微观经济学经典需求理论(下)

第3章经典需求理论（下）1/14/20231目录五、需求、间接效用及支出函数的关系六、可积性七、经济变化的福利评价八、显示偏好强公理1/14/20232需求、间接效用及支出函数的关系本部分分析三种关系：希克斯需求函数与支出函数之间的关系；希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数之间的关系；以及瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数之间的关系。1/14/20233需求、间接效用及支出函数的关系（续）有关假定：第一，u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的偏好关系≥。第二，≥是严格凸的，从而瓦尔拉斯需求与希克斯需求，即x(p,w)和h(p,u)都是单值的。在上述假定前提下，我们把注意力集中在p»0的情况。1/14/20234希克斯需求函数与支出函数命题3.G.1

假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的和严格凸的偏好关系≥，则对于所有的p和u，希克斯需求h(p,u)是支出函数对价格的导数的向量，即h(p,u)=▽pe(p,u)(3.G.1)也就是说，对于所有l=1,…,L，均有hl(p,u)=∂e(p,u)/∂pl。1/14/20235希克斯需求函数与支出函数（续）因此，给定一个支出函数，只需通过微分便可得到消费者的希克斯需求函数。注意，证明中的文字表明，教材上3.G.1式中，▽错写成∆了。命题3.G.1表明，如果我们处于支出最小化问题中的最优点上，则价格变化引起的需求变化对消费者的支出没有一阶影响。1/14/20236希克斯需求函数与支出函数（续二）命题3.G.2

假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的和严格凸的偏好关系≥；另外，还假定h(·,u)在(p,u)上是连续可微的，并用Dph(p,u)表示它的L×L矩阵。则有：1.Dph(p,u)=D2pe(p,u)2.Dph(p,u)是半负定矩阵。3.Dph(p,u)是对称矩阵。4.Dph(p,u)p=0。1/14/20237希克斯需求函数与支出函数（续二）命题3.G.2归纳了命题3.G.1所蕴涵的有关希克斯需求函数的价格导数Dph(p,u)的几个性质（前三项），以及有关这些导数的另外一个事实（最后一项）。1/14/20238希克斯需求函数与支出函数（续三）Dph(p,u)的半负定性是补偿需求法则即3.E.5式（(p"-p')·[h(p",u)-h(p',u)]≤0）的微分模拟。3.E.5式的微分形式是dp·dh(p,u)≤0。由于dh(p,u)=Dph(p,u)dp，通过代换得：对于所有dp，dp·Dph(p,u)dp≤0。因此，Dph(p,u)是半负定的。半负定意味着对所有l，∂hl(p,u)/∂pl≤0。也就是说，补偿的自价格效应是非正的。1/14/20239希克斯需求函数与支出函数（续四）Dph(p,u)的对称性意味着，任何两种商品l和k之间的补偿价格交叉导数必须满足∂hl(p,u)/∂pk=∂hk(p,u)/∂pl。对称性很难从直接的经济含义上加以解释。1/14/202310希克斯需求函数与支出函数（续五）如果∂hl(p,u)/∂pk≥0，两种商品l和k在(p,u)上就被定义为替代品，因为pk的变化导致了hl非反方向的变化；如果∂hl(p,u)/∂pk≤0，两种商品l和k在(p,u)上就被定义为互补品，因为pk的变化导致了hl非正方向的变化。我的疑问：如果∂hl(p,u)/∂pk=0，这两种商品l和k在(p,u)上到底是什么品？1/14/202311希克斯需求函数与支出函数（续六）半负定意味着∂hl(p,u)/∂pl≤0，最后一项性质又意味着Dph(p,u)p=0，因此，必有一种商品k使得∂hl(p,u)/∂pk≥0。换句话说，每种商品至少有一种替代品。1/14/202312希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数命题3.G.3

（斯拉茨基方程）假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的和严格凸的偏好关系≥；则对于所有(p,w)和u=v(p,w)，有：1/14/202313希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续）任给l,k，

