车辆随机振动(下)讲课教案

车辆随机振动(下)一、什么是频域用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，这个静止的世界就叫做频域。将以上两图简化：时域：频域：你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶公式---任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（FourierSerie）和傅里叶变换(FourierTransformation)。二、傅里叶级数(FourierSeries)的频谱用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形。随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。

一个复杂的信号可以分解成不同频率的正弦信号，反之亦然。在信号研究和处理中采用分解过程比合成更多一些。一个复杂的振动信号，可以看成是由许多简谐分量叠加而成；那许多简谐分量及其各自的振幅、频率和初相，就叫做那复杂振动的频谱。把第一个频率最低的频率分量看作“1”，基频。信号的合成和分解狄利克莱（Dirichlet)条件不是所有的信号都可以分解（哪怕无限多个）简谐振动。数学上确立了确切的条件，狄利克莱（Dirichlet)条件，任意一个区段内，1)信号f(t)除有限个间断点外都连续，2)仅有有限个极大和极小值。这是傅里叶级数展开的充分必要条件。

能分解的振动曲线不能分解的振动曲线时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

频谱的表示讨论周期函数（设自变量是时间t）的付立叶展开。所谓周期函数，就是满足下列条件的函数：

n=0，士1，士2，……T是常量，单位为秒，是物理量u的振动（视）周期。周期函数是无始无终的，它的变化情况，可以用一个周期内的变化情况来完全地反映。付立叶分析理论，满足狄利克莱条件的任意周期函数，都可以展成付立叶级数，也就是展成许多谐振动函数的和。

谐振动函数表示同一个谐振动，可以用形式不同的函数来表示。式中A、ω和α分别是振幅、圆频率和初相位。如果按三角学公式将上式展开，又可以写成其中是两个常量。上式实际上是两个初相为零的谐振动的叠加，a、b是它们的振幅。谐振动函数欧拉表示如果引用复数，用欧拉（Euler）公式得到式中为振动函数u1(t)的基频，基频的倍数nω称泛频欧拉式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。一个复杂信号u（t）的傅立叶级数也有三种表示方法，三种开展式且完全等效。注意系数Cn一般是复数

傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。

周期信号只有在基频的整数倍处才存在Cn

频谱的图示

周期函数的分立谱(离散谱)注意：图中横坐标是用基频的整数倍表示。频谱分析当当幅值为零时第一次幅值为零时当谱线加密，成为连续谱。5.2傅里叶变换及其性质5.2.1傅里叶变换的引入傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号（傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换）当信号周期无限大时，基频变得无限小，离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……

5.2傅里叶变换及其性质5.2.1傅里叶变换原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。5.2.2傅立叶变换傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱）,可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;。。。。。。。。。。。。上面两式分别为傅立叶变换和傅立叶逆变换。在频谱分析中,傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F()|称为f

(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数f(t)作傅氏变换,就是求这个时间函数f(t)的频谱.5.2.3傅立叶变换的基本性质对称性和叠加性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性和频移特性微分和积分特性卷积一、对称性若已知则证明：若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称

直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子FT对称性

t换成

换成二、线性（叠加性）若则

三、奇偶虚实性无论f(t)是实函数还是复函数，下面均成立时域反摺频域也反摺实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数f(t)0t0四、尺度变换特性若则时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)压缩扩展五、时移特性若则证明：带有尺度变换的时移特性若a<0,则有绝对值例：求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为六、频移特性若则证明同理调幅信号的频谱（载波技术）求：的频谱？载波频率

频移特性调幅信号都可看成乘积信号矩形调幅指数衰减振荡三角调幅七、微分特性若则八、积分特性一若则八、积分特性（二）若则积分特性的证明令两边求导FT微分特性FT积分特性时域卷积定理若则例：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积卷乘卷乘频域卷积定理若则例：求余弦脉冲的频谱相乘卷积乘FTFT卷卷积利用卷积证明例2求的傅氏变换。性质利用卷积公式来证明积分公式：证明：设则5.3典型信号的傅立叶变换实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。tf

