ch质点动力学基本方程

第三篇动力学理论力学引言动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系力学模型：2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成，又称为不变质点系。例如：研究卫星的轨道时，卫星质点；刚体作平动时,刚体质点。研究内容:质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。动力学的两类基本问题：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。综合性问题：已知部分力、部分运动，求另一部分力、部分运动；已知主动力，求运动，再由运动求约束力。第八章质点动力学理论力学

§8–1惯性参考系中的质点动力学

§8–2非惯性参考系中的质点动力学第八章质点动力学§8-1惯性参考系中的质点动力学一、动力学基本定律（牛顿三定律）1.第一定律（惯性定律）：2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）：3.第三定律（作用与反作用定律）：二.惯性参考系：牛顿三定律成立的参考系。1.一般工程问题：固连于地面或相对于地面作匀速直线平动的物体；2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；3.天体运动问题：太阳为中心、三轴指向三个恒星。1.矢量形式2.直角坐标形式三.质点的运动微分方程

3.自然形式质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。

四、质点动力学的两类基本问题1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。

----求微分问题。2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。

----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求积分，并确定相应的积分常数的问题。例：桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物(抽象为质点)为研究对象

②任一时刻受力分析如图所示③任一时刻运动分析，沿以O为圆心,l为半径的圆弧摆动。④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量[注]①动拉力Tmax由两部分组成,一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分由加速度引起，称为附加动拉力。

②减小绳子拉力的方法：减小跑车速度或者增加绳子长度。。例：离心式转速计工作原理如图所示。弹性细绳ACD系住的小球质量为m。弹性细绳的原长(未受力时的长度)为CD，弹性常数为k。设AB=CB=l，试求转速计稳定转动（）时,其转动轴的角速度ω与偏角θ的关系以及杆AB所受的力。

解：取小球A为研究对象，受力如图b（空间汇交力系）。

小球的加速度：

细绳的弹性力F沿AC线，大小为

小球A的运动微分方程：即如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：此即杆AB所受的力，方向与S相反。再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解得：系统稳定转动时的最小角速度为（1）（2）（此时）第一类问题解题步骤和要点：

①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。

②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。

③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。

④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。

⑤求解未知量。列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算微分方程积分一次再积分一次解：选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。建立图示坐标系。例：煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速与水平的夹角a0？最高点A处发射初速度大小与初发射角为将到达A点时的时间t、x=S、y=H代入运动方程，得例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始时质点在介质表面上被无初速度释放。解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动，属于动力学第二类问题。在任意位置上，有（分离变量）积分：运动初始条件：（分离变量）运动初始条件：积分：第二类问题解题步骤如下：①正确选择研究对象。②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，若为变力，则建立变力的表达式）。③正确进行运动分析。

除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件。选择并列出适当的质点运动微分方程。如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。如力是位置的函数，需进行变量置换：§8-2非惯性参考系中的质点动力学动参考系O’x’y’z’

相对于静系Oxyz运动由牛顿第二定律

F=ma=m(ar+ae+aC)

mar=F-mae–maC

令：FIe=-mae，FIC=-maC，分别称为牵连惯性力和科氏惯性力。

质点相对运动的动力学方程:

质点相对运动微分方程

mar=F–mae–maC

1.当非惯性参考系作平动时，

2.当非惯性参考系作匀速直线平动时，古典力学的相对性原理（伽利略、牛顿相对性原理）：在一个系统内部所做的任何力学试验，都不能确定这一系统是静止的还是在作匀速直线平动。此时质点的相对运动动力学方程与绝对运动动力学方程完全相同。可见：相对于惯性参考系作匀速直线平动的参考系都是惯性参考系3.当质点相对于动参考系作匀速直线运动时，4.当质点相对于动参考系静止不动时，质点相对平衡和相对静止的平衡条件是不同的（质点相对平衡的平衡条件）（质点相对静止的平衡条件）例：固定在铅垂杆CD上的直管AB绕轴线以匀角速度ω转动，直管轴线与转动轴成45º角，管内有一小球由相对静止状态开始运动。设小球的起始位置到O点的距离为a。忽略摩擦，求小球沿直管的运动方程。解：取小球为研究对象，建立动坐标系，虚加牵连惯性力和科氏惯性力，受力如图所示。

质点的相对运动动力学方程在x’方向的投影式为非齐次微分方程x’