杨柳-电力系统稳定性问题概述

电力系统稳定问题概述报告人：杨柳电力系统稳定性的定义电力系统稳定性的分类电力系统不同类型稳定性的分析内容概要Contents什么是电力系统的稳定性？电力系统在受到扰动后,凭借系统本身固有的能力和控制设备的作用，恢复到原始稳态运行方式，或者达到新的稳态运行方式（的能力）。来源：IEEETaskForceReport,ProposedTerms&DefinitionsofPowerSystemStabilityIEEETrans.OnPAS,Vol.PAS-101,No.7,19821995年《中国电力百科全书》中关于电力系统稳定性的定义：PrabhaKundur《电力系统稳定与控制》中关于稳定性的定义:电力系统稳定性可以概括地定义为这样一种电力系统的特性，即它能够运行于正常运行条件下的平衡状态，在遭受扰动后能够恢复到可以容许的平衡状态。

——PowerSystemStabilityandControl中译本,2002Powersystemstabilitymaybebroadlydefinedasthatpropertyofapowersystemthatenablesittoremaininastateofoperatingequilibriumundernormaloperatingconditionsandtoregainanacceptablestateofequilibriumafterbeingsubjectedtoadisturbance.

——PowerSystemStabilityandControl,19942001年我国《电力系统安全稳定导则》中的稳定性定义:电力系统稳定性即电力系统受到事故扰动后保持稳定运行的能力。通常根据动态过程的特征和参与动作的元件及控制系统，将稳定性的研究划分为静态稳定、暂态稳定、小扰动动态稳定、电压稳定及中长期动态稳定。——2001年版《电力系统安全稳定导则》2004年CIGRE(国际大电网会议)关于电力系统稳定性的定义：电力系统稳定性是电力系统在给定的初始运行条件下受到扰动后回到一种平衡状态，同时大部分系统变量保持有界并使得（实际上）全系统保持完整的能力。Powersystemstabilityistheabilityofanelectricpowersystem,foragiveninitialoperatingcondition,toregainastateofoperatingequilibriumafterbeingsubjectedtoaphysicaldisturbance,withmostsystemvariablesboundedsothatpracticallytheentiresystemremainsintact.

——IEEE/CIGREJointTaskForceonStabilityTermsandDefinitions，2004为什么要对电力系统的稳定性问题进行分类？稳定性在本质上是不同方向的作用力互相平衡的结果；电力系统作为一种高维、多变量的动力系统，其动态过程受到网络拓扑、运行条件和扰动类型等多方面的影响，各种力的失衡有多种形式，表现为多种不稳定现象；关于电力系统稳定性定义不能采取通用的简单方法进行分析，需要根据电力系统具体的失稳现象采用适当的描述方式突出重点问题。分类的目的