(t)2.2

单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一个称为狄拉克(Dirac)函数,简单记成d-函数:有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.de(t)1/eeO（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1d-函数有性质：可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.证法2：若F(w)=2pd

(w),

由傅氏逆变换可得例1证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证法1：由上面两个函数的变换可得例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,象原函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例4求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。pp-w0w0Ow|F(w)|t例5证明：证：简单回顾1付氏变换设非随机信号x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)

满足在范围内满足狄利赫利条件

绝对可积，即

有限个极值有限个断点断点为有限值5.5功率谱密度函数（PSD）则的傅里叶变换存在，即

称为的反变换，即

称为的频谱(密度)包含：振幅谱相位谱

随机过程由于持续期为无限长，所以它的傅里叶变换不存在。但是，样本的功率却是有限的，即有因此，研究随机过程的功率谱是有意义的。称为时的平均功率。确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。

1.维纳—辛钦定理

若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：傅里叶变换5.5.1自相关函数及其傅里叶变换具有单位频率下功率的量纲，因此称为功率谱密度函数。显然，若自相关函数在τ＝0处表示信号的“功率”，则式中SX(ω)的量纲为“功率”/频率单位，代表单位频带上所具有的功率。上两式通常叫做维纳—辛钦关系式。若令式中τ=0，则可得自相关函数的傅里叶变换对为SX(ω)是ω的函数，表征信号本身“功率”按频率的分布情况。故定义SX(ω)为自功率谱密度函数(简称自功率谱或自谱)。

两个结论：

1若过程为广义平稳平稳2表示平均功率例：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。

解：（3.1.17）例：平稳随机过程的自相关函数为，A>0，，求过程的功率谱密度。

解：应将积分按＋和－分成两部分进行

例：设为随机相位随机过程其中，为实常数为随机相位，在均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为求的功率谱密度。解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。

上式表示的功率集中在处，功率谱密度为在处的函数。O例：设随机过程,其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机过程。求过程的功率谱密度。

解：

下表给出了平稳随机过程、自相关函数和功率谱密度之间的对应关系。这些关系的证明可根据维纳—辛钦定理及傅里叶变换的初等性质得到。右表列出了几种常见的自相关函数及其所对应的功率谱密度。求自相关函数所对应谱密度解

所要求的谱密度为相应的谱密度如图所示:此图说明了谱密度是如何表明噪声以外的周期信号的.已知谱密度求平稳过程X(t)的自相关函数和均方值.解由公式知自相关函数利用留数定理,可算得均方值为说明有理谱密度方法25.5.2功率谱密度函数性质（1）是偶函数。（2）是非负函数。（3）（4）证明：5.6窄带与宽带随机过程（1）了解何为窄带、宽带随机过程？（2）何为白噪声？（3）能计算几种典型信号的相关函数、功率谱密度。5.7互功率谱密度和想干函数（自学）5.6窄带与宽带随机过程由于自功率谱密度函数Sxx(f)（或Gxx(f)）反映了平稳随机过程的平均能量随频率分布的特性，可以根据它分类一些典型平稳随机振动过程，以便把握它们的本质特征。1)窄带平稳过程典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图(a)，(b)和（c）。谱带宽相比于它的中心频率wc大概要小一个数量级。谱分量主要集中在中心频率附近，说明振动能量主要在wc附近。图(a)窄带过程单边谱(b)相关函数Rx(t)(c)时域样本函数x(t)一般随机振动经过缓冲系统后，响应往往是窄带随机振动。例如汽车在凹凸不平的道路上行驶时，车身的振动即为窄带随机振动。这是因为汽车具有缓冲系统，只有车身部件的固有频率附近频带的振动才能传至车身，使车身在比较窄的频带范围振动。

