第5章时域离散系统的基本网络结构

第5章时域离散系统的基本网络结构与

状态变量分析法5.1引言5.2用信号流图表示网络结构5.3无限长脉冲响应基本网络结构5.4有限长脉冲响应基本网络结构5.5线性相位结构5.6频率与采样结构5.7格型网络结构

5.1引言

一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程其系统函数H(z)为

给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：

5.2用信号流图表示网络结构

观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。图5.2.1三种基本运算的流图表示

和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中，(5.2.1)

图5.2.2信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图

不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(PrimitiveSignalFlowGraphs)。

(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1；

(2)流图环路中必须存在延时支路；

(3)节点和支路的数目是有限的。根据信号流图可以求出网络的系统函数：首先列出各个节点变量方程，形成联立方程组，然后求输入和输出之间的z域关系。

例5.2.1求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。解将5.2.1式进行z变换，得到四个中间变量，四个方程，经过联立求解得到：上述解联立方程组比较复杂，一般直接用Mason公式直接写出H(z)比较方便。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：

其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(5.2.2)式，h(n)表示为其它n

另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为

y(n)=ay(n-1)+x(n)

其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。

5.3无限长脉冲响应基本网络结构

1.直接型对N阶差分方程重写如下：对应的系统函数为：

图5.3.1IIR网络直接型结构(M=N=2)传递函数交换位置延时支路合并观察：实现本系统，需要一个加法器，个乘法器，个延迟器。

图5.3.1从(a)到(b)缺乏严格性，直接型信号流图的另外一种更合理说明：若将上图作一改造，可大量节约延迟器则：及直接实现：

例5.3.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：图5.3.2例5.3.1图2.级联型在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，公子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解(实数零、极点），得到(5.3.1)形成一个二阶网络Hj(z)（共轭成对复数零极点）；Hj(z)如下式：(5.3.2)

式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：

H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(5.3.3)

式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。

图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构例5.3.2设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构。解将H(z)分子分母进行因式分解，得到

式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为(5.3.4)

式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为

Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)3.并联型如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。

例5.3.3画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：

将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。

图5.3.5例5.3.3图

5.4有限长脉冲响应基本网络结构

FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为1.直接型按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。

图5.4.1FIR直接型网络结构2.级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例5.4.1设FIR网络系统函数H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3

画出H(z)的直接型结构和级联型结构。

解将H(z)进行因式分解，得到：

H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)

其级联型结构和直接型结构如图5.4.2所示。图5.4.2例5.4.1图5、线性相位FIR滤波器的结构FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，且满足：偶对称：或奇对称：即对称中心在(N-1)/2处则这种FIR滤波器具有严格线性相位。N为奇数时h(n)偶对称，取“+”(称为第一类线性相位滤波器)h(n)奇对称，取“”，且第二类线性相位滤波器N为偶数时5.6频率采样结构频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZT［h(n)］，(5.4.1)式中H(k)用下式表示：

(5.4.1)

要求频率域采样点数N≥M。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请读者分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。将(5.4.1)式写成下式：(5.4.2)式中Hc(z)是一个梳状滤皮网络(参考第八章)，其零点为图5.4.3FIR滤波器频率采样结构(1)在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。

(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。

然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：

(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。

(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为(5.4.3)此时零极点不能完全对消时，系统也是稳定的

另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W(N-k)N，我们将hk(z)和

HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则

显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.4.4(a)所示。当N为偶数时，h(z)可表示为式中(5.4.4)

式中，H(0)和H(N/2)为实数。(5.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图5.4.4(b)所示。图5.4.4频率采样修正结构

当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为(5.4.5)5.7离散时间系统的Lattice结构Lattice结构又称“格形”结构，是一种非常新颖、有特色的结构，在基于模型的功率谱估计、语音信号处理、自适应滤波方面有着重要的应用。对一个FIR系统，其Lattice结构是：反射系数Lattice结构的基本单元1.全零点系统(FIR)的Lattice结构如何实现滤波器系数和的相互转换？定义：Lattice结构中的基本关系：是Lattice结构中第m个上、下结点相对输入端的转移函数。得到由低阶倒高阶，或由高到低的递推关系。得到时域递推关系：低到高阶高到低阶MATLAB中有相应的m文件（tf2latc)。例：看作是FIR系统的逆形式。2.