沪科版初中数学九年级下册全册教学课件（2023年1月修订）

沪科版数学九年级下册全册教学课件24.1

旋转第1课时

旋转的概念和性质第24章圆这些运动有什么共同的特点？情境引入旋转的概念BOA45°问题

观察下面的现象，它有什么特点？观察与思考

钟表的指针在不停地转动，从

12时到

4时，时针转动了______度.120

把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.

思考：怎样定义这种图形变换？

风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.怎样来定义这种图形变换？

把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换，叫做旋转.OP′P旋转中心旋转角对应点旋转的定义这个定点叫做旋转中心.转动的角称为旋转角.图中的点

P旋转后成为点

P'，这两个点叫做对应点.知识要点

若叶片

A

绕

O

顺时针旋转到叶片

B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____°，其中的对应点有_______、_______、_______、_______、_______、_______.点O∠AOB60F与

AA与

BB与

CC与

DD与

EE与

F填一填：ACDEFBO旋转中心旋转角旋转方向确定一次图形的旋转时，必须明确：注意：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心、旋转方向、旋转角度”称为旋转的三要素；②旋转变换同平移、轴对称一样属于全等变换.归纳：A．30°B．45°C．90°D．135°例1如图，点

A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点

O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(

)解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以旋转角为90°.故选C.CCDABO典例精析旋转的性质合作探究ABB′A′C．M．．．．45°绕点

C逆时针旋转45°△ABC如何运动到△A′B′C的位置？N'NM′旋转中心是点_____；图中对应点有________________________________________________；图中对应线段有_______________________________；每对对应线段的长度关系是_____；图中旋转角等于_____°.C

点

A与点

A′，点

B与点

B′，点

M与点

M′，点

N与点

N′CA与

CA′、CB与

CB′、AB与

A′B′45相等根据右图填空：B'A'C'ABCOAO=A'O，BO=B'O，CO=C'O∠AOA'=∠BOB'=∠COC'观察下图，你能找到三角形外相等的角和线段吗？2.两组对应点分别与旋

转中心的连线所成的

角相等，都等于旋转角；EABFCO1.对应点到旋转中心的

距离相等；3.旋转中心是唯一不动的点.旋转的性质知识要点DABO例2下图为4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，将△OAB绕点O逆时针旋转90°，你能画出△OAB旋转后的图形△OA′B′吗？A′B′DABCEE′例3

如图，点

E是正方形

ABCD内一点，连接

AE，BE，CE，将△ABE绕点

B顺时针旋转90°到△CBE′处，若

AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝____度.解析：连接

EE′.

由旋转性质知

AE=CE′

=1，BE=BE′，∠EBE′=90°，∴∠BE'E=45°，EE′=在△EE′C中，CE′2+EE′2=9=CE2，∴∠EE′C=90°.∴∠BE′C=∠BE′E+∠EE′C=135°.135例4

如图，将等腰△ABC

绕顶点

B

逆时针方向旋转

α°

到△A1BC1

的位置，AB

与

A1C1

相交于点

D，AC

与

A1C1，BC1

分别交于点

E，F．（1）求证：△BA1D≌△BCF；ACBA1C1EDF证明：在等腰△ABC

中，AB

=

BC，∠A

=∠C.由旋转的性质，可得A1B

=

AB

=

BC，∠A

=∠A1

=∠C，∠A1BD

=∠CBF.在△BA1D

与△BCF

中，∴△BA1D≌△BCF（ASA）.ACBA1C1EDF（2）当∠C

=

α°

时，判定四边形

A1BCE

的形状，并说明理由.解：四边形

A1BCE

是菱形，理由如下：∵∠FBC=∠C=

α°，∠C=∠C1

=

α°，∴∠FBC=∠C1，A1C1∥BC.∴∠C1EC

=∠C.又∵△ABC，△A1BC1

为等腰三角形，∴∠A1

=∠C1

=∠C，∠A1

=∠C1EC.∴

A1B∥CE.∴

四边形

A1BCE

是平行四边形.又∵A1B

=

BC，∴

□

A1BCE

是菱形.ACBA1C1EDF旋转对称图形活动在硬纸板上剪下两张如下的图形，然后将它们叠放在一起，在其中心钉上一枚图钉，然后旋转上面的硬纸板，旋转多少角度后，它能与下面的硬纸板重合？合作探究

在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度

θ

(0°＜θ＜360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.

