激光原理-第二章29-212

§2-9高斯光束的基本性质及特征参数§2-10高斯光束q参数的变换规律§2-11高斯光束的聚焦和准直§2-12高斯光束的自再现变换与稳定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非稳腔的几何自再现波型§2-15非稳腔的几何放大率及自再现波型的能量损耗第二章开放式光腔与高斯光束§2-9高斯光束的基本性质及特征参数一、基模高斯光束沿z轴方向传播的基模高斯光束的场，不管它是由何种结构的稳定腔所产生的，均可表示为如下的一般形式其中，c为常数因子，其余各符号的意义为ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f为高斯光束的共焦参数；R(z)为与轴线相交于z点的高斯光束等相位面的曲率半径；ω(z)是与传播相交于z点的高斯光束等相位面上的光斑半径。当,即f表示光斑半径增加到腰斑的倍处的位置。关于共焦腔振荡模的知识得知，焦距为f或曲率半径为R=2f的对称共焦腔所产生的高斯光束的腰斑半径恰为ω0。镜斑二、基模高斯光束在自由空间的传输规律高斯光束具有下述基本性质：(1)基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。由振幅降到中心值的1/e的点所定义的光斑半径为可见，光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展，在z=0处，ω(z)=ω0,达到极小值。镜斑(2)高斯光束的相移特性由相位因子所决定。它描述高斯光束在点(x,y,z)处相对于原点(0,0,0)处的相位滞后。其中：kz描述几何相移；arctan(z/f)描述高斯光束在空间行进距离z时对几何相移的附加相位超前；因子kr2/2R表示与横坐标(x,y)有关的相位移动，它表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面，R由下式给出(3)定义在基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角为总之，高斯光束在其传输轴线附近可以近似看做是一种非均匀球面波，其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持为球面。三、基模高斯光束的特征参数1.用参数ω0(或f)及束腰位置表征高斯光束

一旦ω0的大小和位置给定了，整个高斯光束的结构也就随之确定下来。由此可以确定于束腰相距z处的光斑大小、等相位面的曲率半径R(z)、该点相对于束腰处的相位滞后以及整个光束的发散角。

由于在ω0与f直接存在着确定的关系，因此可以用共焦参数f及束腰的位置来表征特定的高斯光束。2.用参数ω(z)和R(z)表征高斯光束

如果知道了某给定位置处的光斑半径ω(z)和等相位面曲率半径R(z)，则可决定高斯光束腰斑的大小和位置3.高斯光束的q参数

把上式中与横坐标r有关的因子放在一起引入一个新参数q(z)，定义为

上式所定义的q参数将描述高斯光束基本特征的两个参数ω(z)和R(z)统一在一个表达式中，它是表征高斯光束的又一个重要参数。一旦知道了高斯光束在某位置处的q参数值，如果以q0=q(0)表示z=0处的q参数值，并注意到R(0),ω(0)=0，则四、高阶高斯光束1.厄米特-高斯光束

在方形孔径共焦腔或方形孔径稳定球面腔中，除了基模高斯光束以外，还可以存在各阶高斯光束，其横截面内的场分布可由高斯光束与厄米特多项式的乘积描述。沿z方向传输的厄米特-高斯光束可以写成如下的一般形式

厄米特-高斯光束与基模高斯光束的区别在于：厄米特-高斯光束的横向场分布由高斯函数与厄米特多项式的乘积决定，厄米特-高斯光束沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线；沿传输轴线相对于几何相移的附加相位超前为对阶数m和n的增大而增大。另外，x方向和y方向的光腰尺寸为z处的光斑尺寸为在x方向和y方向的远场发散角2.拉盖尔-高斯光束

在柱对称(包括圆形孔径共焦腔)中，高阶横模由缔合拉盖尔多项式与高斯函数的乘积来描述，沿z方向传输的拉盖尔-高斯光束可表为如下的一般形式与基模高斯光束相比，柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布由函数描述，它沿半径r方向有n个节线圆，沿辐角方向有m根节线。拉盖尔-高斯光束的附加相移为由上式可见ΔΦmn随n的增加比随m更快；可以证明，其光斑半径

发散角

§2-9高斯光束的基本性质及特征参数§2-10高斯光束q参数的变换规律§2-11高斯光束的聚焦和准直§2-12高斯光束的自再现变换与稳定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非稳腔的几何自再现波型§2-15非稳腔的几何放大率及自再现波型的能量损耗第二章开放式光腔与高斯光束§2-10高斯光束q参数的变换规律一、普通球面波的传播规律普通球面波波前曲率半径R(z)随传播过程的变化为：R1(z)R2(z)z1z2zL本节用q参数来讨论高斯光束的传输规律。普通球面波在自由空间的传播规律00′R1R2zz’当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其波前曲率半径满足关系：傍轴球面波通过薄透镜的变化规律在2.2节我们已经引入过傍轴光线通过光学系统的变化矩阵当光线在自由空间传播中行进距离为L时，其变换矩阵为而焦距为F的薄透镜对傍轴光线的变换矩阵为依此，球面波的传播规律可以统一的写成反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系。二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式