(1)便于理解系统失稳的机理；(2)便于识别系统失稳的原因；(3)便于选择合适的分析模型、方法和工具；(4)便于发展正确的应对手段。分类所基于的基本准则：1.可观察到的系统主要变量在失稳过程中表现出来的性质；2.导致失稳过程的扰动的大小（可决定在稳定分析、计算和预测时采取的方法）；3.为评价稳定性需要考虑的元件、过程及时间范围。IEEE/CIGRE稳定定义联合工作组根据电力系统失稳的物理特性、受扰动的大小以及研究稳定问题必须考虑的设备、过程和时间框架，将电力系统稳定分为功角稳定、电压稳定和频率稳定三大类及众多子类，如图1所示：功角稳定性（即同步稳定性）电力系统正常运行的重要标志即系统中的所有同步发电机均同步运行（电气角速度相同）。如果机组间失去同步，系统的电压、电流和功率等状态变量就会大幅度地、周期性地振荡变化，以致系统不能向负荷正常供电。功角稳定，即指系统受到扰动后，功角能恢复到原值，或稳定到一个新的值。功角稳定性下面以单机无穷大系统为例，说明功角稳定性：功角的定义：发电机电势与系统电压之间的相角差。结论：功角持续变化，将导致电流、节点电压、输出功率持续变化。因此，功角是此系统的状态变量。简单系统中发电机的功率现以图2所示的简单系统为例，分析其发电机的电磁功率假设发电机为隐极式同步发电机（此时发电机的空载电势恒定）以空载电动势和同步电抗表示发电机，由图4可得：有功功率的表达式为将（1）式带入（2）式，得为电动势时的功率表达式由于传输功率的大小与相位角δ密切相关，故称δ为“功角”或“功率角”。传输功率与功角δ的关系，称为“功角特性”或“功率特性”。(3)式中，无限大容量系统的母线电压U为常数。若假设转子回路无暂态过程，即励磁电流为常数，则也为常数。发电机发出的电磁功率仅是δ的函数。功率极限频率稳定频率稳定指的是在导致系统发电量和负荷量出现明显不平衡现象的严重扰动发生后，系统维持频率的能力。频率失稳的现象为频率持续波动并导致切机和/或切负荷。电压稳定电压稳定指的是在给定初始运行条件下发生扰动后，电力系统维持其所有节点电压值的能力。电压失稳通常表现为部分节点电压逐渐下降或上升。（大部分电压失稳现象表现为电压的持续下降，但电压上升的失稳情况也是存在的并发生过）电压失稳可能导致的后果：（1）系统电压崩溃，大量失去负荷；（2）保护系统切除联络线或其他设备并导致连锁反应，部分发电机也可能在此过程中失去同步。注意：失稳现象常常不是纯粹的某一类别，系统一旦以某种形式失去稳定，常常会最终导致其他形式的失稳现象。必须全面考虑系统的稳定问题，对某种稳定问题的解决方案不应以牺牲另外形式的稳定性为代价。功角稳定性分类电力系统在发生功角失稳的动态过程中表现出不同的特征，导致在分析研究功角稳定性时将其分类并采取不同的分析方法和控制对策。2001年，我国电网运行与控制标准化技术委员会制定的DL755-2001《电力系统安全稳定导则》中，将功角稳定性分为下列三类：1）静态稳定：是指电力系统受到小干扰后，不发生非周期性失步（功角不断增大），自动恢复到初始运行状态的能力。2）暂态稳定：是指电力系统受到大扰动后,各同步电机保持同步运行并过渡到新的或恢复到原来稳态运行方式的能力。通常指保持第一或第二个振荡周期不失步的功角稳定。3）动态稳定：是指电力系统受到小的或大的扰动后，在自动调节和控制装置的作用下，保持较长过程的运行稳定性的能力。补充概念：功角一旦发生变化，就意味着发电机失步。非周期性失步：功角不断增大。非周期失步将造成系统电压、电流大幅振荡。周期性失步：功角在某个点震荡，最后稳定于某个值。小干扰：比如系统中负荷的小量变化；又如架空输电线因风吹摆动引起的线间距离（影响线路电抗）的微小变化等。大扰动：电力系统发生短路、断线或者切除大容量元件等。简单电力系统的静态稳定（定性分析）电力系统的静态问题实际上就是确定系统的某个运行稳态能否保持的问题。机组稳定运行时，转子轴上的不平衡转矩有如下关系：可近似认为:平衡点原动机的机械转矩是由发电厂动力部分的运行状态决定的，而发电机的电磁转矩则是由发电机及其连接的电力系统中的运行状态决定的。对a点进行分析：1）假设突然某个微小扰动，使功角增加△δ，则输出功率为a’所对应的值;

2）此时，，转子减速，功角δ减小，运行点从a’向a移动；

3）当运行点达到a点时，

，但此时由于转子转速低于同步转速，功角δ继续减小，运行点从a向a’’移动；

4）当运行点越过a点时，，转子加速，在达到同步转速之前，功角δ继续减小，运行点继续从a向a’’移动；

5）当转子达到同步转速之后，由于此时，转子转速将超过同步转速，功角δ增大，即运行点转而从a’’向a移动。结论：如果无阻尼，运行点将在a’与a’’之间振荡；如果有阻尼，则在振荡之后，运行点最终稳定于a。对a点进行分析：1）假设突然某个微小扰动，使功角减小△δ，则输出功率为a’’所对应的值;

2）此时，，转子加速，功角δ增大，运行点从a’’向a移动；

3）当运行点达到a点时，

，但此时由于转子转速高于同步转速，功角δ继续增大，运行点从a向a’移动；

4）当运行点越过a点时，，转子减速，在达到同步转速之前，功角δ继续增大，运行点继续从a向a’移动；

5）当转子达到同步转速之后，由于此时，转子转速将低于同步转速，功角δ减小，即运行点转而从a’向a移动。结论：如果无阻尼，运行点将在a’’与a’之间振荡；如果有阻尼，则在振荡之后，运行点最终稳定于a。对b点进行分析：1）假设突然某个微小扰动，使功角减少△δ，则输出功率为b’所对应的值;2）此时，，转子减速，功角δ减小，运行点从b’向a移动；3）当运行点达到a点时，，但此时由于转子转速低于同步转速，功角δ继续减小，运行点从a向a’’移动；4）当运行点越过a点时，，转子加速，在达到同步转速之前，功角δ继续减小，运行点继续从a向a’’移动；5）当转子达到同步转速之后，由于此时，转子转速将超过同步转速，功角加大，即运行点转而从a’’向a移动；结论：如果无阻尼，运行点将在a’与a’’之间振荡；如果有阻尼，则在振荡之后，运行点最终稳定于a。对b点进行分析：1）假设突然某个微小扰动，使功角增大