观察窄带随机振动的时域历程曲线可以发现，它的峰值变化是随机的，但却近似地具有周期性，好像是峰值随时间随机变化的正弦振动，所以有时也称它为准正弦振动。

2)宽带平稳过程宽带平稳过程的谱带宽分布于较宽的范围，带宽与中心频率相比是同数量级的，或更大。其典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图。

图(a)宽带过程单边谱(b)相关函数Rx(t)(c)时域样本函数x(t)3)理想白噪声过程白噪声过程是宽带平稳过程的极限特例。对此过程有Sxx(f)=So(或Gxx(f)=2So)，So为常数。谱密度在整个频率轴(－∞,＋∞)上均匀分布，即频带宽达整个频率轴。白噪声过程的自相关函数为Rxx(t)=2pS0d(t)，是集中在t=0处强度为2pSo的脉冲函数。而t=0处等于无穷大，t≠0处都等于零的d函数性质说明白噪声过程“自己”与“自己”的相关性为无穷大，任何不是“自己”的两点间的相关性为零。由于能量被要求均匀分布于整个频率轴，白噪声过程的均方值为sxx2=E[x2(t)]=Rxx(0)=∞。这要求其平均能量为无穷大，这在物理上是不可实现的。因此理想白噪声只有理论上的意义。在某一有限频带内有常数谱密度So的有限带宽白噪声过程物理上是可能实现；如果该有限频带带宽“相对”较大，可以一定程度上视为理想白噪声过程。

第六章线性系统动态特性任何振动系统都有输入，输出和系统特性三个部分．系统的输入输出对于工程实际对象而言又可称为系统的激励和响应．激励指外界干扰或初始干扰，响应是系统在输入作用下的输出．振动研究的主要问题之一是分析系统在激励作用下的响应．分析系统的响应首先要掌握系统动态特性，而线性系统是最基本的系统，因此我们开始学习线性系统动态特性．§6-1随机振动的分类1.按自由度分（１）单自由度(SDOF)（２）多自由度(MDOF)２.按统计特性分（１）平稳随机振动：统计特征与时间无关．（２）非平稳随机振动：统计特征与时间有关．如车辆匀速行驶的振动．如发动机加速的振动，地震波．３.按系统本身特性分（１）线性随机振动（２）非线性随机振动§6-２频率响应函数对于任一线性系统，如图所示．系统的时域输入，输出为和，系统的频域输入，输出为和．当时，，振幅相位发生变化，系统输出的变化由系统动态特性决定．要同时描述系统的输入，输出振幅和相位的变化只能引入复数．而频率响应函数恰恰是为此而提出的．在一般情况下，频率响应函数是一个复数，记为为幅频特性，为相频特性．频率响应函数是用频率描述系统动态特性的函数，即反映系统输入，输出之间振幅和相位的变化．例:求单质量车辆振动系统的幅频特性．解：振动微分方程为是系统本身固有的特性．如图：当时，，是静态特性；当时，系统共振，最大．令§6-３脉冲响应函数及其频率响应函数关系6-３.１脉冲响应函数脉冲响应函数是系统在单位脉冲作用下的响应，即当时，．6-３.２单自由度有阻尼系统的脉冲响应函数振动微分方程为表明，的强迫振动相当于具有初始条件的自由振动．初始条件为：令，，，则由，，得于是，有6-３.３脉冲响应函数与频率响应函数的关系根据傅立叶变换可知：当时，，，因此．于是有§6-４系统在任意输入下的响应当系统在任意输入作用下时，系统的响应不能直接求解，需要把任意函数看成一系列脉冲的叠加．系统的任意输入令，则该式为系统在任意输入下的响应．该式表明：若已知系统的脉冲响应函数，则脉冲响应函数与系统输入的卷积即为系统的响应．6.5线性系统在随机激励下的响应设系统受到的平稳随机激励为，它的一个样本函数，引起的响应可根据Duhamel积分得到：讨论线性振动系统只受一个平稳随机激励时的情