(3.G.3)或者，等价地写成矩阵形式：Dph(p,u)=Dpx(p,w)+Dwx(p,w)x(p,w)T(3.G.4)1/14/202314希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续二）根据教材4页“数学符号”部分的说明，教材中与矩阵符号有关的规则是：数学上的向量总是被处理为列向量，尽管在书写中它们总是被写成行的形式以节省篇幅。（列）向量x的转置被记为xT。1/14/202315图3.G.1(a)商品l的瓦尔拉斯与希克斯需求函数（正常品）

1/14/202316希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续三）图3.G.1(a)中，描绘了当其它商品价格固定为时，作为pl函数的商品l的瓦尔拉斯与希克斯需求曲线。

其中，是一个向量，代表除l之外所有商品的价格。因而价格向量可以写成p=(pl,)。1/14/202317希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续四）图中给出了瓦尔拉斯需求函数x(p,)与效用水平设定为的希克斯需求函数h(p,)。当pl=时，这两个需求函数相等。斯拉茨基方程描述了这两个函数在价格处斜率绝对值之间的关系。1/14/202318希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续五）在图3.G.1(a)中，瓦尔拉斯需求函数在价格处的斜率绝对值要比希克斯需求函数小一些，这表明商品l在处为正常品。当pl上升到之上时，为使消费者保持原有的效用水平，就需要增加其财富。如果没有财富补偿，正常品l的需求会有更大幅度的下降。1/14/202319希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续六）如果商品l在处为低档品，则如教材100页图3.G.1(b)所示，情况正好相反，瓦尔拉斯需求函数在价格处的斜率绝对值要比希克斯需求函数大一些。1/14/202320希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续七）命题3.G.3意味着希克斯需求函数的价格导数矩阵Dph(p,u)等于矩阵1/14/202321希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续八）其中。该矩阵S(p,w)被称为斯拉茨基替代矩阵。1/14/202322希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续九）由于S(p,w)=Dph(p,u)，因而当需求是从偏好最大化（无论是支出最小化问题还是效用最大化问题）导出时，命题3.G.2意味着替代矩阵S(p,w)必定具有以下三个性质：它必然是半负定的、对称的、并满足S(p,w)p=0。以下，通过图3.G.2，对斯拉茨基财富补偿和希克斯财富补偿进行比较。1/14/202323图3.G.2斯拉茨基财富补偿和希克斯财富补偿

1/14/202324希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续十）假定有效用函数u(·)，其初始状态位于图3.G.2中无差异曲线u(x)=u上的x(p,w)点。将此位置给定，写作：。当价格从p变动到p'时（在图3.G.2中，这表现为预算集从Bp,w变为虚线表示的Bp',w

）px2保持不变，px1上升，名义财富虽然没有变化，但消费者的购买力即实际财富下降了。1/14/202325希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续十一）我们希望通过变化财富对价格变化引起的财富效应进行补偿。理论上，财富补偿有两种方式。方式一（斯拉茨基财富补偿）：财富变化量为∆WSlutscky=p'·-，从而使消费者在价格变化后仍然能支付得起他原先的消费束。1/14/202326希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续十二）方式二（希克斯财富补偿）：财富变化量∆WHicks=e(p',)-，从而使消费者在价格变化后仍然能保持其效用水平不变。1/14/202327希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续十三）如图3.G.2所示，财富变化量∆WHicks≤∆WSlutscky。但由于（命题3.G.1及3.E.4式），因而对从开始的微分价格变化而言，这两种补偿是恒等的，两种补偿机制中得出的补偿需求的导数是相同的。1/14/202328希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续十四）虽然同样是价格导数矩阵Dph(p,u)等于替代矩阵S(p,w)，但命题3.G.2表明，基于偏好法的消费者需求理论意味着S(p,w)必然是半负定的、对称的、并满足S(p,w)p=0；1/14/202329希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数（续十五）而第二章中的命题2.F.2、命题2.F.3及最后结论则表明，满足显示偏好弱公理、零次齐次性及瓦尔拉斯定律的选择法，仅意味着S(p,w)是半负定的并满足S(p,w)p=0，但除了当L=2时外，S(p,w)未必是对称的。就对需求所施加的限制而论，偏好法要强于以显示偏好弱公理为基础的选择法。1/14/202330瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数支出最小化问题中的最小化向量h(p,u)，是支出最小化问题中价值函数e(p,u)对p的导数。但在效用最大化问题中，类似的结论并不成立。因为从序数概念的角度来讲，瓦尔拉斯需求并不等于间接效用函数的价格导数。1/14/202331瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数（续）但只要通过一个小修正，即用财富的边际效用将v(p,w)对价格的导数标准化，该结论就是成立的。就象在中级微观经济学里，按照序数效用论，效用是不可度量的；但两个不可度量的效用之比——边际替代率——却是可以度量的。1/14/202332瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数（续二）命题3.G.4

