2023学年福建省连城高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（）A． B． C．8 D．62．已知数列满足,(),则数列的通项公式()A． B． C． D．3．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变4．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（）A． B． C． D．5．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A． B．4 C． D．26．已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()A． B． C．- D．-7．设，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为A．1 B． C． D．9．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．天津的往返机票平均价格变化最大C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加10．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．运行如图程序，则输出的S的值为（）A．0 B．1 C．2018 D．201712．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，满足约束条件，则的最大值为______.14．的展开式中的常数项为______.15．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．16．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.18．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.19．（12分）如图，在四面体中，.（1）求证:平面平面；（2）若，求四面体的体积.20．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.21．（12分）已知，，设函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为1，证明：.22．（10分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.（1）求证:是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．【详解】如图所示，作，垂足为，设，由，得，则，.过点N作，垂足为G，则，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因为，所以为线段的中点，所以F到l的距离为．故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．2．A【解析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【详解】数列满足：，，可得以上各式相加可得：，故选：．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．3．D【解析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题4．D【解析】

根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.【详解】设，所以，因为当时，，即，所以，在上是增函数，在中，因为，所以，，因为，且，所以，即，所以，即故选：D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．D【解析】

由得，又，两式相除即可解出．【详解】解：由得，又，∴，∴，或，又正项等比数列得，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．6．A【解析】分析：计算，由z1，是实数得，从而得解.详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是实数，所以，即.故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.7．A【解析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.8．C【解析】

根据抛物线定义，可得，，又，所以，所以，设，则，则，所以，所以直线的斜率．故选C．9．D【解析】

根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.故选：D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.10．B【解析】

由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.11．D【解析】

依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D．12．D【解析】

设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.【详解】显然直线不满足条件，故可设直线：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直线的斜率的取值范围为.故选：D.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．29【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域如图：联立，解得，目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆，由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时也最大，最大值为.所以本题答案为29.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．160【解析】

先求的展开式中通项，令的指数为3即可求解结论.【详解】解：因为的展开式的通项公式为：；令，可得；的展开式中的常数项为：.故答案为：160.【点睛】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题．15．【解析】

设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，如图所示，设，则，又由，，所以为的中点，为的三等分点，则，，所以．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．16．【解析】

根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.【详解】函数的图像向右平移个单位得，，，.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）是定值，.【解析】

（1）设出M的坐标为，采用直接法求曲线的方程；（2）设AB的方程为，，,，求出AT方程，联立直线方程得D点的坐标，同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算即可.【详解】（1）设动点M的坐标为，由知∥，又在直线上，所以P点坐标为，又，点为的中点，所以，，，由得，即；（2）设直线AB的方程为，代入得，设，，则，，设，则，所以AT的直线方程为即，令，则，所以D点的坐标为，同理E点的坐标为，于是，，所以，从而，所以是定值.【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.18．（1）；（2）或【解析】

（1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程；（2）设，则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立，求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示，坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，设椭圆的焦距为，则解得，，，所以椭圆方程为.（2）设，则，且，所以的方程为①.若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，则，，联立①，②解得即.的方程为，代入椭圆方程得，整理得，或，.，不符合条件.若，则的方程为，即③.联立①，③可解得所以.因为，设所以，即.又因为位于轴异侧，所以.因为三点共线，即应与共线，所以，即，所以，又，所以，解得，所以，所以点的坐标为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.19．（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）取中点，连接，根据等腰三角形的性质得到，利用全等三角形证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，结合锥体体积公式，求得四面体的体积.【详解】（1）证明:如图，取中点，连接，由则，则，故故，平面.又平面，故平面平面（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，且.在中，，由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