知识要点做一做下图中不是旋转对称图形的是()B例5

如图是一个标准的五角星，若将它绕中心旋转一定的角度后能与自身重合，则至少应将它旋转

(

)A．60°B．72°C．90°D．144°解析：如图，点

O

是五角星的中心，则∠AOB

=∠BOC

=∠COD

=∠DOE

=∠AOE．∵

它们都等于旋转角，且和为

360°，∴

至少将它绕中心旋转

360°÷5

=

72°，才能使其旋转后与自身重合．BOABDEC将一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是(

)A．360°B．270°C．180°D．90°C练一练1.下列事件中，属于旋转运动的是(

)A．小明向北走了4米B．小朋友们在荡秋千时做的运动C．电梯从1楼上升到12楼D．一物体从高空坠下B2.下列图形中，旋转对称图形的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4C3.要使下面的图形旋转后与自身重合，至少应将它绕

中心按逆时针方向旋转的度数为(

)

A．30°B．60°C．120°D．180°解析：此图形可看作是把一个旋转对称图形等分为6个部分，每部分被分成的角是60°，故至少应旋转60°角才能与自身重合．B4.如图，△A′OB′是△AOB绕点

O按逆时针方向旋转

得到的.已知∠AOB=20°，∠A′OB=24°，AB=3，

OA=5，则

A′B′=

，OA′=

，旋转角为

°.3544

5.如图，正方形

A′B′C′D′是由正方形

ABCD按顺时针方

向旋转

45°

而成的.（1）若

AB=4，则

S正方形A′B′C′D′=

；（2）∠BAB′=

°，

∠B′AD=

°；

（3）若连接

BB′，则

∠ABB′=

°.16454567.5ABCDE6.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定

角度得Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC

边上.若AC=，∠B=60°，则CD的长为

.1解析：在

Rt△ABC中，AC=，∠B=60°，

∴AB=

1，BC=

2.由旋转得

AD=

AB，∴△ABD为等边三角形.∴BD=AB=1.∴

CD=

BC－BD=

2－1

=

1.7.在图中，将大写字母A

绕它的上顶点按逆时针方向旋转

90°，作出旋转后的图案，同时作出字母A

向左平移5个单位的图案.OCBEDC1B1D1

E1O2C2B2E2D2

能力提升：8.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作

正方形

AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和

DM．试用旋转的思想说明线段

BK与

DM的数量关

系和位置关系．解：BK=DM，BK⊥DM.简要思路：由题意知，△ABK绕点

A逆时针旋转90°

得到△ADM，由旋转的性质得BK=DM，BK⊥DM.ABCDKLM通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2课时中心对称和中心对称图形24.1

旋转第24章圆从

A旋转到

B，旋转中心是什么？旋转角是多少？OABCD从

A旋转到

C呢?从

A旋转到

D呢?情境引入桌上有四张牌，将其中一张牌旋转

180°

后牌面图案没有发生变化，你很快能猜出是哪一张吗？中心对称的性质及其作图重合OADBC

问题1

观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.旋转角都是180°观察与思考O

如图，将△ABC绕定点O

旋转180°，得到△DEF，这时，△ABC与△DEF关于点O的对称叫做中心对称，点

O就是对称中心.知识要点ABCDEFO填一填：

如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称，则点___是对称中心，点A与点___是对称点，点B与点___是对称点.OBCADOCD1.中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180°.2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.归纳总结问题2

下图中△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称，对称中心O与对应点的连线有什么关系?ABCB′C′OA′1.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心（即每组对应点与对称中心三点共线），

且被对称中心所平分.2.成中心对称的两个图形是全等形.中心对称的性质：知识要点例1

如图，已知四边形ABCD和点

O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.ABCDO分析：要画出四边形

ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出

A，B，C，D四点关于点

O的对应点，再顺次连接各对应点即可.典例精析ABCD作法：1.连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；D'2.同理，可作出点

