第9章应力状态分析材料力学

第9章应力状态分析及强度理论9.1

点的应力状态及其分类

9.2

二向应力状态分析

9.3

三向应力状态简介

9.4广义虎克定律

9.5四个强度理论及莫尔强度理论9.1.1概述

1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。

2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。9.1

点的应力状态及其分类9.1.2应力状态的研究方法1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力状态分析xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz应力状态分析（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示截取原始单元体的方法、原则①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体②单元体各个面上的应力已知或可求；③几种受力情况下截取单元体方法：单元体上的应力分量应力状态分析PMeMePPMeMec)同b)，但从上表面截取Ctssb)横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面As=P/Ast=Me/WnABC应力状态分析BCAPCABtBtCsCsCsAsA应力状态分析9.1.3应力状态分类1.①主平面：单元体上切应力为零的面；

②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；

③主应力：主平面上的正应力，按代数值大小用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。旋转y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy应力状态分析2.应力状态按主应力分类：

①单向应力状态：只有一个主应力不为零；②二向应力状态：只有一个主应力为零

(平面应力状态)；③三向应力状态：三个主应力均不为零

(空间应力状态)；单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。应力状态分析9.2.1解析法平面应力状态图示：9.2

二向应力状态分析

sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx应力状态分析1.任意斜截面上的应力公式任意斜截面上的应力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx

得

应力状态分析符号规定：a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负s—拉为正，压为负t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负应力状态分析nxy对图示单元体，可得斜截面应力301020nxy例9-1

单元体上的应力如图所示，其垂直方向和水平方向各平面上的应力为已知，互相垂直的二斜截面ab和bc的外法线分别与x轴成和角。试求二斜截面ab和bc上的应力。

解：

按应力和夹角的符号规定，

（1）求斜截面上的应力

（2）求斜截面上的应力

50xy例

一单元体如图所示，已知二主应力值及其方向。试求图示斜截面上的应力。解：按主应力排列顺序及斜截面角度的规定

σ1=80MPaσ2=0

σ3=-50MPa2.主应力、主平面令可得最大、最小正应力平面（即二主平面）由此可得二主平面方位角最大、最小正应力（即主应力）：应力状态分析令：，可得最大、最小切应力平面极值切应力：(极值切应力平面与主平面互成45o)应力状态分析应力状态分析9.2.2图解法——应力圆

1.原理以sα、tα为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sα、tα‘为：以)为半径的圆。由2.应力圆的作法

①定坐标及比例尺；②取x面，定出D()点；取y面，定出D'()点；③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD'为直径作圆；应力状态分析sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"

D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata④求斜截面应力：由CD逆转2α角得E点，其坐标值即为斜截面上应力值。3.应力圆与单元体的对应关系

①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；

②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;

③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；

④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。应力状态分析例9-2图示单元体，求斜截面上的正应力与切应力204040nxy解：①用解析法应力状态分析应力状态分析②用图解法定坐标及比例尺；定出D(40，-40)点；定出D'(30，20)点；连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD'为直径作圆；由CD逆转2α=得E点，量得其坐标值即为斜截面上应力。CMN204040nxyD'(-20,

40)BD(40,-40)AFOsτ4.图解法求主应力和主平面sC

D'(sy,tyx)BD(sx,txy)Otsxsxtxytyxtxytyxsysy2a0As2s1s2s1a0a'0MN最大最小切应力τmax、τmin及平面最大最小切应力与主平面均相差45˚s2s1s2s1txysmaxsmina0*判断smax、smin作用方位(与两个a0如何对应)

txy箭头指向第几象限(一、四)，则smax(较大主应力)在第几象限，即先判断smax大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。应力状态分析txysminsmaxa0*用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上切应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向M点代表s‘所在主平面，其转过角度为2，转至s轴负向N点代表s"所在主平面；确定极值切应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t’，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。应力不变量也可由下式确定smax对应的a0若将式中的smax换成smin，则为smin对应的aOτsDD`CτσMNσ1σ3HGτmaxτmin对图示单元体：即当σy=0时的二向应力状态特例其主应力与主平面分别为最大最小切应力为应力状态分析纯剪切状态的最大应力应力状态分析OτsA(0,τ)B(0,-τ)CD最大切应力在横截面上，最大拉应力在斜截面上。τsmaxsmin40203014.9os"s's"s'

例图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力；②主应力并画出主单元体；③极值切应力。应力状态分析sataa求：1)a=30o斜截面上的应力；

2)主应力及其方位；

3)极值剪应力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020单位：MPaxasata40.3-40.3

