浙江省瑞安阁巷中学八年级数学下册反证法

会计学1浙江省瑞安阁巷中学八年级数学下册反证法路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?小故事:第1页/共21页假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子一定会被过路人摘去解渴。那么，树上的李子不会这么多。这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的所以，李子是苦的思考:第2页/共21页

王戎的推理方法是:

假设李子不苦,

则因树在“道”边,李子早就被别人采摘,

这与“多子”产生矛盾.

所以假设不成立,李为苦李.第3页/共21页发生在身边的例子:妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的?小芳全家没外出旅游.第4页/共21页小芳全家没外出旅游.假设小芳全家外出旅游,那么今天不可能碰到小芳,与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾,所以假设不成立,所以小芳全家没有外出旅游.第5页/共21页定义:

在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。第6页/共21页例:求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.证明:假设____________,那么_________.因为已知_________,这与“____________________________________”矛盾.所以假设不成立,即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与l2不相交.l3∥l2l1∥l2

经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,第7页/共21页反证法的步骤一、提出假设二、推理论证三、得出矛盾四、结论成立第8页/共21页1、写出下列各结论的反面：（1）a//b（2）a≥0（3）b是正数（4）a⊥b(5)至多有一个（6）至少有一个a<0b是0或负数a不垂直于ba不平行b一个也没有至少有两个第9页/共21页变式训练1、“a＜b”的反面应是（）（A）a≠＞b（B）a＞b（C）a=b（D）a=b或a＞b2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？___________________________________D假设三角形中有两个或三个角是直角第10页/共21页用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°已知：如图，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角求证：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度证明假设所求证的结论不成立，即∠Ａ＿＿６０°，∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０°则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜１８０度这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假设命题＿＿＿＿＿＿，所以，所求证的结论成立．＜＜＜三角形的内角和等于１８０°不成立ＡＢＣ相信自己行，你就行！第11页/共21页试一试已知：如图，直线a,b被直线c所截，

∠1≠∠2求证：a∥b∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)这与已知的∠1≠∠2矛盾∴假设不成立证明：假设结论不成立，则a∥b∴a∥b第12页/共21页合作学习:求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.(1)你首先会选择哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?定理已知:如图，l1∥l2,l2∥l3求证：

l１∥l３

l２l１l３∵l１∥l２

,l２∥l３,则过点p就有两条直线l１、

l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.p所以假设不成立，所求证的结论成立，即l１∥l３

第13页/共21页合作学习:求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.定理(3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?已知:如图，l1∥l2,l2∥l3求证:

l1∥l3

l1l2l3lp∵l1∥l2,l2∥l3∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交）证明:作直线l交直线l2于点p，∴∠2=∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）∴l1∥l3

（同位角相等，两直线平行）213第14页/共21页定理:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.几何语言表示:∵a∥b,b∥c,∴a∥cabc第15页/共21页已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且l1∥l3,l2∥l3,求证:∠1=∠2l1l2l3l⌒⌒12证明:

∵l1∥l3,l2∥l3(已知)∴l1∥l2

(在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)学以致用:第16页/共21页常用的互为否定的表述方式：是——不是；存在——不存在平行——不平行；垂直——不垂直等于——不等于；都是——不都是大于——不大于；小于——不小于至少有一个——一个也没有至少有三个——至多有两个至少有n个——至多有(n-1)个至多有一个——至少有一个一个也没有至少有两个——第17页/共21页如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.你能用反证法证明以下命题吗？延伸拓展证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.这与____________________________矛盾；当∠B是_____时，则______________这与____________________________矛盾；综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.直角钝角直角∠B+∠C=180°三角形的三个内角和等于180°钝角∠B+∠C＞180°三角形的三个内角和等于180°当∠B是_____时，则_____________第18页/共21页归纳:宜用反证法证明的题型

（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）某些定理的逆命题；（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（4）关于“唯一性”结论的命题；（5）解决整除性问题；（6）一些不等量命题的证明；（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。第19页/共