罗伊恒等式。假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的和严格凸的偏好关系≥，并且假定间接效用函数在»0上是可微的。则1/14/202333瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数（续三）也就是说，对于每个l=1,…,L：命题3.G.4表明，通过间接效用函数计算瓦尔拉斯需求x(p,w)，只涉及导数的计算，而无需解一阶条件方程组。因此，用间接效用的形式表达偏好，通常更为方便，比通过直接效用来计算容易得多。

1/14/202334图3.G.3UMP与EMP之间的关系

1/14/202335瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数（续四）图3.G.3中，带实线的箭头是教材3.D、3.E两节（即PPT三、四两部分）讨论过的结果。

从效用最大化问题与支出最小化问题中给定的效用函数出发，我们可以推导出最优消费束x(p,w)和h(p,u)，以及价值函数v(p,w)（通过财富的边际效用将其标准化，可以找出其相对值）和e(p,u)。1/14/202336瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数（续五）而且，利用3.E.1式和3.E.4式，可以在这两个问题的价值函数和需求函数之间来回推导。带虚线的箭头是教材3.G节（即PPT五部分）的内容。两个问题的需求向量均可以从它们各自的价值函数中计算出来。而且希克斯需求函数的导数可以利用斯拉茨基方程从可观测的瓦尔拉斯需求函数中计算出来。1/14/202337可积性如果一个连续可微的需求函数x(p,w)是由理性偏好导出的，则我们知道它必然是零次齐次和满足瓦尔拉斯定律的，且有替代矩阵S(p,w)，该替代矩阵在所有(p,w)上都是对称的和半负定的。1/14/202338可积性（续）反过来，如果我们观察到一个需求函数x(p,w)是零次齐次的、满足瓦尔拉斯定律、替代矩阵对称且半负定，我们能否找到一个与之对应的、具有理性偏好的x(·)？这个问题被称为可积性问题。1/14/202339可积性（续二）这个问题及回答之所以重要，是因为如果回答是肯定的，那就意味着理论上，首先，它意味着零次齐次性、满足瓦尔拉斯定律、替代矩阵对称且半负定等性质，不仅是偏好法需求理论的必然结果，而且是它的全部结果。只要需求函数满足这些性质，就存在着某一个可以导出该需求函数的理性偏好。1/14/202340可积性（续三）其次，它还意味着，选择法需求理论与基于理性偏好假设的偏好法需求理论之间惟一的差距，就是前者并非总具有替代矩阵对称的性质。1/14/202341可积性（续四）实践中，如果不需要具体效用函数形式，则上述回答使我们可以只对可处理的需求函数进行检验，看它是否满足效用函数存在的充要条件，从而判断效用函数是否存在。根据需求函数x(p,w)逆推理性偏好≥的通常顺序是，先从需求函数逆推到支出函数，再从支出函数逆推到偏好。1/14/202342实证经济学与规范经济学通俗地说，实证经济学涉及的是“是什么”的问题，规范经济学涉及的是“应该是什么”的问题。福利分析中，确实涉及比较多的规范经济学问题，但并不等于说福利分析只涉及规范问题，往往是实证分析背后隐含有规范。1/14/202343经济变化的福利评价本节有关假定：第一，存在着理性的、连续的、局部非饱和的偏好关系≥，且该关系研究者已经知道；第二，消费者的支出函数和间接效用函数是可微的；第三，消费者有固定的财富水平w＞0，且初始的价格向量为p0。1/14/202344经济变化的福利评价（续）在此着重研究的是价格变化（例如从p0变化到p1）的福利效应。由于研究者已经知道消费者的偏好关系≥，因此，如果v(p,w)是任意一个从偏好关系≥中导出的间接效用函数，则当且仅当v(p1,w)–v(p0,w)＜0时，消费者福利变差。1/14/202345货币度量的间接效用函数货币度量的间接效用函数是用支出函数构建的、与以货币单位度量的福利变化相联系的一类特别的间接效用函数。构建从任一间接效用函数v(·,·)开始，选择任意的价格向量»0，并考虑函数e(,v(p,w))。这一函数给出了当价格为时达到效用水平v(p,w)所需要的财富。