B，C，D的对应点

B'，C'，D'；3.顺次连接

A'，B'，C'，D'.则四边形

A'B'C'D'即为所作.OA'B'C'【变式题】如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心

O.ABCA′B′C′解法1：根据观察，B、B′应是对应点，连接

BB′，用刻度尺找出

BB′的中点

O，则点

O即为所求（如图）.OO解法2：根据观察，B、B′及

C、C′应是两组对应点，连接

BB′、CC′，相交于点

O，则点

O即为所求(如图).ABCA′B′C′注：如果限定只能用无刻度直尺作图，我们可用解法2.例2

如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB=3，则△DOC中

CD边上的高为___.解析：设

AB边上的高为

h．∵△AOB的面积是12，AB＝3，易得

h＝8．

又∵△AOB与

△DOC成中心对称，∴△COD≌△AOB．∴△DOC中

CD边上的高是8．8中心对称图形AB将下面的图形绕

O点旋转，你有什么发现？O（1）都绕一点旋转了180度；（2）都与原图形完全重合.观察与思考O

把一个图形绕某一个定点旋转

180°，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心.BACD中心对称图形的定义注意：中心对称图形是指一个图形.知识要点O√√(1)(2)(3)√(4)做一做：下列图形中哪些是中心对称图形？×在生活中，有许多中心对称图形，你能举出一些例子吗？

例3

如图，矩形

ABCD的对角线

AC和

BD相交于点

O，过点

O的直线分别交

AD和

BC于点

E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为____.解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点

O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到Rt△ADC中，易得阴影部分的面积为3．3例4如图，已知

E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为中心，作△EFO的中心对称图形，则点E的对应点

E′的坐标为_________．解析：由中心对称可得到新的点与原来的点关于原点对称．∴

点E

(－4，2)

的对应点E′的坐标为(4，－2)．(4，－2)方法总结：关于原点成中心对称的两点，横、纵坐标分别互为相反数．图(1)图(2)解密魔术1.判断正误：

（1）成轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（）

（2）成中心对称的两个图形一定是全等形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形.（）

（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形.（）√√×2.如下所示的

4

组图形中，左边数字与右边数字成中

心对称的有(

)

A.1组

B.2组

C.3组

D.4组C3.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)B4.如图，□ABCD中，△AOB绕着点

旋转

180°

后，能够与

重合，则这一点称为

，点

A的对应点是

，△AOD与△COB关于点

成

对称.ABDCOO△COD对称中心点

CO中心5.如图，线段AB和CD关于点O成中心对称，若∠B=40°，则∠D的度数为

.ＯBCAD40°6.如图的网格中有一个四边形和两个三角形．(1)请你先画出三个图形关于

点

O成中心对称的图形；(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合?O解：这个整体图形的对称轴有4条；此图形最少旋转

90°

才能与自身重合．能力提升：7.用无刻度的直尺画一条直线把下面图形分成面积相等的两部分，你怎样画？方法总结：对于这种由两个中心对称图形组成的复合图形，平分面积时，关键找到它们的对称中心，再过对称中心作直线.通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。24.1

旋转第3课时旋转的应用第24章圆你能找出图案中的全等图形吗？这幅图案可看成是怎样制作的呢？图片引入运动美★★★★★★★★★★★★组合美坐标平面内的旋转变换AB122－1－2－2xyO1－1合作探究B

如图，△AOB的顶点坐标分别是A(2，1)，O(0，0)，B(2，0).(1)分别画出△AOB以原点为旋转中心，逆时针旋转90°、180°、270°、360°

而得到的△A′OB′，并填写表格.A122－1－2－2xyO1－1B原图形上点的坐标A(2，1)O(0，0)B(2，0)按逆时针方向旋转后对应点的坐标旋转90°旋转180°旋转270°旋转360°(－1，2)(－2，－1)(1，－2)(2，1)(0，0)(0，2)(0，0)(0，0)(0，0)(－2，0)(0，－2)(2，0)(2)分别比较点A′与点A、点B′与点B、点C与点C′的坐标，能得到怎样的结论？

通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：原图形上任一点的坐标以点

O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标(x，y)(－y，x)(－x，－y)(y，－x)(x，y)旋转90°旋转180°旋转270°旋转360°练一练1.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO

绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′

的坐标为

.

解析：根据网格结构找出点

A、B

旋转后的对应点

A′、B′

的位置，然后与点

O

顺次连接即可.如图，点

A′

的坐标为

(1，3).(1，3)2.填空：(1)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是________．(2)点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置是

________．(3)点

P(2，n)与点

Q(m，－3)关于原点对称，则

(m＋n)2023＝______．解析：因为点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，所以

m＝－2，n＝3．则(m＋n)2023＝(－2＋3)2023＝1.(－2，3)1(－3，5)例1

如图，在平面直角坐标系中，点

B

的坐标是(1，0)，若点A的坐标为(a，b)，将线段

BA

绕点

B

顺时针旋转

90°

得到线段

BA′，则点

A′

的坐标是

．典例精析解析：过点A作AC⊥x轴，过点A′作A′D⊥x轴，垂足分别为C、D，显然Rt△ABC≌Rt△BA′D.∵点A(a，b)，点B(1，0)，∴

OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.

