第4章正弦交流电路-e

4.1

正弦交流电的基本概念4.2正弦量的相量表示法4.3电阻元件的正弦响应4.4电感元件的正弦响应

内容4.5电容元件的正弦响应

4.6电阻、电感与电容串联电路的正弦响应4.7正弦交流电路的响应4.8功率因数的提高4.9交流电路的频域分析

理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值理解电路基本定律的相量形式和复阻抗掌握有功功率和功率因数的计算

重点了解交流电路的频率特性掌握正弦交流电的各种表示方法及其相互转换

如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。正弦交流电的优越性：便于传输；便于运算；有利于电器设备的运行；

.....

电路中凡随时间按正弦规律周期性变化的电压、电流等均称为正弦量，如图中电流，数学表达式为，波形如图。iuR4.1.1正弦量4.1

正弦交流电的基本概念4.1.2正弦量的三要素

：幅值（最大值）：反映大小：角频率：反映变化快慢：初相角：反映位置/进程（t＝0时）三要素1·

反映大小的物理量：瞬时值、幅值、有效值

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用的交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。瞬时值某一瞬时的值称为瞬时值，电量用小写斜体字母表示，如i、u、e等幅值正弦量的最大值，电量用大写字母加下标m，如Um、Im、Em等则有（均方根值）可得当时，交流直流热效应相当电量必须大写如：U、I有效值有效值概念同理：问题与讨论

电器～220V最高耐压=300V

若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上?

该电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值U=220V最大值Um

=220V=311V电源电压

描述变化周期的几种方法周期T：变化一周所需的时间单位：秒，毫秒..角频率ω：每秒变化的弧度单位：弧度/秒频率f：每秒变化的次数单位：赫兹，千赫兹...iT2·

反映变化快慢的物理量：周期、频率、角频率*电网频率（工频）：中国50Hz

美国、日本60Hz小常识*收音机中波段频率：530-1600kHz*收音机短波段频率：

2.3-23

MHz3·

反映变化进程的物理量：相位、初相位、相位差：t=0

时的相位，称为初相位或初相角。i：正弦波i在t时刻的相位角或相位

它给出了观察正弦波的起点或参考点，有正有负，取值范围：ωtiu如：若称电压超前电流，或电流滞后电压相位差：两个同频率的正弦量在任意时刻的相位之差。ωtuiuiO两个同频率正弦量的相位差即初相位之差，不随时间变化。相位差用来描述同频率正弦量的相位关系：电流超前电压电压与电流同相

电压滞后电流

电压与电流反相uiωtuiOωtuiuiOuiωtuiOuiωtui90°O电流超前电压(2)不同频率的正弦量比较无意义。

(1)两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:tO

三相交流电路：三相电压初相位各差120。t幅值：已知：频率：初相位：那么：举例可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。如：幅度、相位变化频率不变可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。如：结论:

因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。幅度、相位变化频率不变4.2正弦量的相量表示法瞬时值表达式相量必须小写前两种不便于运算，所以引入相量表示法。波形图i

正弦波的表示方法：重点+j+1Abar0复数表示形式（4种）设A为复数:(1)

代数式A=a+jb(3)

三角式由欧拉公式得:复数知识(4)指数式

(2)极坐标式复数的模复数的辐角式中:

令一直角坐标系的横轴表示复数的实部，称为实轴，以+1为单位；纵轴表示虚部，称为虚轴，以+j为单位。3.相量符号包含幅度与相位信息。有效值1.描述正弦量的有向线段称为相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：最大值相量的书写方式2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：设正弦量:相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角1.相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:=如：已知则2.正弦量和相量一一对应。

落后于超前滞后？正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示

相位：幅度：相量大小设：同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例2：同频率正弦波相加--平行四边形法则注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。

正弦量复数表示相量3.相量：实质就是用复数表示正弦量解：例1:已知瞬时值，求相量。已知:求：

i

、u

的相量220100AV求：例2：已知相量，求瞬时值。

已知两个频率都为1000Hz的正弦电流其相量形式为：解：例3.P85例4-3提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：小结：正弦量的四种表示法波形图表达式相量图相量表示Ti复数、相量