例用应力圆法解前例题。

应力状态分析306080

例9-3

图示单元体，求主应力值和主平面位置。应力状态分析s3s1s3s1sOtABD'(30,60)D(80,-60)33.7o56.3oNMCs3s1-10120由应力圆可得主应力：主平面位置及主应力如图由单元体可作出图示应力圆解析法计算主应力主平面位置由应力圆可确定主平面tABCDx45o-45oM0M0DCBAs3s1s1s3分析圆轴扭转时的应力状态4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45o斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的切应力；5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。例9-4分析圆轴扭转时某点A单元体的应力状态，已知τ=30MPa,求主应力值，并确定主平面位置。应力状态分析

例9-5

简支梁中一单元体如图示，用图解法求主应力值和主平面位置。40100应力状态分析FAsOtD'DC-10040NM-1141470.7o19.3os3s1由单元体可作出图示应力圆由应力圆可得主应力：主平面位置及主应力如图解析法计算主应力主平面位置例

9-6试求图示单元体上斜截面上的应力；sOtC应力状态分析应力圆为点圆由于应力圆为点圆，故任意斜截面上切应力均为0，正应力均等于主应力，即此应力状态称为各向同性应力5.图算法利用应力圆的几何关系求解三向应力状态应力圆：

①平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；

②平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；

③平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；

④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。9.3.1概述2.三向应力状态下的最大切应力

tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。9.3

三向应力状态简介应力状态分析9.3.2最大正应力和最大切应力1.三向应力状态下的最大最小正应力s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2例试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：①给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPaxzyxzy90300150140Asy=140txy=150sx=300A视s2y'31o31os1x's3④主应力方位：最大切应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。⑤单元体内的最大切应力：40253550505545求图示单元体的主应力及主平面应力状态分析sxsytxsxszsytxxyzEOABCDst应力状态分析

例图示应力状态，sx=80MPa，sy=20MPa，sz=-40MPa，tx=35MPa，试画出三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。解：1、画三向应力圆由sx、sy、tx作应力圆确定C、D二点由sz确定E点，作三向应力圆2.主应力与最大应力主应力最大正应力最大切应力9.4.1三向应力状态下的应力、应变关系1.有关概念：

①主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示；

②正应力只引起线应变，切应力只引起剪应变；2.广义虎克定律：①推导方法：叠加原理②主应变与主应力关系：③一般情况：9.4

广义虎克定律应力状态分析s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：IIIs3应力状态分析④用应变表示应力：上式中：

例图示应力状态，试求a=45o方位的正应变。知弹性模量E=70GPa，泊松比μ=0.33。503045o45o45os45os135o解：45o与135o斜截面上的正应力分别为45o斜截面上的正应变为应力状态分析例图示槽形刚体内放置一边长为a=10mm的正方形钢块，钢块顶受合力F=8kN的均布压力作用。试求钢块的三个主应力，知弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3.应力状态分析解:钢块受顶面压力sy及侧向压力sx，且εx=0其主应力s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1IIIs39.4.2体积应变六面体原各边长分别为a、b、c。变形后体积为单位体积改变（体积应变）应力状态分析s1s2例9-7图示二向应力，已知试求ε3应力状态分析FDlxynOCx应力状态分析例9-8图示钢杆，直径D，弹性模量E，泊松系数μ，60°方向的正应变为ε60°。求载荷F。解：（1）取出图示单元体，为单向应力状态（2）作应力圆（3）斜截面上应力（4）由广义胡克定律得（5）代入并化简得FAA例

图示钢梁加载后A点处线应变为εx=0.0004，εy=-0.00012，拉压弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3，试求正应力σx和σy。A点为单向拉应力状态应力状态分析1.简单应力状态下强度条件可由实验确定

2.一般应力状态下，材料的失效方式不仅与材料性质有关，且与其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关；

3.复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定(不可能针对每一种应力状态做无数次实验)；4.强度准则：①金属材料的强度失效分为：屈服与断裂；②强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说

(假说—实践—理论)；③通过强度准则，利用单向拉伸实验结果建立各种应力状态下的失效判据和相应的设计准则。9.5四个基本强度理论及莫尔强度理论两类强度理论：

1.第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志）

2.第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志）最大拉应力强度理论最大拉应变强度理论最大切应力强度理论歪形能强度理论9.5.1强度理论的概念准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大拉应力s1达到某个共同极限值sb。1.断裂原因：最大拉应力s1（与应力状态无关）3.强度条件：

2.破坏条件：1、第一强度理论（最大拉应力强度理论）

4.应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；但未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。9.5.2基本强度理论强度理论2、第二强度理论（最大拉应变强度理论）准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大伸长线应变e1达到某个共同极限值eju。1.断裂原因：最大伸长线应变e1（与应力状态无关）；

3.强度条件：

2.破坏条件：

4.应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。

强度理论例某灰铸铁危险点应力如图。许用应力[st]=30MPa，试校核强度。10MPa15MPa20MPa主应力按最大拉应力强度理论校核强度符合要求