∵

点A′在第四象限，∴

点

A′

的坐标是

(b＋1，－a＋1)．动态图形的操作与图案设计试说出构成下列图形的基本图形．观察与思考（1）（2）（3）（4）基本图案图案的形成过程分析图案的形成过程基本图案图案的形成过程分析图案的形成过程归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案.例2用四块如图(1)的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．解：如图所示.（答案不唯一）例3如图是一个

4×4

的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点

O

为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为

4.分析：所给左上角的三角形的面积为1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要阴影三角形4÷0.5＝8(个).解：答案不唯一，以下图案供参考.1.在下列某品牌

T

恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是

(

)ABCDC3.若点

A(m，－2)，B(1，n)关于原点对称,则

m=

，

n=

.－122.将点P(2，－3)绕原点逆时针旋转

270°

得到的点P′

的坐标为(

)A.(－2，－3)B.(－3，2)C.(－3，－2)D.(2，3)C4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，4)，将

OA

绕坐标原点O逆时针旋转90°

至OA′，则点A′的坐标是

.(－4，－3)5.已知a＜0，则点P(－a2，－a+1)关于原点的对称点

P′在

象限.解析：∵点P

(－a2，－a+1)关于原点的对称点P′的坐标为(a2，a－1)，a＜0，∴a2＞0，a－1＜0，∴点P′在第四象限．第四6.如图，△ABC

各顶点的坐标为

A(－5，4)，B(－1，1)，

C(－5，1)．(1)将△ABC

绕着原点

O

顺时针旋转

90°

得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′；(2)写出点

A′

的坐标.A′BxyOCB′C′A解：(1)如图所示.(2)A′

点的坐标为(4，5)．7.

如图是五个小正方形在3×3的正方形网格中拼成的图形，请你移动其中一个或两个小正方形，重新拼成一

个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画

在图①、图②、图③中（只需各画一个）.①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②是中心对称图形，但不是轴对称图形；③既是轴对称图形，又是中心对称图形．图①图②图③能力提升：8.试写出直线y=3x－5关于原点对称的直线的函数关系式.解：y=3x+5.通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。24.2

圆的基本性质第1课时与圆有关的概念及点与圆的位置关系第24章圆观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.图片引入骑车运动看了此画，你有何想法?思考：车轮为什么做成圆形？做成三角形、正方形可以吗？车轮为圆形的原理分析（请依次点击按钮观看动画）：问题1

一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？探究圆的概念合作探究甲丙乙丁为了使游戏公平，应在目标周围围成一个圆圈排队，因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.为什么？·rOP◑圆的旋转定义

在平面内，线段

OP绕着它固定的一个端点

O旋转一周，另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点

O叫做圆心，线段

OP的长r叫做半径．以点

O

为圆心的圆，记作“⊙O”

读作“圆

O”.问题2

观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？

一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．同心圆

等圆

半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同◑确定一个圆的要素(1)圆上各点到定点

(圆心

O)的距离都等于

.(2)平面内到定点

(圆心

O)的距离等于定长

(半径

r)

的所

有点都在

.

由此，我们可以得到圆的集合定义：平面内到定点

(圆心

O)的距离等于定长

(半径

r)

的所有点组成的图形.Orrrrr定长(半径

r)同一个圆上想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？·例1如图，已知

AB，CD

为⊙O的直径.求证：AD∥CB.

典例精析证明：连接

AC，DB.∵AB，CD

为⊙O

的直径，∴OA=OB，

OC=OD.∴四边形

ADBC

为平行四边形.∴AD∥CB.ABCDO矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.ABCDO证明：∵四边形

ABCD是矩形，∴∴A、B、C、D在以

O为圆心，以

OA为半径的圆上.练一练问题1

观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C....B.A..有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点和圆的位置关系观察与思考问题2

设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系下，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内

点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r

反过来，由

d与

r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？1.⊙O

的半径为

10

cm，A、B、C

三点到圆心的距离分

别为

8

cm、10

cm、12

cm，则点

A、B、C

与⊙O

的

位置关系是点

A

在

；点

B

在

；点

C

在

.

