微分中值定理与导数的应用习题

第三章习题课微分中值定理与导数的应用一、有关中值问题的题类二、有关不定式极限的题类三、关于不等式的证明四、关于泰勒公式应用的题类五、关于函数性态的题类六、关于讨论方程根的题类洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用主要内容

【常用函数的麦克劳林公式】一、有关“中值”问题的题类【常用定理】1.罗尔定理；2.拉氏定理；3.柯西定理；4.泰勒公式【方法与技巧】由导数信息反馈得到函数的信息，掌握构造辅助函数的技巧和进行逻辑推理的能力.【例1】设函数f(x)可导，证明在f(x)的两个零点之间必有f(x)+xf(x)的零点.【分析】由于只涉及一阶导数，则想到先用罗尔定理或拉氏定理（分式情形考虑柯西定理）观察可知，辅助函数取为F(x)=xf(x)【证明】设a,b为f(x)的两个零点(a<b)，令F(x)=xf(x)F(x)在[a,b]上可导，且F(a)=af(a)=0,F(b)=bf(b)=0由罗尔定理知：存在ξ∈(a,b)使F(ξ)=f(ξ)+ξf

(ξ)=0【证完】【练习】2.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且证明：在(0,1)内存在一点ξ，使f(ξ)=1【分析】辅助函数F(x)=f(x)－x,有一个零点,需找另一个零点.【证明】令F(x)=f(x)－x，

连续、可导零点定理由罗尔定理，即f(ξ)=1【练习】【提示】二、有关不定式极限的题类1.2.【0·∞】型3.

【∞－∞】型4.

【00,1∞,∞0】

型可直接使用洛必达法则的类型——分式未定型【常见的未定式类型】不能直接用洛必达法则【例1】求极限【解】上式【例2】求极限【解】上式抓大头等价无穷小代换用洛必达法则较繁【例3】求极限【解】上式三、关于不等式的证明【常用方法】①微分中值定理、②函数的单调性、③最值（极值）、④函数的凹凸性、⑤Taylor公式.【例1】【证】所以不等式成立.(利用最值)【证完】《高数指导》凹弧四、关于泰勒公式应用的题类1.利用常见泰勒（麦氏）公式将函数间接展开；2.求极限；3.证明等式或不等式.【例1】【分析】利用以下公式间接展开【解】因上式中x是任意的，于是【例4】试证:【证明Ⅰ】【证明Ⅱ】利用单调性：第四节已证过（略）(利用泰勒公式——麦氏展开式)即故【证完】拉格朗日型余项②二阶不可导点(x0,f(x0)):

f(x0)不存在.1.单调区间的可能分界点②一阶不可导点x0:f(x0)不存在①驻点x0:

f(x0)=0①驻点x0

:

f(x0)=0②一阶不可导点x0

:f(x0)不存在五、关于函数性态的题类【复习总结】——对连续函数来说2.可能的拐点①二阶导数为零的点(x0,f(x0)):

f(x0)=03.可能极值点4.极值的判别①第一充分条件：x0点连续，去心邻域可导②第二充分条件：驻点x0处二阶导数不为零

③极值定义【观察练习】1.设函数f(x)具有二阶导数,且f(0)=0,又满足方程f(x)+f

(x)=x,证明:f(0)是极值,并推出是极大值还是极小值.2.设函数f(x)是(-a,a)(a

>0)内具有二阶导数的偶函数,且f(x)≠0,证明x=0必为f

(x)的极值点.【例3】A.不可导;B.可导,且f(0)≠0;C.取极大值;D.取极小值【解】当x充分小时,有f(x)－f(0)与2(1－cosx)同号.故有f(x)－f(0)≥0，

f(0)为极小值.选D.【阅读与练习】A.f(0)是f(x)的极大值.B.f(0)是f(x)的极小值.C.(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.D.f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))不是曲线y=f(x)的拐点.【解】由已知得(故否C)又f(0)=0于是当x<0时,f(x)<f(0)

=0,当x>0时,f(x)>f(0)

=0,由极值的第一充分条件可知

f(0)是f(x)的极小值.故选B.由极限的局部保号性，在x=0的某空心邻域内,由题设知则(0,f(0))可能是曲线y=f(x)的拐点.驻点是可能的极值点六、关于讨论方程根的题类1.关于方程根的存