△δ，则输出功率为b’’所对应的值;2）此时，，转子加速，功角δ增大，运行点从b’’向横轴移动；3）上述过程中，总成立，因此，功角δ继续增大，运行点无法回到b点，发电机非周期性失步。结论：发电机非周期性失步。受小扰动后的功角变化特性δ衰减振荡δ非周期性失步a、b两运行点的对比共同点：都是平衡点，且电磁功率相同。结论：发电机工作在功率曲线的上升部分时，系统是静态稳定的；而工作在功率曲线的下降部分时，系统不稳定。综上，简单电力系统静态稳定的判据为不同点：

（1）a点功角小于90度，而b点功角大于90度；（2）a点功角增大，电磁功率也增大，功角减小，电磁功率也减小；b点正相反，功角增大，电磁功率减小，功角减小，电磁功率增大。换言之，在a点，两个变量与的符号相同，即，或改写成微分的形式；在b点，两个变量与的符号相反，即。简单电力系统静态稳定性实用判据整步系数整步系数表征发电机维持同步运行的能力，即静态稳定的程度。（整步系数越大，系统的静态稳定程度越高）所对应的运行点的功率称为静态稳定极限，即保持静态稳定时发电机所能输送的最大功率。功率极限图8画出了和的特性曲线。当δ小于90度时，为正值，在这个范围为发电机的运行是稳定的，但当δ越接近90度，其值越小，稳定的程度越低。当δ等于90度时，是稳定与不稳定的分界点，称为静态稳定极限。功率极限静态稳定极限电力系统不应该在接近稳定极限的情况下运行，而应保持一定的储备，其储备系数为其中：为最大功率；为某一运行情况下的输送功率。我国现行的《电力系统安全稳定导则》规定：系统在正常运行方式下，Kp应不小于15%~20%；在事故后的运行方式下，Kp应不小于10%。事故后的运行方式：是指事故后系统尚未恢复到它原始的正常运行方式的情况。动态系统稳定性概述Lyapunov稳定性理论是研究系统稳定性的普遍方法。经典控制理论中的Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据只适用于研究线性定常系统，而Lyapunov稳定性理论对于线性和非线性系统都适用。系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。简单电力系统的静态稳定（定量分析）系统的平衡状态对于一个不受外部作用的系统，如果存在某个状态使得，成立，则称为系统的一个平衡状态。对于线性系统,当A非奇异时，系统只有唯一的一个平衡状态；当A奇异，则系统存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，通常存在多个平衡状态。定量分析静态稳定——小干扰法动力学系统运动的稳定性：由描述动力学系统的微分方程组的解来表征，反映为微分方程组解的稳定性。对于一非线性动力系统，其运动特性可以用一阶非线性微分方程组来描述，即式中——系统状态变量的向量；

——非线性函数向量。——偏移量线性化的状态方程——Jacobi矩阵如果是系统的一个初始平衡状态的向量，即，系统受到小干扰后（系统受到扰动，在数学上相当于改变值），，带入上式，并将等式右边用Taylor级数展开后忽略的二阶以上各项，可得Lyapunov稳定性判断原则是，若线性化方程中的A矩阵没有零值和实部为零值的特征值，则非线性系统的稳定性可以完全由线性化方程的稳定性来决定。即:1)若A矩阵的所有特征值均为负实数或实部为负的复数，则系统是稳定的。2)若A矩阵特征值出现零根或实部为零的虚数根，则系统处于稳定的边界，系统状态变量将作周期性的等幅振荡。3)若A矩阵的特征值出现一个正实数或一个实部为正的复数，则系统是不稳定的，前者对应于非周期性的失稳，后者则对应于周期性的振荡失稳。Lyapunov稳定性判断原则：小干扰法分析简单系统静态稳定的流程图建立简单系统的数学模型在简单系统中只有一个发电机元件需要列出其状态方程。因为变压器和线路的电抗可看作发电机漏抗的一部分，无限大容量系统相当于一个无限大容量的发电机，其电压和频率不变，不必列出状态方程。简单系统中，发电机的的电磁功率已表达为Eq（为常数）、U和δ的函数。这样，发电机的状态方程就只有转子运动方程，即其中——发电机q轴的电角速度；——同步电角速度；