---大写+“.”符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I最大值

---大写+下标？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45•？最大值？？负号2.已知：4.已知：相量的运算1.加、减运算（用代数形式）设：则：几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。2.乘法运算（极坐标形式或指数形式）设：则：设：任一相量则：90°旋转因子。+j逆时针转90°，-j顺时针转90°说明：3.除法运算（极坐标形式或指数形式）设：则：有效值I=16.8A求：例:4.3.1伏安关系uiR根据欧姆定律

设则4.3电阻元件的正弦响应1.频率相同2.相位相同3.有效值关系：电阻电路中电流、电压的关系4.相量关系：设

则或4.3.2功率关系(1)

瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写结论:

（耗能元件）,且随时间变化。piωtuOωtpOiu瞬时功率在一个周期内的平均值

大写(2)

平均功率(有功功率)P单位:瓦（W）PRu+_ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。有效值4.4电感元件的正弦响应

基本关系式：iuL设则4.4.1伏安关系电感电路中电流、电压的关系1.频率相同2.相位相差90°

（u

超前i90

°）iu设：交流：fXL或则:

感抗(Ω)电感L具有通直阻交的作用直流：

f=0,XL=0，电感L视为短路定义：3.有效值:O可得相量式：电感电路复数形式的欧姆定律相量图超前根据：则：4.相量关系电感电路中相量形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息超前4.4.2

功率关系(1)

瞬时功率(2)

平均功率L是非耗能元件储能p<0+p>0分析：瞬时功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能电感L是储能元件iuopo结论：

纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)可逆的能量转换过程用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表示，即单位：var(3)无功功率Q瞬时功率：

例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源

f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当

f=50Hz时（2）当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高频的特性练习题：1.一只L=20mH的电感线圈，通以的电流求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u;(3)有功功率和无功功率。基本关系式:设：4.5电容元件的正弦响应uiC则：4.5.1伏安关系1.频率相同2.相位相差90°（u落后i90°

）电容电路中电流、电压的关系iu或则:

容抗（Ω）定义：3.有效值所以电容C具有隔直通交的作用

XC直流：XC，电容C视为开路交流：fO可得相量式则：电容电路中复数形式的欧姆定律相量图超前由：4.相量关系电容电路中相量形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息超前4.5.2

功率关系(1)瞬时功率uiC+_

(2)平均功率

Ｐ由C是非耗能元件瞬时功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电po所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。uiou,i瞬时功率达到的最大值，表征能量交换的规模。3.无功功率Q:Q

的单位：乏、千乏(var、kvar)指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？在电感电路中：在电容电路中：【练习】在电阻电路中：已知：C＝1μF求：I

、i例uiC解：电流有效值求电容电路中的电流瞬时值i超前于u90°电流有效值1.单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u超前i90°u落后i90°00基本关系小结2.单一参数电路相量形式的欧姆定律

电阻电路电感电路电容电路相量形式的欧姆定律简单电路的分析计算，如课本P102例4.5.1的LC并联电路并联电路*电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、基尔霍夫电压定律RL串联电路4.6电阻、电感与电容串联电路的正弦响应若则4.6.1各电压之间的关系：uRLCi(1)

瞬时值表达式(2)相量模型设（参考相量）则RjXL-jXC+_+_+_+_1)相量式相量方程式：XL

>

XC参考相量2)相量图XL

>

XC电压三角形：由组成电压超前电流的角度或电压与电流的相位差角，其正负反映电压与电流的相位关系电压U的有功分量，或有功电压电压U的无功分量，或无功电压RjXL-jXC+_+_+_+_UX总电压与总电流的关系式RLC4.6.2伏安关系：设（参考相量）令则称为相量形式的欧姆定律或端口伏安关系或Z在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。

是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。

Z说明：RLCZ：复数阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗关于复数阻抗Z

的讨论由相量形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差,称为阻抗角。（１）Z和总电流、总电压的关系（２）

Z

和电路性质的关系阻抗角电路参数与电路性质的关系：当XL>XC时，

>0，u超前i

呈电感性当XL<XC

时，

<0

，u

滞后

i

呈电容性当

XL=XC

时，=0

，u、

i同相

呈电阻性

由电路参数决定。RLC假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！

当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。

一定时电路性质由参数决定（３）阻抗（Z）三角形阻抗三角形（４）阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似电阻消耗的电能4.6.3功率关系1.瞬时功率p：2.平均功率

