义刚度广义力在上述虚位移上所作的虚功为6.9主振型叠加法梁的虚位移（6-84）广义力（6-85）拉格朗日方程（6-86）广义坐标下的运动微分方程6.9主振型叠加法（6-87）

若在时间与空间上可分离（6-88）（6-89）（6-90）i阶主振型激扰系数可称为第i阶主振型的动响应系数。（6-91）对应于，梁的静挠度的级数表示式中的系数为