——发电机机组惯性时间常数。（4）模型偏差化由于静态稳定是研究系统在某一个运行方式下受到小的干扰后的运行状况，故可以把系统的状态变量的变化看作在原来的运行情况上叠加了一个小的偏移。对于简单系统，其状态变量可表示为将（5）式代入转子运动方程（4）后，得（5）（6）模型线性化由于假定了偏移量很小，可以将在附近按taylor级数展开，然后略去偏移量的二次及以上的高次项，则可近似得与的线性关系，即将（7）代入（6）后可得（8）（8）即为系统状态变量偏移量的线性微分方程组（7）将（8）写为矩阵形式，有（9）因此，其Jacobi矩阵为计算特征值由特征方程求得特征值p为其中——初始整步系数判断系统稳定性由Lyapunov静态稳定性判据知特征值当时，特征值为一个为正实数、一个负实数，系统非周期性的失稳。当时，特征值为一对共轭虚数，系统处于稳定的边界。原因：当为两个不相等的实数时，状态方程解的形式为只要、中有一个为正值，则将随时间t的增大而按指数规律增大，因而系统发生非周期性失稳。当为一对共轭复数时，状态方程解的形式为当时，呈等幅振荡，系统处于稳定的边界。非周期性失稳等幅振荡现在讨论初始整步系数时，系统的振荡频率此时一般为5~10秒；为0.5~0.1，则f为1Hz左右，故通常称为低频振荡。实际电力系统中一般存在着正的阻尼，阻尼因素会使系统振荡能量不断损耗，则和作衰减振荡，即系统受到小干扰后经过衰减振荡，最后恢复同步，系统实际上是稳定的。衰减振荡阻尼作用对静态稳定的影响发电机组的阻尼作用包括由轴承摩擦和发电机转子与气体摩擦所产生的机械性阻尼作用，以及由发电机转子闭合绕组(包括铁心)所产生的电气阻尼作用。机械阻尼作用与发电机的实际转速有关，电气阻尼作用则与相对转速有关，要精确计算这些阻尼作用是很复杂的。为了对阻尼作用的性质有基本了解，假定阻尼作用所产生的转矩(或功率)都与转速呈线性关系

阻尼功率系数阻尼功率计及阻尼功率后发电机转子的运动方程式为（10）其矩阵形式为（11）由特征方程求得特征值特征值具有负实部的条件为(12)由（12）可知：1）若，则不论D是正或负，p总有一正实根，系统均将非周期性地失去稳定，只是在正阻尼时过程会慢一些。2）若

，则D的正、负将决定系统是否稳定：①D>0，系统总是稳定的。由于一般D不是很大，p为负实部的共轭根，即系统受到小干扰后，Δδ和Δω作衰减振荡。②D<0，系统不稳定。一般p为正实部的共轭根，系统受到小干扰后，Δδ和Δω作增幅振荡，即系统振荡失稳。当正阻尼时，稳定判据仍为振荡失稳可见，阻尼对于系统的静态稳定，特别是振荡形式的静态稳定具有重要的作用。从物理意义上，很容易理解D>0时的阻尼作用。当Δω＞0，即转子转速高于同步转速时，阻尼功率为正，阻止转速升高；反之，当Δω＜0时，转子转速低于同步转速，阻尼功率为负，阻止转速进一步降低。D＜0则与上述情况相反，因而会促使系统振荡失稳。提高系统静态稳定性的措施电力系统静态稳定性的本质说明，发电机可能输送的功率极限越高则静态稳定性越高。功率极限大于0的程度越高，系统越稳定途径：1.提高发电机的电动势2.提高电网的运行电压U3.减小电抗几种提高静态稳定性的措施（直接或间接地减小电抗的措施）1.采用自动调节励磁装置（发电机装设先进的调节器就相当于缩短了发电机与系统间的电气距离，即减小了，因为调节器在总投资中所占的比重很小，所以在各种提高静态稳定性的措施中，总是优先考虑安装自动励磁调节器的。）2.减小元件电抗1）采用分裂导线（减小）；eg:对于500kV的线路，采用单根导线时电抗大约为；采用两根分裂导线时约为。2）采用串联电容补偿（减小）。在较高电压等级的输电线路上装设串联电容以补偿线路电抗，可以提高该线路传输功率的能力以及系统的稳定性。一般来说，串联电容补偿度越大，线路等值电抗越小，对提高稳定性越有利。但Kc的增大要受到很多条件的限制，而且补偿度过大还可能引起其他的一些问题。因此补偿度Kc必须取合适的值。3）提高线路额定电压等级（可等值地看作是减小线路电抗，因为线路电抗标幺值与其电压平方成反比）。提高线路额定电压会增加变电所的投资，因此，一定的输送功率和输送距离对应一个经济上合理的线路额定电压等级。3.改善系统结构和采用中间补偿设备1）有多种方法可以改善系统结构，加强系统的联系。例如增加输电线路的回路数；另外，当输电线路通过的地区原来就有电力系统时，将这些中间电力系统与输电线路连接起来也是有利的。这样可以使长距离的输电线路中间点的电压得到维持，相当于将输电线路分成两段，缩小了电气距离，即减小了。2）采用中间补偿设备（输电线路等值地分成两段，减小了）。简单系统的暂态稳定性影响暂态稳定的因素：

