高中数学空间几何体的表面积和体积考点分析

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案〔讲座9〕—空间几何体的外表积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式〔不要求记忆公式〕。二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为根本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法〞等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色：〔1〕用选择、填空题考查本章的根本性质和求积公式；〔2〕考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。四．典例解析题型1：柱体的体积和外表积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：由〔2〕2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36〔3〕由〔3〕－〔1〕得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的外表积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素〔对角线、内切〕与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。〔1〕求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；〔2〕求这个平行六面体的体积。图1图2解析：〔1〕如图2，连结A1O，那么A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。〔2〕∵AM=AA1cos=3×=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面体的体积为。题型2：柱体的外表积、体积综合问题例3．〔2000全国，3〕一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是〔〕A．2 B．3 C．6 D．解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，那么对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，假设E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两局部，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，那么V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型3：锥体的体积和外表积PABCDOE例5．〔2006上海，19〕在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60PABCDOE解：〔1〕在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO，于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面积为2。∴四棱锥P－ABCD的体积V=×2×=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。图例6．〔2002京皖春文，19〕在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。〔如下图〕图〔Ⅰ〕证明：SC⊥BC；〔Ⅱ〕求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；〔Ⅲ〕求三棱锥的体积VS－ABC。解析：〔Ⅰ〕证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。〔Ⅱ〕解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。〔Ⅲ〕解：在Rt△SAC中，∵SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=，∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。点评：此题比拟全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型4：锥体体积、外表积综合问题例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，CO＝。。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由，得·点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例8．〔2006江西理，12〕如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球〔与四个面都相切的球〕球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两局部，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的外表积分别是S1，S2，那么必有〔〕A．S1S2B．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，那么VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，应选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、外表积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9．〔2002北京理，18〕如图9—24，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。〔Ⅰ〕求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；〔Ⅱ〕证明：EF∥面ABCD；〔Ⅲ〕在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.它的体积公式是V=〔S上底面+4S中截面+S下底面〕，试判断V估与V的大小关系，并加以证明。〔注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面〕图〔Ⅰ〕解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为图如下图：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。∴PG=〔b－d〕，又B1G=h，∴tanB1PG=〔b＞d〕，∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.〔Ⅱ〕证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF。∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB∥EF。∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD。〔Ⅲ〕V估＜V。证明：∵a＞c，b＞d，∴V－V估==［2cd+2ab+2〔a+c〕〔b+d〕－3〔a+c〕〔b+d〕］=〔a－c〕〔b－d〕＞0。∴V估＜V。点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规那么几何体〔拟柱体〕中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。例10．〔1〕〔1998全国，9〕如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么〔〕A．B．C．2S0＝S＋S′D．S02＝2S′S〔2〕〔1994全国，7〕正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，那么其体积为〔〕A．32 B．28 C．24 D．20解析：〔1〕解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；〔2〕正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V台＝，答案B。点评：此题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点此题选用“特例法〞来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型6：圆柱的体积、外表积及其综合问题例11．〔2000全国理，9〕一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是〔〕A． B．C． D．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，那么由题设知h=2πr.∴S全=2πr2+〔2πr〕2=2πr2〔1+2π〕.S侧=h2=4π2r2，∴。答案为A。点评：此题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。例12．〔2003京春理13，文14〕如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.假设放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，那么=。解析：水面高度升高r，那么圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。点评：此题主要考查旋转体的根底知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。图题型7：圆锥的体积、外表积及综合问题图例13．〔1〕〔2002京皖春，7〕在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°〔如下图〕，假设将△ABC绕直线BC旋转一周，那么所形成的旋转体的体积是〔〕A．π B．π C．π D．π〔2〕〔2001全国文，3〕假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，那么这个圆锥的全面积是〔〕图A．3π B．3π C．6π D．9π图解析：〔1〕如下图，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。∴，答案D。〔2〕∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝，∴a2＝4，a＝2，a=2r，∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例14．〔2000全国文，12〕如下图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两局部，那么母线与轴的夹角的余弦值为〔〕A． B．C． D．解析：如下图，由题意知，πr2h＝πR2h，图∴r＝．又△ABO∽△CAO，图∴，∴OA2＝r·R＝，∴cosθ＝，答案为D。点评：此题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型8：球的体积、外表积例15．过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的外表积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，那么，在中，，∴，∴，∴。点评：正确应用球的外表积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例16．如下图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的外表积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理，得=2r,∴r=a。又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，∴OO′=R－a=d=,(R－a)2=R2–(a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2。点评：此题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，那么球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。题型9：球的面积、体积综合问题例17．〔2006四川文，10〕如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，那么球的外表积是〔〕A．B．C．D．〔2〕半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，假设正方体棱长为，求球的外表积和体积。解析：〔1〕如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的外表积是，选D。〔2〕作轴截面如下图，，，设球半径为，那么∴，∴，。点评：此题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。