P

（有功功率）：uRLCi电感、电容不消耗功率总电压总电流u与i

的相位差角有功功率P与总电压U、总电流I间的关系：-----功率因数，用来衡量对电源的利用程度其中：-----功率因数角

在R、L、C串联的电路中，储能元件L、C

虽然不消耗能量，但存在能量交换，交换的规模用无功功率来表示。其大小为：3.无功功率Q：只有电感与电容和电源进行能量交换，且二者方向相反，总无功为二者之差4.视在功率S：

电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安（VA)、千伏安(KVA)PQS注：S＝UI

具有功率形式，可用来衡量发电机或变压器可能提供的最大功率（额定电压×额定电流），称为电力设备的容量

视在功率5.功率三角形：无功功率有功功率电压三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLC3个三角形相似

以上是感性电路的情况，试画容性的相量图及各三角形(

<0容性)XL

<

XC练习：例题：课本P94例4-5、例4-6正误判断？？？？在RLC串联电路中，？？？？？？？？？设正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？除RLC串联电路外，RL及RC电路也是常遇到的电路模型，这两种电路可以看成是RLC串联电路的特殊形式。电路RL串联电路RC串联电路RLC串联电路瞬时值关系有效值关系相位关系相量关系4.7.1复阻抗的串联与并联4.7正弦交流电路的响应

串联Z1Z2Z即两个复阻抗串联等效为N个复阻抗串联,则有但一般情况下：4.7.1复阻抗的串联与并联

串联Z1Z2Z即两个复阻抗串联等效为N个复阻抗串联,则有例：P96例4-74.7正弦交流电路的响应Z1Z2

并联Z即两个复阻抗并联等效为N个复阻抗并联,则有但一般情况下复阻抗的模之间不存在这种关系？Z1Z2

并联Z即两个复阻抗并联等效为N个复阻抗并联,则有例：P97例4-8无源单口网络的伏安关系无源二端网络无源二端网络如图，其内部复阻抗总可以根据串并联关系等效为一个复阻抗Z，对于该端口则即为该端口的伏安关系，或相量形式的欧姆定律，例如前面的RLC电路。已知其中任两个可求得第三个量。求解无源单口网络的功率一般有两种方法：方法一：由部分到整体求出网络内各元件上的有功功率和无功功率，然后求和。（注意：求和时感性无功应与容性无功相减得总无功）即4.7.2正弦交流电路中的功率方法二：归一法将无源二端网络等效为一个复阻抗Z，设端口电压和电流分别为则：

例题：课本P98例4-9

在图4.7-4所示的电路中，已知试求：（1）⑵P、Q、S例1解：（1）整个电路的等效复阻抗Z为Ω（类似P98例4-10）⑵P=UIcosφ=100×18.02×cos27.49º=1598.3W

Q=UIsinφ=100×18.02×sin27.49º=831.78VarS=UI=100×18.02=1802VA或P=ΣP=3×18.022+3×14.422≈1598.3W

Q=QL-QC=4×18.022-4×10.812≈831.78VarS=VA该例是正弦交流电路的一种题型：

已知参数求变量另一种题型见例2：

已知变量求参数例2在如图（a）所示电路中，已知总电压U=100V，I1=I2=10A，且和同相求电流I和各元件参数R、L、C的值（电源的频率为工频）。解：方法1：由于电阻和电容并联，所以UR=UC，又已知I1=I2，所以R=XC。若设A，则

所以：I=14.14A该电路的复阻抗：（P99例4-11）和同相，所以复阻抗的虚部为零，即

R=14.14ΩXC=R=14.14Ω

方法2：借助于相量图分析。选取并联部分电压为参考相量，再画出其他的相量，然后通过几何关系分析，如图（b）所示。

借助相量图分析时要选择合适的参考相量。1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图复杂交流电路的计算方法3、用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式X+-的意义：电压与电流的相位差角，阻抗的辐角。本质:电路中发生能量互换,出现无功功率4.8功率因数的提高关于功率因数的讨论，衡量对电源的利用程度。功率因数：COS由负载性质决定。纯电阻负载：感性或容性负载：4.8.1提高功率因数的意义：