1.系统原来的运行方式（在分析一个系统的暂态稳定性时，首先必须结合系统的实际情况定出系统的初始运行方式）2.干扰的方式注：同样一个系统，在某个运行方式和某个干扰下是暂态稳定的，但在另一个运行方式或另一个干扰下却可能是不稳定的。

大扰动后的暂态过程阶段划分由于在扰动后的不同时间里系统各部分的反应不同，在分析大扰动后的暂态过程时往往按下面3种不同的时间阶段分类：（1）起始阶段：指故障后约1s内的时间段。在这期间系统的保护和自动装置有一系列的动作，如：故障切除和自动重合闸等。但发电机的调节系统尚未启动。（2）中间阶段：在起始阶段后，大约持续5s左右的时间段。期间发电机调节系统将起作用。（3）后期阶段：中间阶段以后的时间。动力设备（如锅炉）中的过程将影响到电力系统的暂态过程。此外，系统中还将由于频率和电压的下降，发生自动装置切除部分负荷等操作。电力系统受到大扰动，经过一段时间后，或是逐步趋向稳态运行或是逐步失去同步。这段时间的长短与系统本身的状况和扰动大小有关，有的约1s（例如紧密联系的系统），有的则要几秒钟甚至若干分钟。也就是说，在某些情况下只要分析扰动后1s左右的暂态过程就可以判断系统能否保持稳定，而在另一些情况下则必须分析更长的时间。暂态分析中采用的假设基本假设：（1）不考虑频率变化对系统参数的影响；（2）忽略突然发生故障后网络中的非周期分量电流；（3）发生不对称故障时，不计零序和负序电流对转子运动的影响。除了以上的基本假设外，根据对稳定问题分析计算的不同精度要求，对于系统主要元件还有近似简化。下面是最简化的发电机、原动机以及负荷模型:（4）发电机采用等值电动势恒定的简化模型；（5）不考虑发电机调速器的作用，原动机功率不变；（6）负荷为恒定阻抗。分析方法：暂态稳定是研究电力系统受到大扰动后的过程，不能像分析静态稳定时那样将描述电力系统运行状态的非线性微分方程线性化，只能分段求其数值解。结构变化：在暂态过程中往往还伴随着系统结构的变化。（结构变化将导致发电机功率特性曲线变化）暂态稳定与静态稳定的区别简单系统的暂态稳定注：以下分析均以短路故障作为扰动，对于其他扰动，分析方法基本类似。物理过程分析正常运行时，发电机经过变压器和双回线路向无限大系统送电。如果发电机用电动势作为其等值电动势，则电动势与无限大系统间的电抗为这时，发电机发出的电磁功率可表达为正常运行（I）故障情况下，发电机输出功率为如果突然在一回输电线路始端发生不对称短路，故障后系统的等值电路如图10所示根据电路理论中的Y—△角分析法，将图10中的星形网络转化为三角形网络，从而求得这个电抗总是大于正常运行时的电抗的。如果是三相短路，则为零，为无穷大，即三相短路截断了发电机和系统间的联系。由此可看出，三相短路时，发电机输出功率为零。故障（II）短路故障发生后，线路继电保护装置将迅速地断开故障线路两端的断路器，这时发电机电动势与无限大系统间的联系电抗如图11所示发电机输出功率为故障切除后（III）图12中画出了发电机在正常运行（I）、故障（II）和故障切除后（III）三种状态下的功率特性曲线。一般情况下，，故其功角特性曲线。系统在扰动前的运行方式和扰动后发电机转子的运动情况（1）正常运行方式。如果正常运行时发电机向无限大系统输送的功率为，则原动机输出的机械功率