例18．〔1〕外表积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的外表积。〔2〕正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。解：〔1〕设球半径为，正四棱柱底面边长为，那么作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴〔2〕如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H由题设∵△AOF∽△AEG∴，得∵△AO1H∽△AOF∴，得∴点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型10：球的经纬度、球面距离问题例19．〔1〕我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？〔地球半径大约为〕〔2〕在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离。解：〔1〕如图，是北纬上一点，是它的半径，∴，设是北纬的纬线长，∵，∴答：北纬纬线长约等于．〔2〕解：设经过三点的截面为⊙，设球心为，连结，那么平面，∵，∴，所以，球心到截面距离为．例20．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为〔为地球半径〕，求两点间的球面距离。解：设北纬圈的半径为，那么，设为北纬圈的圆心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，两点的球面距离等于．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。五．思维总结1．正四面体的性质设正四面体的棱长为a，那么这个正四面体的(1)全面积：S全=a2；(2)体积：V=a3；(3)对棱中点连线段的长：d=a；(4)内切球半径：r=a；(5)外接球半径R=a；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2．直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有以下性质：如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。那么：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③体积V=abc；④底面△ABC=；⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC；⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC⑦=++;⑧外切球半径R=；⑨内切球半径r=3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，那么sinα=cos=，α+=90°cosα=sin=.②圆台如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r′、r，那么h=lsinα，r-r′=lcosα。③球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：r=.普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案〔讲座8〕—空间几何体一．课标要求：1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形〔长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合〕的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料〔如：纸板〕制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法〔平行投影与中心投影〕画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图〔在不影响图形特征的根底上，尺寸、线条等不作严格要求〕；二．命题走向近几年来，立体几何高考命题形式比拟稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积外表积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养好空间想能力。预测07年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：〔1〕题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；〔2〕研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。三．要点精讲1．柱、锥、台、球的结构特征〔1〕柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；〔2〕锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。〔3〕台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的局部叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的局部叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。〔4〕球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。〔5〕组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。2．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：〔1〕正视图：物体前前方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；〔2〕侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；〔3〕俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；3．空间几何体的直观图〔1〕斜二测画法①建立直角坐标系，在水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上〔平面上〕画出对应的O’X’,O’Y’,使=450〔或1350〕，它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线〔虚线〕。〔2〕平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。四．典例解析题型1：空间几何体的构造例1．〔1〕〔06北京理4〕平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线与AB垂直，且交于点C，那么动点C的轨迹是〔〕A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支〔2〕〔04天津文8〕如图，定点A和B都在平面内，定点C是内异于A和B的动点，且那么，动点在平面内的轨迹是〔〕A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点〔3〕正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，那么点P的轨迹是[]A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线解析：〔1〕设与是其中的两条任意的直线，那么这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，应选A。〔2〕答案为B。〔3〕解析：点P到A1D1的距离为，那么点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P的轨迹是两个点。选项为C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。例2．〔06江苏9〕两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，那么这样的几何体体积的可能值有〔〕A．1个B．2个C．3个D．无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：此题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型2：空间几何体的定义例3．〔06江西文9〕如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥〞，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是〔B〕Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：因为“等腰四棱锥〞的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。应选B点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。例4．〔2002北京理，10〕设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直〞；命题乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方体〞.那么，甲是乙的〔〕A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件C解析：假设命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。假设命题乙成立，命题甲一定成立。答案为C。点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型3：空间几何体中的想象能力例5．〔2002上海春，10〕图9—12表示一个正方体外表的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。图9—1例6．〔2003京春文11，理8〕如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ图9—1A．90°B．60°C．45° D．0°答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°。点评：在画图过程中正确理解图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。题型4：斜二测画法例7．画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。作法：〔1〕画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°〔或135°〕，∠X′O′Z′=90°。〔2〕画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。〔3〕画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE。′〔4〕成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的局部为虚线。点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。例8．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，假设的面积为，那么△ABC的面积为_______________。解析：。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。题型5：平行投影与中心投影例9．〔1〕如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，那么△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是〔〕①①②③④A．①③B．②③④C．③④D．②④〔2〕〔2000全国，16〕如图9—15〔1〕，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，那么四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15〔2〕的〔要求：把可能的图的序号都填上〕.解析：〔1〕正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④〞所示，在其它平面上的射影如“③〞所示。答案：C；〔2〕答案：②③；解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。过E、F分别作DD1和CC1的垂线，可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，表达了加强能力考查的方向。例10．〔06安徽理16〕多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，那么P到平面的距离可能是：①3；②4；=3\*GB3③5；④6；⑤7以上结论正确的为________________________〔写出所有正确结论的编号〕ABCDA1B1C