圆内圆上圆外2.圆心为

O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP

=

，则点P在

(

)A.大圆内B.小圆内C.小圆外D.大圆内，小圆外oD练一练点和圆的位置关系rPdPrd

PrdRrP点

P在⊙O内

d<r点

P在⊙O上

d=r点

P在⊙O外

d>r

点

P在圆环内

r≤d≤R数形结合：位置关系数量关系知识要点例2如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与

⊙A的位置关系如何？解：∵AB=3＜4，∴点B在⊙A内．∵AD=4，∴点D在⊙A上．∵＞4，∴点C在⊙A外.（2）若以

A点为圆心作⊙A，

使

B、C、D三点中至少

有一点在圆内，且至少

有一点在圆外，求⊙A

的半径

r的取值范围.解：由题意得，点

B一定在圆内，点

C一定在圆外，∴

3＜r＜5.【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为

(2，1)，P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的

P有几个？求出点P的坐标.方法总结：在没有明确腰和底边的情况下，构造等腰三角形要注意分类讨论.·COAB◑弧：

圆的有关概念(

连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示.

如图中的

和

．◑弦：

·COAB

连接圆上任意两点的线段（如图中的

AB，AC）叫做弦.

经过圆心的弦（如图中的

AB）叫做直径．注意：1.弦和直径都是线段；2.直径是特殊的弦，它经过圆心，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.◑半圆、优弧及劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．劣弧与优弧·COAB半圆

大于半圆的弧（如图中的

，一般用三个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧.◑等圆：

·COA

能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.·CO1A◑等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.长度相等的弧是等弧吗？例3

如图.(1)请写出以点

A为端点的劣弧及优弧；(2)请写出以点

A为端点的弦及直径；

弦

AF，AB，AC.其中弦AB也是直径.(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.ABCEFDO劣弧：优弧：答案不唯一，如：弦

AF，它所对的弧是和

.练一练

有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误说法的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径只能确定圆的大小，不能确定圆的位置；直径是弦，但弦不一定是直径；对称轴是直线，故应说任意一条直径所在的直线是圆的对称轴．故①③⑤错误.C1.根据圆的定义，圆指的是“圆周”，而不是“圆面”；2.直径是圆中最长的弦.证明：·COAB

连接

OC．在△AOC中，根据三角形三边关系有

OA+OC>AC，而

AB=

2OA，OA=OC，∴AB>AC.知识要点例4

如图，AB

是⊙O

的直径，CD

是⊙O

的弦，AB，CD

的延长线交于点

E.

已知

AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC

的度数．解：如图，连接

OD.∵

AB

是⊙O

的直径，OC，OD

是半径，AB=2DE，∴OD=DE.∴∠DOE=∠E=18°.∴∠ODC=∠DOE＋∠E=36°.∵

OC=OD，∴∠C=∠ODC=36°.∴∠AOC=∠C＋∠E=36°＋18°=54°.例5如图，MN是半圆

O的直径，正方形

ABCD的顶点

A、D在半圆上，B、C在

MN上，求证：OB=OC.ⅠⅡ10？2x在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即(2x)2+x2=102.ABOCDMN算一算：设⊙O的半径为10，则正方形

ABCD的边长为

.x连接

OA，OD，则OA=OD，由三角形全等可证

OB=OC.xxxx【变式题】如图，在扇形

MON中，∠MON

=45°，半径

MO=NO=10，正方形

ABCD的顶点

B、C、D在半径

上，顶点

A在圆弧上，求正方形

ABCD的边长.解：连接

OA，如图.又∵∠DOC=45°，∴CD=OC.设AB=x，则AB=BC=DC=OC=x.∵OA=OM=10，∴

(2x)2+x2=102.在Rt△ABO中，在正方形

ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°.解得45°1.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.2.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的

