电磁场与电磁波(第2章 电磁场的基本规律)(14-15-1)

第2章电磁场的基本规律电磁学有三大实验定律：1、库仑定律2、安培定律3、法拉第电磁感应定律以此为基础，麦克斯韦进行了归纳总结，建立了描述宏观电磁现象的规律——麦克斯韦方程组。本章讨论内容2.1电荷守恒定律2.2真空中静电场的基本规律2.3真空中恒定磁场的基本规律2.4媒质的电磁特性2.5电磁感应定律和位移电流2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边界条件2.1电荷守恒定律本节讨论的内容：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律。电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。源量为电荷和电流，分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。电荷电场运动电流磁场电场2.1.1电荷与电荷密度电荷的最小量度是单个电子的电量：e=-1.60×10-19C（库仑）从微观上看，电荷在空间是离散分布的。换句话说，e是最小的电荷，而任何带电粒子所带的电荷都是e的整数倍。宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷。单位：库仑/米3(C/m3)

根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为：

1、电荷体密度

电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布

2、电荷面密度

电荷分布在薄层上。

当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。

单位为：C/m2

如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q为：电荷分布在细线上的情况。当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。

线分布的电荷可用电荷线密度表示。单位为：C/m如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q为3、电荷线密度

总电量为q的电荷集中在很小区域V的情况。当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度，小体积V中的电荷可看作位于该区域中心、电量为q的点电荷。

q4、点电荷2.1.3电荷守恒定律（电流连续性方程）表示单位时间从封闭面S内流出的电荷量电流连续性方程：积分形式：微分形式：对于恒定电流，流出封闭面的电流等于体积内单位时间所减少的电量。恒定电流是无源场散度定理2.2真空中静电场的基本规律本节讨论的内容：库仑定律，电场强度，静电场的散度与旋度。2.2.2静电场的散度与旋度1、静电场的高斯定理和散度静电场的高斯定理：高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。散度定理2、静电场的旋度静电场环路定理：环路定理表明：（1）静电场是无旋场，是保守场，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路，电场力做功与路径无关；（2）虽然空间中电场的旋度处处为零，但电场却可能存在，二者没有必然的联系。2.3真空中恒定磁场的基本规律2.3.2恒定磁场的散度与旋度1、恒定磁场的磁通连续性原理和散度磁通连续性原理：磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和终点的闭合曲线。2、恒定磁场的安培环路定理和旋度安培环路定理：恒定磁场的散度和旋度表明：（1）空间任意点磁场的旋度只与该点的电流密度有关；（2）恒定电流是静磁场的旋涡源，电流激发旋涡状的静磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向；（3）磁场旋度与磁场是不同的物理量，它们的取值没有必然联系。没有电流的地方，磁场旋度为零，但磁场不一定为零。恒定磁场的性质：（1）无源（无散）场。磁力线无头无尾且不相交。（2）有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路。3、利用安培环路定理计算磁感应强度在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。2.4媒质的电磁特性电磁场理论中，一般将物质称作媒质。媒质对电磁场的响应可分为：极化、磁化和传导。描述媒质电磁特性的参数为：介电常数，磁导率和电导率。物质中和电场有作用的电荷有两类：1）在物质中可以自由移动的自由电荷。2）在物质中不可自由移动的束缚电荷电场中的物质也就分为两类：1）存在有自由电荷的导电媒质（导电体，导体）。2）无自由电荷，仅有束缚电荷的电介质（介质，绝缘体）。2.4.1电介质的极化电位移矢量1、电介质的极化现象无极分子有极分子无外加电场电介质的分子分为无极分子和有极分子。无极分子：正负电荷中心重合。有极分子：正负电荷中心不重合。没有外电场时，无极性分子的偶极矩为0，呈电中性；

对于有极性分子，由于分子热运动的无规则性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，也呈电中性。+-+-

在外电场的作用下，无极分子中的正、负电荷的中心向相反方向作一个微小的位移，而偶极矩不再为零（其方向与外场强一致）的现象称为位移极化。+-+-

在外电场的作用下，每个偶极子将由于受到力偶矩而转向，

（这个力偶矩力图使每个偶极子的偶极矩转到与场强一致的方向），因此电偶极矩不再为零。

这种变化称为取向极化。

极化：在外电场作用下，介质的电偶极矩都将由零变为非零的现象。无极分子有极分子有外加电场E2、极化强度矢量E

宏观电偶极矩分布可用电极化强度矢量来描述，它等于物理小体积ΔV内的总电偶极矩与ΔV之比，分子密度单位体积内分子电偶极矩的矢量和。极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，与电场强度矢量成正比。