1/14/202346货币度量的间接效用函数（续）但同时，在价格水平给定的条件下，该支出函数又是效用水平v(p,w)的严格递增函数，即消费者想获得更高的效用水平，他就必须支出更多的货币。因此，如果把e(,v(p,w))视为(p,w)的函数，则它本身就是一个代表偏好关系≥的间接效用函数，且e(,v(p1,w))-e(,v(p0,w))给出了用货币表示的福利变化的度量。1/14/202347货币度量的间接效用函数（续二）上述函数中，可以代表任何价格向量。其中两个特别自然的选择是初始价格向量p0与变化后的向量p1。把换成p0或p1，可以导出两种对福利变化的度量，即等价变化(EV)与补偿变化(CV)。1/14/202348经济变化的福利评价（续二）令u0=v(p0,w)，u1=v(p1,w)，并注意到e(p0,u0)=e(p1,u1)=w，（这意味着在衡量伴随着价格变化的财富补偿时，我们有两个参照物）定义：EV(p0,p1,w)=e(p0,u1)-e(p0,u0)=e(p0,u1)-w(3.I.1)以及CV(p0,p1,w)=e(p1,u1)-e(p1,u0)=w-e(p1,u0)(3.I.2)1/14/202349图3.I.2(a)度量福利变化（等价变化）

1/14/202350经济变化的福利评价（续三）我们用图3.I.2来对上述两式加以说明。图3.I.2(a)(b)两图的共同点，首先是商品2的价格没有变，商品1的价格下降了；其次是图中的x(p0,w)和x(p1,w)，其对应的效用函数分别为u0=v(p0,w)和u1=v(p1,w)。1/14/202351经济变化的福利评价（续四）先看3.I.1式。当消费束从x(p0,w)变为x(p1,w)，效用水平相应从u0变为u1时，为了按照希克斯的标准找到支出e(p0,u1)的特定x*，（等价变化与补偿变化是希克斯提出的）就需要找出与新无差异曲线u1相切、同时又代表原有价格向量p0的预算线，即图3.I.2(a)中的虚线。虚线上的切点x*就代表e(p0,u1)。1/14/202352经济变化的福利评价（续五）显然，在该图中，e(p0,u1)大于w。为了使消费者觉得x*与x(p1,w)无差异，消费者的财富就必须相应增加。增加部分EV(p0,p1,w)在图中就体现在纵轴上（也可以体现在横轴上）。1/14/202353经济变化的福利评价（续六）换句话说，就是x*=x(p0,w+EV)与x(p1,w)是无差异的。把这两个点与x(p0,w)作比较，一个点价格没变，货币（名义）财富增加了；另一个点货币财富没变，价格下降了。换句话说，就对福利的影响而言，前一个点上的财富变化与后一个点上的价格变化是等价的。1/14/202354图3.I.2(b)度量福利变化（补偿变化）