2

倍．（2）图中有

条直径，

条非直径的弦，

圆中以

A

为一个端点的优弧有

条，

劣弧有

条．直径半径1244ABCDOFE

3.正方形

ABCD

的边长为

2

cm，以

A

为圆心，2

cm

长为

半径作⊙A，则点

B

在⊙A

；点

C

在⊙A

；点

D

在⊙A

.上外上4.如图，MN为⊙O的弦，∠MON=70°，则∠M=

°.5.一点到⊙O上的最近距离为

4

cm，最远距离为

10

cm，

则这个圆的半径是

.7cm或3cmMON55·2

cm3

cm6.画出由所有到已知点

O

的距离大于或等于

2

cm

并且

小于或等于

3

cm

的点组成的图形.O7.如图，OA、OB

是⊙O

的半径，点

C、D

分别为

OA、

OB

的中点，求证：AD=BC.证明：∵

OA、OB

是⊙O

的半径，∴

OA=OB.∵

点

C、D

分别为

OA、OB

的中点，∴

OA=2OC，OB=2OD.∴

OC=OD.又∵∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC

(SAS).∴

BC=AD.解：渔船应沿着射线

OP

的方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线

OP

交⊙O

于点

A，过点

P

任意作一条弦

CD，连接

OD.在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD=OA，∴OA－OP＜PD.∴

PA＜PD，即

PA

为最短路线，故渔船沿射线

OP

方向航行才能尽快离开危险区.能力提升：8.如图，点

O

处有一灯塔，警示⊙O

内部为危险区，一渔船误入危险区点

P

处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由．ADPCO通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2课时垂径分弦24.2

圆的基本性质第24章圆视频引入点击视频开始播放→

赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为

37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为

7.2m，你知道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？垂径定理及其推论合作探究问题1

在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将

⊙O折叠，你发现了什么？O圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.

问题2

已知：如图，在⊙O

中，CD

是直径，AB

是弦，且

CD⊥AB，垂足为

E.求证：AE

=EB，

，.证明：连接

OA，OB，则

OA

=OB.∵CD⊥AB，∴OE⊥AB.∴

OE

平分

AB，即

CD

垂直平分

AB．∴点

A

与点

B

关于直线

CD

对称.·OABDEC分析：只要能说明⊙O

关于直线CD对称，那么所有结论都能得证.同理，如果点

P

是⊙O

上任意一点，过点

P

作直线

CD

的垂线，与⊙O

相交于另一点

Q，则点

P

与点

Q

也关于直线

CD

对称．∴⊙O

关于直线

CD

对称.∴

AE

=EB，，.P·OABDECQ垂径定理·OABCDE

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是

⊙O

的直径，CD⊥AB，推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如.归纳总结∴AE=BE，

，想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么.是不是，因为没有垂直是不是，因为

AB，CD都不是直径OABCABOEABDCOEABOCDE垂径定理的几种基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC归纳总结

如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径

CD，使

AE=BE.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)

与

相等吗？

与

相等吗？为什么？·OABCDE解：(1)CD⊥AB，理由如下：连接

AO，BO，如图，则

AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，即

CD⊥AB.(2)由垂径定理可得

=

，

=.思考：“不是直径”这个说明能去掉吗？如果不能，请举出反例.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结例

1

如图，⊙O的半径为

5cm，弦

AB为6cm，求圆心到弦

AB的距离.·OABE解：连接

OA，过

O作OE⊥AB于

E，则又∵OA

=

5

cm，∴在

Rt△OEA

中，垂径定理及其推论的计算典例精析答：圆心到弦

AB的距离是4cm.圆心到弦的距离叫做弦心距【变式题】如图，OE⊥AB于

E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则

AB=

cm.·OABE解析：连接

OA，如图.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16∴例2

如图，⊙O的弦

AB=8cm，直径

CE⊥AB于

D，DC=2cm，求半径

OC的长.·OABECD解：连接

OA．∵

CE⊥AB于

D，∴设OC=xcm，则

OD=(x－2)cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径

OC的长为5cm.x2=42+(x－2)2，例3已知：⊙O中弦

AB∥CD，求证：=..MCDABON证明：作直径MN⊥AB，如图.∵

AB∥CD，∴

MN⊥CD.则=，=.（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）∴－=－.∴=.

解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结例4赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.垂径定理的实际应用由垂径定理，得

AD=AB=18.7m，设⊙O的半径为

R.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解得R≈27.9.即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.∴R2=(R

-

7.2)2

+18.72，解：如图，过桥拱所在圆的圆心

O作

AB的垂线，交

于点

C，交

AB于点

D，则

CD=7.2m.练一练：如图

a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为

7cm，则弓形的高为＿___＿＿____.C

DCBOADOAB图a图b2cm或

12cm

在圆中解决有关弦长

a，半径

r，弦心距

d(圆心到弦的距离)，弓形高

h的计算问题时，常常通过连半径或作弦的垂线段构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.垂径定理中常见辅助线的添法弦长

a，弦心距

d，弓形高

h，半径

r之间的关系：弓形中的重要数量关系d+h=r

OABC·归纳总结ABCDOhrd1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圆心到

AB

的距离为

3cm，则此圆的半径为

cm.52.已知⊙O的直径

AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC=

cm.