等于(假设扰动后

保持此值不变)，图12中a点即为正常运行发电机的运行点，此时功角为。（2）故障阶段。发生短路后功率特性立即降为，但由于转子的惯性，转子角度不会立即变化，其相对于无限大系统母线的角度仍保持不变。因此发电机的运行点由a点突然变至b点，输出功率显著减少，而原动机机械功率不变，故产生较大的过剩功率。故障情况越严重，功率曲线幅值越低（三相短路时为零），则过剩功率越大。在过剩转矩的作用下发电机转子将加速，其相对速度（相对于同步转速）和相对角度δ逐渐增大，使运行点由b点向c点移动。如果故障永久存在下去，则始终存在过剩转矩，发电机将不断加速，最终与无限大系统失去同步。因为振荡过程中总存在着阻尼作用，因而振荡逐渐衰减，发电机最后将停留在k点持续运行。k点即故障切除后功率特性曲线与的交点（3）故障及时切除。实际上，短路故障发生后继电保护装置将迅速动作切除故障线路。假设在c点时将故障切除，则发电机的功率特性变为，发电机的运行点从c点突然变至e点。这时发电机的输出电磁功率比原动机的机械功率大，使转子受到制动，转子速度逐渐减慢。但由于此时的速度已经大于同步转速，所以相对角速度还要继续增大。假设制动过程延续到f点时转子转速才回到同步转速，则δ角不再增大。但是,在f点是不能持续运行的，因为这时转子所受的机械功率小于电磁功率。转子将继续减速，δ开始减小，运行点沿功率特性曲线由f点向e、k点转移。在达到k点以前转子一直减速，转子速度低于同步转速。在k点虽然机械功率与电磁功率相等，但由于这时转子速度低于同步转速，δ继续减小。越过k点之后机械功率开始大于电磁功率，转子又加速，因而δ一直减小到转速恢复同步转速后又开始增大。此后运行点沿着开始第二次振荡。如果振荡过程中没有任何能量损耗，则第二次δ又将增大至f点对应的角度，以后就一直沿着往复不止地做低频振荡。图14为上述振荡过程中负的过剩功率，转子角速度和相对角度随时间变化的情形（计及阻尼作用）（4）故障切除过晚。如果故障线路切除得比较晚，如图15所示。这时在故障线路切除前转子加速已比较严重，因此当故障线路切除后，在达到与图12中相应的f点时，转子转速仍大于同步转速，甚至在到达h点时转速还未降至同步转速，因此δ就将越过h点对应的角度。而当运行点越过h后，转子又立即承受加速转矩，转速又开始升高，而且加速越来越大，δ将不断增大，发电机和无限大系统之间最终失去同步。这种情况如图16所示。快速切除故障是保证暂态稳定的有效措施以上分析了发生故障后，在暂态过程中转子运动的物理过程。可见，系统能否保持暂态稳定是和正常运行方式（决定和的大小）以及扰动情况（故障类型、何时切除）直接有关。通过定量的分析计算得到发电机的摇摆曲线，由此可知系统的暂态稳定情况。简单电力系统暂态稳定的定量分析方法等面积定则根据图12和图15分析简单系统暂态稳定性的物理过程，在故障发生后，从起始角到故障切除瞬间所对应的角这段时间里，发电机转子受到过剩转矩的作用而加速。可以证明，过剩转矩（当转速变化不大时近似等于过剩功率）对相对角位移所做的功等于转子在相对运动中动能的增加。现证明如下：故障后转子运动方程为由于故转子运动方程可写为（13）将式(13)两边积分得式中为角度为时转子的相对角速度；为角度为时转子的相对角速度。（14）式（14）左端表示转子在相对运动中动能的增加，右端对应于过剩转矩对相对角位移所做的功。而右端项即为图12中abcd所包围的面积，故称之为加速面积。加速面积类似地，可以推得故障切除后，转子在制动过程中动能的减少就等于制动转矩对相对角位移所做的功，即有式中为减速过程中任意的角度，为对应于角的相对角速度。（15）由图12可见，当等于时角速度又恢复到同步角速度，即。式（15）变为（16）式（16）左端表示转子减速到时动能的减少，