高斯球面波——非均匀、曲率中心不断改变的球面波——也具有类似普通球面波的曲率半径R这样的参量，其传播规律与普通球面波的R完全类似。这就是上一节已经提到过的高斯光束的q参数：

式中为z=0处的q参数值。上式描述了高斯光束的q参数在自由空间中的传输规律。它在形式上比上式的传输规律要简单一些。由可得其中，q1=q(z1)为z1处的q参数值；

q2=q(z2)为z2处的q参数值。

当通过薄透镜时，高斯光束q参数的变化规律很简单。若以M1表示高斯光束入射到透镜表明上的波面，由于高斯光束的等相位面为球面，经透镜后被转化成另一球面波面M2而出射，M1与M2的曲率半径R1及R2之间的关系满足同时，由于透镜很薄，所以紧挨透镜的两方的波面M1及M2上的光斑大小及光强分布都应该完全一样。以表示ω1入射在透镜表面上的高斯光束光斑半径，ω2表示出射高斯光束光斑半径，则薄透镜的这一性质表示为即为q参数通过薄透镜的变换公式。形式上与普通球面波所满足的完全类似。其中，q1为入射高斯光束在透镜表明上的q参数值；q2为出射高斯光束在透镜表面上的q参数值。R1,ω1为入射高斯光束在透镜表面上的波面曲率半径和光斑半径；R2,ω2为出射高斯光束在透镜表明上的波面曲率半径和光斑半径。由上式可知无论是对在自由空间的传播或对通过光学系统的变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R一样的作用，因此有时又将q参数称为高斯光束的复曲率半径。与上式类似，q参数的变化规律可用下式同一表示。这就是高斯光束经任何光学系统变换时服从的所谓ABCD公式，式中为光学系统对傍轴光线的变换矩阵。当λ0时，波动光学过渡到几何光学，这时qR，表明高斯光束的传输规律过渡到几何光学中傍轴光线的传输规律。三、用q参数分析高斯光束的传输问题若透镜的焦距为F，入射高斯光束的光腰半径为ω0，光腰与透镜的距离为l，利用q参数经光学系统变换时的ABCD公式，可求出出射高斯光束的光腰半径和光腰ω'0和透镜的距离l'。设入射高斯光束光腰处的参数为q0，透镜出射面处高斯光束的q参数为qF，出射高斯光束光腰处的q参数为q'0，则自入射高斯光束光腰至透镜出射面的变换矩阵高斯光束束腰的变换关系式。它们完全确定了像方高斯光束的特征。当满足条件正是几何光线中的成像公式和放大率公式。可见如果将物、像高斯光束之束腰与几何光学中之物和像相对应，可使问题大大简化。由于l-F为物高斯光束束腰与透镜后焦面的距离，f为物高斯光束的共焦参数，所以也就是要求物高斯光束与透镜后焦面的距离远大于物高斯光束的共焦参数。粗略地说，就是要求物高斯光束束腰与透镜相距足够远。xFFll’x’当不满足条件高斯光束的行为可能与通常几何光学中傍轴光线的行为迥然不同。例如当有即当物高斯光束束腰处在透镜物方焦面上时，像高斯光束束腰亦处在透镜像方焦面上，这与几何光学中处在焦点上的物经过透镜成像与无穷远处的概念完全不同。同样，当l<F时，l'>0,l=0,F>l'>0;这又与几何光学中当l<F时不能成实像的情况不同。总之，在不成立时，只有上式才能正确地描述高斯光束通过透镜的传输规律xFFll’x’§2-9高斯光束的基本性质及特征参数§2-10高斯光束q参数的变换规律§2-11高斯光束的聚焦和准直§2-12高斯光束的自再现变换与稳定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非稳腔的几何自再现波型§2-15非稳腔的几何放大率及自再现波型的能量损耗第二章开放式光腔与高斯光束§2-11高斯光束的聚焦和准直一、高斯光束的聚焦实际问题中提出的一个重要问题是，如何用适当的光学系统将高斯光束聚焦。这里我们只讨论单透镜的聚焦作用。讨论高斯光束的聚焦,实质上就是分析像方高斯光束腰斑的大小ω'0随物高斯光束参数ω0，l及透镜的焦距F而变化的情形，从而判明，为了有效的将高斯光束聚焦应如何合理地选择上述参数。2ɷ0

2ɷ′0

ll′

1.F一定时，ω'0随l变化的情况(1)当l<F时，ω'0随l的减小而减小，当l=0时，ω'0达到最小值lF0不论透镜的焦距F多大，都有一定的汇聚作用，像方腰斑处在前焦点以内。20′20F如进一步满足条件在这种情况下，像方腰斑就处在透镜的前焦面上，且透镜的焦距F愈小，焦斑半径ω'0也愈小，聚焦效果愈好。(2)当l>F时，ω'0随l的增大而减小，当l时，ω'0达到最小值一般地，当l>>F时，有lF0