3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为

10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，则弦

MN和

EF之间的距离为

cm.14或24.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于

D，OE⊥AC于

E，求证：四边形

ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵∴四边形

ADOE为矩形，又∵

AC=AB，∴AE=AD.∴四边形

ADOE为正方形.∴

5.如图，在以

O

为圆心的两个同心圆中，大圆的弦

AB

交小圆于

C，D

两点.你认为

AC和

BD

相等吗？为什么？解：AC=BD.理由如下：

过点

O作

OE⊥AB，垂足为

E.则

AE=BE，CE

=

DE.∴AE－CE=BE－DE，

即

AC=BD..ACDBOE方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径．解：连接

OC，如图.

●

OCDEF┗根据勾股定理，得6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的

，点

O是

的圆心)，其中

CD=600m，E为

上的一点，且

OE⊥CD，垂足为

F，EF=90m.求这段弯路的半径.设这段弯路的半径为

Rm，则

OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m).

●

OCDEF┗解得

R=545.∴这段弯路的半径约为

545m.∴6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的

，点

O是

的圆心)，其中

CD=600m，E为

上的一点，且

OE⊥CD，垂足为

F，EF=90m.求这段弯路的半径.拓展提升：7.如图，⊙O的直径为

10，弦

AB=8，P为

AB上的一个动点，那么

OP长的取值范围是

.3≤OP≤5BAOP通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间关系24.2

圆的基本性质第24章圆情境引入

飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？圆的对称性观察与思考把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？α圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.·O圆心角概念学习OABM1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为

AB.2.圆心角∠AOB

所对的弧为

.判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.不是不是不是是练一练圆心角、弧、弦、弦心距间关系·OABCD由圆的旋转对称性，我们发现：在☉O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，OE=OF.（证明过程见课本）EF观察与思考

在☉O中，如果∠AOB=∠COD，那么

与

，弦

AB与弦

CD，垂线段

OE与

OF有怎样的数量关系？

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．①∠AOB

=∠COD③

AB

=

CDABODC要点归纳弧、弦与圆心角的关系定理EF④

OE

=

OF②想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC·OABCDEF

在☉O中，如果

=

，那么圆心角∠AOB与

∠COD，AB与

CD，OE与

OF有怎样的数量关系？

在☉O中，如果

AB=CD，那么圆心角∠AOB与∠COD，

与

，OE

与

OF有怎样的数量关系？

在☉O中，如果

OE=OF，那么圆心角∠AOB与∠COD，AB与

CD，

与

有怎样的数量关系？

在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．弧、弦与圆心角关系定理的推论要点归纳圆心角相等弦相等弦心距相等(3)圆心角相等，所对的弦相等.（

）(2)等弧所对的弦相等.（）(1)等弦所对的弧相等.（）××√练一练判断正误：典例精析例1

如图，等边三角形ABC的三个顶点都在☉O上.求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.ABCO证明：连接

OA，OB，OC，如图.∵AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠COA弧、弦与圆心角关系定理及推论的运用∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.又∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.ABCO方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.【变式题】如图，在☉O中，

=

，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.证明：∵

=

，

如图，AB

是☉O的直径，

∠COD

=35°，求∠AOE的度数．解：∵练一练·AOBCDE∴∴例2已知：如图，点

O是∠FAD平分线上的一点，☉O分别交∠FAD的两边于点

C，D和点

E，F.

求证：CD=EF.OADEFC证明：过点

O作

OK⊥CD，OH⊥EF，垂足分别为

K，H，如图.H

K

∵点O

在∠FAD

的平分线上，∴CD=EF.∴OK=OH（角平分线的性质）.例3

如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且

CE∥AB，弧

CE为40°，求∠BOD的度数.

OCEABD解：连接

OE，如图.∵

弧

CE为40°，∴∠COE=40°.∵

CE∥AB，∴∠BOD=∠C=70°.1.