3、极化电荷由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。（1）极化电荷体密度在介质内取一小体元。介质极化后，有些分子的电偶极子跨过。+-当偶极子的负电荷处于体积内时，同一偶极子的正电荷就穿出边界外边。设分子密度为n，则穿出外面的正电荷电量为则由V内通过曲面S穿出的正电荷电量为

由于介质是电中性的，这电量也等于V内净余的负电荷。（2）极化电荷面密度紧贴电介质表面取一闭合曲面，则穿过面积元的极化电荷为：电介质表面的极化电荷面密度为

在两种不同介质界面处的束缚电荷面密度为为分界面上由介质1指向介质2的法线单位矢量。

非均匀介质极化后一般在整个介质内部都出现束缚电荷；

在均匀介质内，束缚电荷只出现在自由电荷附近以及介质界面。4、电位移矢量介质中的高斯定理真空中的静电场方程：介质的极化过程包括两个方面：（1）外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；（2）极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：封闭面包含自由电荷的代数和自由电荷密度5、电介质的本构关系在线性、各向同性的电介质中，极化强度矢量与电场强度矢量成正比。极化率称为介质的介电常数称为介质的相对介电常数例2.4.2已知半径为a、介电常数为ε的介质球内的极化强度为，K为常数。求：（1）束缚体电荷密度和束缚面电荷密度，并验证球上的总束缚电荷为零。（2）介质球内自由电荷体密度和自由电荷量。

（3）球内和球外的电场强度矢量和电位。解：（1）在介质球表面：（2）2.4.2磁介质的磁化磁场强度1、磁介质的磁化

介质分子或原子内电子的运动构成分子电流。分子电流形成磁偶极子+－没有外磁场时，由于分子电流取向的无规则性，磁介质不显磁性，磁偶极矩为零。无外加磁场

在物理小体积内物质不呈现磁性。当物质放入外加的磁场中，物质中的磁偶极子受到磁场力作用发生偏转，使原来杂乱的磁偶极子的取向趋于一致，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁化。

外加磁场B

在物理小体积内2、磁化强度矢量

用磁化强度矢量表示磁化的方向和程度，它定义为物理小体积ΔV内的总磁偶极矩与ΔV之比，分子密度3、磁化电流磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。AL

设A为介质内部的一个曲面，其边界线为L。

设从A的背面流向前面的总磁化电流为IM。

若分子电流被L套着，这分子电流就对IM有贡献；

分子电流根本不通过A，

因此，通过A的总磁化电流IM等于边界线L所链环着的分子数目乘上每个分子的电流i。

沿相反方向两次穿过，所以对IM都没有贡献。所以对IM都没有贡献；

在边界线L上取一个线元dl。

设分子电流圈的面积为S。此数目乘上每个分子的电流i则为穿过曲面A的总磁化电流IM

则被边界线L链环着的分子电流数目为若分子中心位于体积为内，则该分子电流就被中心在该体积内的分子数为

在两磁介质界面上的磁化电流面密度为界面法线方向由磁介质2指向1。界面法线方向由磁介质2指向1。表示分子（磁化）电流密度：4、磁场强度介质中安培环路定理外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两者相互作用达到平衡。介质中的磁场应是所有电流源激励的结果。

真空中的磁场方程介质磁化后，称为磁场强度，单位为A/m。称为介质中安培环路定律闭合回路所包围的传导电流代数和传导电流密度恒定磁场是有旋无源场。5、磁介质的本构关系磁化强度和磁场强度之间的关系由磁介质的物理性质决定。对于线性各向同性介质，磁化强度与磁场强度之间存在简单的线性关系：介质的磁化率μ称为介质的磁导率，μr称为介质的相对磁导率。磁介质的分类：μr＞1μr＜1μr＞＞1顺磁质抗磁质铁磁质例2.4.3半径r=a的球形磁介质的磁化强度为如图所示。zeOereza式中的A、B为常数。求磁化电流密度。解：（1）在球内：

（2）在球表面：

将坐标系中的单位矢量换成球坐标系中的单位矢量：zeOereza例2.4.4内、外半径分别为ρ1=a和ρ2=b的圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度的传导电流，如图所示。bazJ设磁介质的磁导率为。求磁化电流分布。解：在圆筒横截面上作一个半径为ρ、与圆筒轴同心的圆周。在圆周上各点磁场强度的大小相等、方向为圆周的切向，所以

