机械振动强迫振动

§2.2无阻尼自由振动复习§2.3阻尼自由振动

(2.21)解的形式复习§2.4单自由度系统的简谐强迫振动简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系统振动特性最常用的方法之

(2.44)

(2.45)定义

(2.46)

(2.47)二阶常系数非齐次线性常微分方程瞬态响应稳态响应

(2.48)激励稳态响应代入得到令t=0和t=π/2解X和φ(2.49)(2.50)求特解激励幅值的大小只影响稳态响应的幅值，二者之间成正比，并不影响稳态响应的相角。而激励频率既影响稳态响应的幅值，也影响稳态响应的相角。代入得到(2.51)求瞬态解得到随着时间的增长，x1将趋于零。而且，即使方程(2.52)的初条件为零，x1也不恒为零。也就是说，在简谐激励下，即使初始时刻系统为静止，振动开始后仍有一段时间有瞬态响应。(2.52)分析与讨论：复频率响应幅频特性与相频特性(2.54)在式(2.54b)两边乘然后与式(2.54a)对应相加

（b)（a)令(2.56)(2.55)根据欧拉公式如果系统所受激励为如果系统所受激励为稳态响应为稳态响应为(2.57)(2.58)它的模是系统的放大因子式(2.56)的特解为代人式(2．56)可以得到(2.59)定义(2.60)复频率响应

(2.61)Fs0是弹簧力的幅值，F0是激励幅值。因此，放大因子又可以认为是稳态振动时弹簧力幅值与激励力幅值之比(2.62)(2.63)(2.64)(2.65)(2.66)系统的复频率响应只取决于两个参数：激励频率和系统固有频率的比值(频率比)和系统的阻尼比以频率比为横坐标，系统的阻尼比为参数，分别以放大因子和相角为纵坐标画图，可以得到系统的幅频特性图和相频特性图，它们直观地反映了放大因子、相角与频率比、阻尼比的关系，描述了振动系统的动态特性

当ζ＞1/21/2

时，放大因子没有峰值。这时在整个频率范围内，H(ω)≤l。通常把ζ＜1/21/2称为小阻尼情况。只有在小阻尼情况下，放大因子H(ω)

才在ω>0时有峰值，而且峰值「H(ω)

」max>1。所以，我们只讨论小阻尼的情况。由幅频特性图和相频特性图可以看出，在ω＝0,∞,ωn，这几个特殊点，「H(ω)

」和φ(ω）分别为系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频率的简谐量，分别为将式对ω/ωn微分并令其结果为零。经计算可知峰值点在品质因子与带宽当频率比时，放大因子达到最大值定义为系统的品质因子Q（放大倍数）,即,

Q较大时，共振峰比较尖锐，反之则比较平缓满足的点称为半功率点称为系统的带宽在带宽范围的信号能被放大，最少能放大倍

在固有频率已定时，Q与成反比。若通过试验测得系统的Q值，可计算出系统的带宽和阻尼比。

思考：为降低在机械系统振动，Q设计得越小越好吗?2.4.3能量关系与等效阻尼阻尼力在一个周期内做的功为外力在振动的一个周期内对系统做的功为对于无阻尼系统，ζ=0。当激励频率不等于系统的固有频率时，由式(2.75)知Wp＝0，即在一个周期内外力没有对系统做功，因而系统无能量输入当激励频率等于系统固有频率，即ω=ωn时，由方程外力在一个周期内做的功为这是个常数。这说明，无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通过共振区的办法来解决。等效阻尼两个固态物体相互接触，当有相对运动或有相对运动趋势时产生干摩擦，即所谓库仑阻力。摩擦阻力与接触面正压力N成正比，其比例系数称为摩擦系数由于