1/14/202355经济变化的福利评价（续七）再看3.I.2式。当消费束从x(p0,w)变为x(p1,w)，效用水平相应从u0变为u1时，为了按照希克斯的标准找到支出e(p1,u0)的特定x*，就需要找到与原有无差异曲线u0相切、同时又代表新价格向量p1的预算线，即图3.I.2(b)中的虚线。虚线上的切点x*就代表e(p1,u0)。1/14/202356经济变化的福利评价（续八）显然，与代表e(p1,u1)=w的x(p1,w)相比，e(p0,u1)小于w。为了使消费者觉得x*与x(p0,w)无差异，消费者的财富就必须相应减少。减少部分CV(p0,p1,w)在图中就体现在纵轴上（也可以体现在横轴上）。1/14/202357经济变化的福利评价（续九）换句话说，就是x*=x(p1,w-CV)与x(p0,w)是无差异的。把这两个点与x(p1,w)作比较，一个点价格没变，货币（名义）财富减少了；另一个点货币财富没变，价格上升了。教材上115页有关内容的说明不清楚。该段最后一句中的等式是v(p1,w-CV)=u。这明明是说消费者的财富减少了，但文字表达中却看不出来。1/14/202358希克斯等价剩余与补偿剩余为简单起见，假定只有商品1的价格发生变化，因而p10≠p11。同时对任何l≠1，有pl0=pl1=。因为w=e(p0,u0)=e(p1,u1)，hl(p,u)=∂e(p,u)/∂pl，因而等价变化可写成EV(p0,p1,w)=e(p0,u1)-w=e(p0,u1)-e(p1,u1)=(3.I.3)式中，。1/14/202359图3.I.3(a)需求曲线（希克斯等价变化）

1/14/202360等价剩余与补偿剩余（续）在商品1的需求曲线图上（图3.I.3），用等价变化度量的消费者福利变化可以用夹在p10与p11之间、且位于效用水平为u1时的希克斯需求曲线左面的面积来表示，即图3.I.3(a)中的阴影部分。类似地，补偿变化可写成CV(p0,p1,w)=(3.I.4)1/14/202361图3.I.3(b)需求曲线（希克斯补偿变化）

1/14/202362等价剩余与补偿剩余（续二）在商品1的需求曲线图上，用补偿变化度量的消费者福利变化可以用夹在p10与p11之间、且位于效用水平为u0时的希克斯需求曲线左面的面积来表示，即图3.I.3(b)中的阴影部分。1/14/202363等价剩余与补偿剩余（续三）对于图3.I.3，需要做两点说明。第一，该图描述的是商品1为正常品时的情况。此时等价变化EV(p0,p1,w)＞补偿变化CV(p0,p1,w)。如果商品1是低档品，情况正好相反。第二，如果对商品1来说，财富效应不存在，则EV和CV两种度量是相同的，因为将有1/14/202364等价剩余与补偿剩余（续四）h1(p1,,u0)=x1(p1,,w)=h1(p1,,u1)用x1(p1,,w)度量的消费者福利变化称为马歇尔消费者剩余变化，它等于夹在p10与p11之间、且位于商品1的市场（即瓦尔拉斯）需求曲线左面的面积。财富效应不存在时，它是EV和CV的共同值。1/14/202365等价剩余与补偿剩余（续五）消费者剩余是指消费者愿意支付的价格高于消费者实际支付的价格的部分。在商品1的需求曲线图上（图3.I.3），如果市场价格是p11，则夹在p10与p11之间、且位于商品1的市场（即瓦尔拉斯）需求曲线左面的部分，是按照马歇尔的标准得出的消费者剩余的一部分。1/14/202366部分信息时的福利分析具体来说，如果只知道两个价格向量p0，p1，以及初始消费束x(p0,w)，应该如何推断价格变化对福利的影响？命题3.I.1