（1）在ρ＜a的区域：

（2）在a＜ρ＜b的区域：

（3）在ρ＞b的区域：

（4）在介质圆筒内表面ρ＝a上：

（5）在介质圆筒的外表面ρ＝b上：2.4.3媒质的传导特性

存在可以自由移动带电粒子的物质称为导电媒质。

在外场作用下，导电媒质不将形成定向移动电流。

1、欧姆定律的微分形式

在导体中沿电场方向取一横截面积为ΔS、长为Δl的微小柱体。

2、焦耳定律的微分形式

微小圆柱体的热功率为

电场对单位体积提供的功率为：（热功率密度）2.5电磁感应定律和位移电流

电磁感应定律——揭示时变磁场产生电场。

位移电流——揭示时变电场产生磁场。

重要结论——在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。2.5.1电磁感应定律自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流。

1831年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律。

1、法拉第电磁感应定律的表述

当通过导体回路C所围面积的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电动势εin。

感应电动势的大小与穿过回路所围面积的磁通量的时间变化率成正比。

方向是感应电流产生的磁通总是要阻碍原磁通的变化，即若规定回路中感应电动势的参考方向与穿过该回路所围面积的磁通量符合右手螺旋关系，则

导体回路C中必存在感应电场

由上式可看出：

（1）感应电场是由变化的磁场所激发的电场；

（2）感应电场是有旋场；

（3）感应电场不仅存在于导体回路，也存在于导体回路之外的空间，即对空间中任意回路（不一定是导体回路）C，都有

（2）方法一：

若空间同时存在由电荷产生的电场

则总电场＝0这就是推广的法拉第电磁感应定律。

2、引起回路中磁通量变化的几种情况

（1）回路不变，磁场随时间改变变化的磁场产生涡旋的电场。变化的磁场是电场的旋度源。

（2）导体回路在恒定磁场中运动设回路C以速度v运动，在时间dt内，以回路为界的面扫过一体积V。称为动生电动势。

（3）回路在时变磁场中运动

例2.5.1长为a、宽为b的矩形环中有均匀磁场垂直穿过，如图所示。xbaoyx均匀磁场中的矩形环L

在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势：

（1）矩形环静止（可滑动导体L不存在）。

（2）矩形回路的宽边b＝常数，但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大。（3）且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。

解：（1）

（2）方法一：

方法二：

（3）2.5.2位移电流

静态时：0变化磁场中：变化的磁场可以激发电场。

问题：随时间变化的电场是否会产生磁场？恒定磁场中：时变场中：

1、全电流定律

电流连续性方程：发生矛盾

在时变场情况下不适用。

解决方法：对安培环路定理进行修正。矛盾解决时变电场会激发磁场

全电流定律：微分形式

上式两边进行面积分：积分形式

全电流定律揭示：不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。

它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。

2、位移电流密度

称为位移电流密度。

（1）电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。

（2）位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。

注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。

在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。

在一般媒质中，既有传导电流，又有位移电流。

例2.5.3海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。

解：设

例2.5.4自由空间的磁场强度为k为常数。试求位移电流密度和电场强度。

解：自由空间的传导电流密度为0。2.6麦克斯韦方程组全电流安培环路定律法拉第电磁感应定律电场高斯定理磁通连续性原理变化的电场产生磁场，全电流是磁场的旋度源变化的磁场产生电场，是电场的旋度源电荷是电场的散度源磁场是无散场，磁力线总是闭合的？？？？？？？？微分形式积分形式电流连续性方程：媒质的本构关系：（1）时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。（2）时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体—电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。（3）在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。（4）在无源空间中，两个旋度方程分别为：可以看出两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。例2.6.1正弦交流电压源u=Umsinωt连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。CPricu平行板电容器与交流电压源相接（1）证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；（2）求导线附近距离连接导线为r处的磁场强度。解：（1）导线中的传导电流为设电容器两板距离为d、面积为S0、板间介质的介电常数为ε，则容量C为忽略边缘效应，间距为d的两平行板间的电场为（2）以r为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场大小相等，故例2.6.2在无源的电介质中，若已知矢量在什么条件下，才可能是电磁场的电场强度矢量？求出与相应的其它场矢量。解：只有满足麦克斯韦方程组的矢量才可能是电磁场的场矢量。因此，利用麦克斯韦方程组确定可能是电磁场的电场强度矢量的条件。以上各场量都应满足麦克斯韦方程。无源空间：可见，只有满足条件矢量以及与之相应的才可能是无源电介质中的电磁场的场矢量。2.7电磁场的边界条件1、什么是电磁场的边界条件？2、为什么要研究边界条件？3、如何讨论边界条件？答1：实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。答2：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。