随机信号通过线性系统的分析

随机信号通过线性系统的分析第五章1线性系统基本理论系统：线性系统：时不变系统：线性时不变(LTI)系统：连续时间LTI系统时域分析：因果系统：稳定系统：频域分析：系统函数H(s)的所有极点位于s平面的左半平面（不含虚轴）。离散时间LTI系统时域分析：因果系统：稳定系统：频域分析：系统函数H(z)的所有极点位于z平面的单位圆内。2随机信号通过连续时间LTI系统2.1时域分析法X(t)Y(t)h(t)LTI系统输出信号的均值函数设输入过程X(t)的均值函数为mX(t)，则输出过程Y(t)的均值函数为当输入过程X(t)为均值平稳时，输出过程Y(t)也是均值平稳的。输出信号的自相关函数设输入过程X(t)的自相关函数为RX(t1,t2)，则输出过程Y(t)的自相关函数为当输入过程X(t)为自相关平稳时，输出过程Y(t)也是自相关平稳的。输出与输入的互相关函数当输入过程X(t)为自相关平稳时，输出过程与输入过程还是联合平稳的。输出信号的相关函数输出信号的平稳性与遍历性若输入过程X(t)是平稳的，则LTI系统的输出过程Y(t)也是平稳的，且输出过程Y(t)与输入过程X(t)之间还是联合平稳的。若输入过程X(t)是遍历的，则LTI系统的输出过程Y(t)也是遍历的，且输出过程Y(t)与输入过程X(t)之间还是联合遍历的。例1（h(t)的估计）设线性系统输入一个白噪声过程X(t)，其自相关函数为RX()=N0

()，则通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。假定过程X

(t)和Y

(t)是各态历经的，2.2频域分析法设LTI系统的频率响应为H()，当输入平稳过程X(t)具有谱密度GX()时，则输出平稳过程Y(t)具有谱密度：均值：互谱密度：[例2]如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零的平稳过程X(t)，它们的输出分别为Y1(t)和Y2(t)。如何设计H1()和H2()才能使Y1(t)和Y2(t)互不相关？[解]X(t)Y1(t)H1()H2()Y2(t)互不相关协方差为零当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时，则它们的输出Y1(t)和Y2(t)互不相关。2.3白噪声通过线性系统的分析设LTI系统的频率响应为H()，当输入白噪声X(t)具有谱密度GX()=N0

时，则输出过程Y(t)具有谱密度：自相关函数：平均功率：当白噪声输入LTI系统时，输出随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性H

()决定，不再保持为常数。(1)白噪声通过理想低通系统设LTI系统的频率响应为H()，当输入白噪声X(t)具有谱密度GX()=N0

时，则输出过程Y(t)具有谱密度：自相关函数：平均功率：当白噪声输入LTI系统时，输出随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性H

()决定，不再保持为常数。[例3]如图RC电路，若输入白噪声电压X

(t)，其相关函数为RX()=N0

()，求输出电压Y

(t)的相关函数和平均功率。[解]X(t)Y(t)RC常用线性电路的传递函数和冲激响应电路H()h(t)RCRCRLRL线性系统输出过程的概率分布若线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程。若线性系统输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大于系统带宽，则输出近似为高斯过程。白噪声通过有限带宽的线性系统，输出为高斯过程。宽带噪声通过窄带系统，输出近似为高斯过程。3随机序列通过离散时间LTI系统3.1时域分析法X(n)Y(n)h(n)LTI系统输出序列的均值与相关函数当输入X(n)为平稳序列时，3.2频域分析法谱密度：均值：互谱密度：Z变换分析法3.3ARMA模型离散时间LTI系统:若输入X(n)为白噪声，方差为2，则输出过程Y(n)称为自回归滑动平均（ARMA）过程。ARMA：Auto-RegressiveMovingAverage（1）AR模型一阶AR模型:AR(1)X(n)Y(n)az1输入X(n)为白噪声，方差为2p阶AR模型:AR(p)X(n)Y(n)a1z1a2apz1z1（2）

MA模型一阶MA模型:MA(1)输入X(n)为白噪声，方差为2X(n)z1b0Y(n)b1q阶MA模型:MA(q)X(n)z1h(0)Y(n)h(1)h(2)h(q)h(q1)z1z1MA(q)的自相关函数当m<0时，RY(m)=RY(-m)当m

>

q

时，RY

(m)=0q阶MA模型具