福师大网络教育《复变函数》网络作业答案

..复变函数作业一一、判断〔对的用T表示,错的用F表示1、如果存在,那么在解析。〔F2、。〔F3、当且仅当为实数时,为实数。〔F4、设在区域内是解析的,如果是实常数,那么在整个内是常数；如果是实常数,那么在内也是常数。〔T填空1、=；=。2、设是1的次根,,则=0。3、在映射下,扇形区域的像区域为。4、若,则=。三、计算计算下列函数值：1；2。1、解：主值,2、解：设3+4i的平方根是x+yi,x、y∈R,则有x2-y2=3,且2xy=4,

求得x=2,y=1,或x=-2y=-1,

故3+4i的平方根是2+i,或-2-i,

故答案为：2+i,或-2-i2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？1 ； 2 。1 ；解：因为f<z>=|z|当趋于0-时f<z>=|-1；当趋于0+时f<z>=|1；右极限不等于左极限。所以f<z>=|z|在z=0处不可导,而在除0以外的其他地方都可导且解析。2 。解：仅在直线上可导,在复平面上处处不解析。3、函数是否为解析函数？求出其导数。解：不是解析函数,因为满足条件的只有两个点,不成区域 4、已知,求。解：5、计算积分1；解：1； 2；解：在内只有一个极点,所以令,所以；解:。解：四、证明：若积分路径不经过,则。证明：如果积分路径不经过,且不绕过,则由柯西定理得,若积分绕z=转圈,则积分值为若绕z=-i转圈,则积分值为故在一般情况下,积分值为五、证明：设是的共轭调和函数,问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：1〔为常数；2。1证明：不是的共轭调和函数证明：因为在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数<可能多值>的实部或虚部,反之,某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数。和不满足此条件,应该是2uv是的共轭调和函数。综上所述,不是的共轭调和函数。复变函数作业二一、判断1、在z=0收敛,在z=3发散。〔F 2、在区域内解析,且在区间〔-R,R取实数值的函数f<z>展开成z的幂级数时,展开式的系数都是实数。〔T 3、在圆环区域内不能展开成罗朗级数。〔F 4、z=0是的本性奇点。〔T 二、填空1、的收敛半径为。2、展开成z的幂级数的收敛半径=。3、z=0是的3级零点。4、以z=a为m级和n级极点,则z=a为的m+n级极点。三、计算1、求在处的泰勒展开式。解：求解：求在z=1处的泰勒展开式。解：当z=1时,此函数的泰勒展开式为：〔z-1^3-<z-1>^2-3<z-1>4、将在以为中心的圆环域内展开为罗朗级数。解:四、若为整函数,且,则是不高于n次的多项式。证明：当时,令当时,复变函数作业三判断题〔对的用"T"表示,错的用"F"表示1、若在区域内单叶解析,则在内。〔 F 2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。〔 T3、解析函数具有保形性。〔F 4、函数在可去奇点处的留数为0。〔 F填空题1、方程在单位圆内有6个根。2、关于的对称点为x²+<y-1>²=1。3、,则=－4。4、在点处的旋转角为,伸缩率为20。计算题1、解：设

f1<z>=1/[<z-2><z-48><z-50>],

f2<z>=1/[<z-1><z-48><z-50>],

f3<z>=1/[<z-1><z-2><z-50>],

则答案为2πi[f1<1>+f2<2>+f3<48>]2、解：3、解：4、求把平面的单位圆变为平面的单位圆,并使1成为不动点,使变为无穷远点的线性变换。解：依题意得,设,因为1+i关于单位圆的对称点为,无穷远点关于单位圆的对称点是0,求把平面的单位圆变为平面的单位圆的线性变换,使。解：设圆周内部一点Z=a<>变为w=0,点a<a0>关于单位圆周对称点