所以：提高功率因数可以有效降低输电线的耗能1.从输电线路上耗能看：当P、U一定时，COS越高，输电线路上电流I越小,从而线路上耗能越小2.从电源设备的利用率看：因此提高功率因数能提高电源设备的利用率例如交流电源（如变压器）的额定容量为：而电源带负载时提供的有功功率为：（40W日光灯）,625只（40W白炽灯）,1250只另一方面，当负载所需功率P一定时，提高功率因数能降低对电源设备容量的要求，例如

需20KVA的电源

需15KVA的电源纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载

日光灯

电路常用电路的功率因数

供电局一般要求用户的

，否则造成电网污染，要受处罚。

提高功率因数的原则：

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。4.8.2提高功率因数的方法:C一般工业负载多为感性负载，并联电容C所以RL利用容性的无功补偿感性的无功。4.8.3并联电容器容量的计算RLC

设原电路的功率因数为cosL，要求补偿到cos须并联多大电容C？（设U、P

为已知）功率因数得到提高分析依据：补偿前后P、U不变。由相量图可知：iuRLCIC也可在功率三角形中求解,如图QCQLQPS呈电容性。呈电感性问题与讨论

功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况:功率因数补偿问题（一）呈电阻性结论：在角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。感性（较小）容性（较大）C

较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？

一般情况下很难做到完全补偿（即：）过补偿欠补偿功率因数补偿问题（二）

并联电容补偿后，总电路（R-L//C）的有功功率是否改变了？问题与讨论R

因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。<<通过计算及功率三角形可知总有功功率不变。I、其中

那么负载及电源的无功功率有无变化，怎么变化？功率因数补偿问题（三）提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？串电容行否补偿前RL补偿后RLC问题与讨论

串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到1，但不可以这样做！原因是：在外加电压不变的情况下，负载得不到所需的额定工作电压。而原则是：负载的工作状态不能改变，即电压、电流和功率不能改变。功率因数补偿问题（四）并联电容后，提高了负载的功率因数？问题与讨论并联电容后，是整个电路（如图）的功率因数得到了提高因为负载本身参数（R和L）没有变，所以负载本身的功率因数也没有改变！哪里的功率因数改变（提高）了？CuiRL⑵cosφ=0.8时的电流及视在功率分别为

说明：变压器输出的有功功率不变，但提高功率因数后输出电流降低，变压器未满载（欠载），还可以对更多的用户供电。由此可见，提高功率因数具有重大的经济效益。

某变压器的额定容量为60KVA，出线端的额定电压为230V，额定电流为261A，⑴满载运行时，若cosφ=0.5，求有功功率及无功功率；⑵若供给的有功功率不变，功率因数提高到cosφ=0.8，求输出的实际电流，并说明其意义。

例：

解：⑴满载时的有功功率及无功功率分别为

P=SNcosφ=60VA×0.5=30kW

SX=UNI=230×163A=37.5KVA<SN（类似课本P104例4-15）

当电路参数不变、激励信号的幅值也不变时，响应量随激励信号频率的变化情况，就是频率响应或称频率特性。容抗、感抗、复阻抗与频率ω的关系在交流电路中，除电阻外，感抗和容抗都与频率有关4.9交流电路的频域分析感抗容抗复阻抗正弦传递函数H（j):无源双口网络4.9.1RC电路的频域特性双口网络的传递函数：滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。1.低通滤波器---幅频特性：输出与输入的有效值之比与频率的关系。其中：相频特性：输出与输入相位差与频率的关系。---相频特性10幅频特性0~：通频带：截止角频率时当时当相应地，：截止频率时，信号通过网络传递到输出端当时，信号不能通过网络，衰减很多当所以称为低通滤波器该网络的低通特性也可以通过XC

和R的特性

定性分析

2.高通滤波器滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。幅频特性相频特性10.7070000相应地，：截止频率时，信号不能通过网络，衰减很多当时，信号能通过网络传递到输出端当所以称为高通滤波器该网络的高通特性也可以通过XC

和R的特性

定性分析三、带通滤波器RRRCRC令：则：幅频特性通频带：000120设：

含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于1，即：u、i

同相，电路呈纯电阻性，便称此电路处于谐振状态。谐振串联谐振：并联谐振：谐振的概念4.9.2交流电路的谐振