ω(l)为入射在透镜表面上的高斯光束光斑半径，若还同时满足条件l>>ω20/λ，则有可见，在物高斯光束的腰斑离透镜甚远的情况下，l愈大，F愈小，聚焦效果愈好。当然，上述讨论都是在透镜孔径足够大的假设下进行的，否则，还必须考虑衍射效应。ɷ0ɷ′ɷ0′l>>Fz′=F(3)当l=F时，ω'0达到极大值仅当F<ω20/λ时，透镜才有聚焦作用。lF0F一定时，随l而变化的情况以及透镜对高斯光束的聚焦作用如图所示，从图中还可以看出，不论l的值有多大，只要满足条件就能实现一定的聚焦作用。lF0

2.l一定时，ω'0随F变化的情况

ω0和l一定时，ω'0随F变化的情况如图所示总之，为使高斯光束获得良好聚焦，通常采用的方法是：用短透镜聚焦；使高斯光束束腰远离透镜焦点从而满足，l>>ω20/λ,l>>F;取l=0,并设法满足ω20/λ>>F0FR(l)表示高斯光束到达透镜表面上的波面的曲率半径二、高斯光束的准直

激光器发出的光束发散角已很小,为了满足某些需要,须进一步压缩发散角.压缩发散角即为高斯光束的准直.

发散角:由该式可见,要0

小,束腰0

要大.

1.单透镜对高斯光束发散角的影响

腰斑大小为ω0的物高斯光束的发散角为通过焦距为F的透镜后，像高斯光束的发散角为可以看出，对ω0为有限大小的的高斯光束，无论F，l取什么数值，都不可能是ω'0，从而也就不可能是θ'00。这就表明，要想用单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原则上说是不可能的。现在的问题是，在什么条件下可以借助于透镜来改善高斯光束的方向性？当ω'0>ω0时，将有θ'0<θ0，在一定的条件下，当达到ω'0极大值时，θ'0将达到极小值。设腰斑为的高斯光束入射在焦距为F的透镜上，由条件可以得出，当l=F时，ω'0达到极大值此时

lF0可见，当透镜的焦距F一定时，若入射高斯光束的束腰处在透镜的后焦面(l=F)上，则θ'0达到极小。此时，F愈大，即透镜焦距愈长，θ'0愈小。当有较好的准直效果。Note：在l=F的条件下，像高斯光束的方向性不但与F的大小有关，而且也与ω0的大小有关。ω0愈小，则像高斯光束的方向性愈好。因此，如果预先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，以便获得极小的腰斑，然后再用一个长焦距的透镜来改善其方向性，就可得很好的准直效果。

2.利用望远镜将高斯光束准直L1为短焦距透镜，焦距为F1，当满足条件物高斯光束将聚焦于前焦面上，得一极小光斑。由于ω'0恰好落在长焦距透镜L2的后焦面上，所以腰斑为ω'0的高斯光束将被L2很好地准直。以θ0可表示入射高斯光束的发散角，θ'0表示经过透镜L1后的高斯光束的发散角，θ''0表示经过透镜L2后出射的高斯光束的发散角，则该望远镜对高斯光束的准直倍率M'定义为M为焦距比，望远镜的准直倍率。由上式可以看出，一个给定的望远镜对高斯光束的准直倍率M'不仅与望远镜的本身参数有关，而且还与高斯光束的结构参数f=ω20/λ以及腰斑与透镜L1的距离l有关。

虽然上面公式是在l>>F1的条件下导出的，但它对l=0(f=ω20/λ>>F1)的情况也适合。此时在一般情况下，由于ω(l)总是大于ω0

，因而望远镜对高斯光束的准直倍率M'总是比它对普通傍轴光线的准直倍率M要高。M愈大，ω(l)/ω0愈大，M'也就愈大。在l为有限的情况下，出射高斯光束的腰并不准确的落在透镜L1的前焦面上，因而望远镜系统应允许作微小的调整。此外，这里的讨论没有考虑像差，而且假设透镜孔面上的光斑远小于透镜本身的孔径，因而无须考虑由透镜的有限孔径引起的衍射效应。当光斑等于或大于透镜的孔径时，要想通过提高准直倍率来无限制地压缩高斯光束的发散角是不可能的。这ω'0的大小及出射光束的最小发散角应由透镜的孔径所决定，这就是望远镜运用在衍射极限的情形。

实际的准直望远镜可以做成投射式，反射或折-反式，但其基本工作原理都是一样的。§2-9高斯光束的基本性质及特征参数§2-10高斯光束q参数的变换规律§2-11高斯光束的聚焦和准直§2-12高斯光束的自再现变换与稳定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非稳腔的几何自再现波型§2-15非稳腔的几何放大率及自再现