D8.1.2第二型曲线积分

§8.1.2第二型曲线积分矢量场初步例1.

例2.矢量场初步例3.

例4.变力沿曲线所作的功设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A

沿光滑曲线弧L移动到点B,

求移动过程中变力所作的功W.常力沿直线所作的功1.

第二型曲线积分的概念“大化小”“常代变”“近似求和”“取极限”解决办法:1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在3)“近似和”4)“取极限”(其中为n

个小弧段的最大长度)定义.设

L

为xOy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!例1.注：：为方向余弦2.第二型曲线积分的计算例2.解：例3.解：，取逆时针方向。，取逆时针方向。定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,*证明:

下面先证存在,且有对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证其他情形(3)对空间光滑曲线弧:类似有代将L

的参数方程代入被积函数换定限下限——起点参数值上限——终点参数值一代、二换、三定限例4.计算其中L为沿抛物线解法1

取x为参数,则从点的一段.例4.计算其中L为沿抛物线从点的一段.解法2

取y

为参数,例5.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则例6.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例7.

设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为例8.

求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系3.第一型与第二型积分的关系类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在T

上的投影为二者夹角为*例9.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连*例10.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周1.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧

:原点O

的距离成正比,思考与练习*1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:*3.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点*4.

设曲线C为曲面与曲面从ox

轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C

的参数方程;(2)计算曲线积分