假定消费者具有局部非饱和的理性偏好关系≥。若(p1-p0)·x0＜0，则消费者在价格-财富状况(p1,w)下的境况严格好于在(p0,w)下的境况。1/14/202367部分信息时的福利分析（续）命题3.I.1中的检验标准可以被看成是真正的福利变化的一阶近似。为看清这一点，取e(p,u)在初始价格p0上的一阶泰勒展开式e(p1,u0)=e(p0,u0)+

(p1-p0)·▽pe(p0,u0)+σ(║p1-p0║)(3.I.7)若(p1-p0)·▽pe(p0,u0)＜0，且二阶余项可忽略不计，则有e(p1,u0)＜e(p0,u0)=w。1/14/202368部分信息时的福利分析（续二）因此可以断言，价格变化后，消费者的福利增加了。e(·,u0)在p上的凹性意味着余项是非正的，因此这里忽略余项不会导致错误的结论。利用命题3.G.1（即h(p,u)=▽pe(p,u)），可知，(p1-p0)·▽pe(p0,u0)=(p1-p0)·h(p0,u0)=(p1-p0)·x0。因此，可以从(p1-p0)·▽pe(p0,u0)＜0推出(p1-p0)·x0＜0，即推出命题3.I.1中的检验标准。1/14/202369部分信息时的福利分析（续三）如果(p1-p0)·x0＞0，但价格变化足够小，则有命题3.I.2。命题3.I.2假定消费者有一个可微的支出函数，那么，若(p1-p0)·x0＞0，则有一个足够小的∈(0,1)，使得对于所有的a＜，有e((1-a)p0+ap1,u0)＞w，从而消费者在价格-财富状况(p0,w)下的境况严格好于在((1-a)p0+ap1,w)下的境况。

1/14/202370福利的近似度量希克斯需求曲线以效用为自变量，而效用是不可直接观测的。瓦尔拉斯（市场）需求曲线所有的自变量都是可以直接观测的，借助该曲线来度量福利是一种简单（因而常用）的方法。该方法被称为面积变化度量指标。AV(p0,p1,w)=(3.I.8)1/14/202371福利的近似度量（续）使用面积变化度量指标，需要注意下列问题。1.在正常品情况下，面积变化度量指标会低估等价变化，高估补偿变化。在低档品情况下，则正好相反。因此，在评价几种商品的价格变化、或比较两种不同的可能的价格变化时，面积变化不一定能给出福利变化的正确评价。1/14/202372福利的近似度量（续二）2.如果对某种商品，财富效应没有或者很小，那么面积变化度量指标大体上就是正确的。3.如果商品仅是所消费的多种商品之一，那么，由于额外的一单位财富分散在许多不同的商品上，因而一般来说，某一种商品的财富效应应该不大，可以用面积变化度量指标衡量。但如果涉及多种商品，叠加起来就可能会出现合成谬误。1/14/202373福利的近似度量（续三）4.如果价格变动幅度不大，(p11-p10)很小，那么，因使用面积变化度量指标所导致误差的绝对值将很小的，但误差在真正的福利变化中的比重却可能很大。1/14/202374图3.I.8使用面积变化指标度量福利变化的误差

1/14/202375福利的近似度量（续四）以图3.I.8中的补偿变化为例，价格从p10上涨到p11后，消费者真正的福利损失（CV）是面积A+B，用面积变化度量指标得出的损失是面积A+C，相对误差并不小。在此情形下，我们可以用希克斯需求函数的一阶近似来找到误差更小的描述方式。1/14/202376福利的近似度量（续五）在初始价格p0处取h(p,u0)的一阶泰勒展开式，有：

(p,u0)=h(p0,u0)+Dph(p0,u0)

(p-p0)并把

(3.I.9)作为福利变化近似值。

1/14/202377图3.I.9h(p,u0)在p0处的一阶近似

1/14/202378福利的近似度量（续五）如图3.I.9所示，由于在p0处，和真正的希克斯需求函数斜率相同，因而对