《指数函数及其性质》同步练习 名师获奖

《指数函数及其性质（3）》同步练习（2）基础巩固选择题1.函数的值域是()A. B.C. D.(0,4)[答案]C[解析]要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函数y＝的值域为[0,4)．2.若函数与的定义域均为R，则()(x)与g(x)均为偶函数(x)为奇函数，g(x)为偶函数(x)与g(x)均为奇函数(x)为偶函数，g(x)为奇函数[答案]D[解析]因为，，所以f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，故选D.3.函数f(x)＝2x2－3x＋1的单调递减区间是()A. B.C. [答案]B[解析]因为的单调递减区间为，且f(x)＝2x在R上是增函数，所以f(x)＝2x2－3x＋1的单调递减区间是．4.，的大小顺序为()A. B.C. D.[答案]B[解析]∵，又∴选B.5.下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A.B.C. D.[答案]B[解析]的值域为{y|y>0且y≠1}；的值域为{y|y≥0}；的值域为{y|0≤y<1}，故选B.6.函数的图象如下图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()>1，b<0 >1，b>0<a<1，b>0 <a<1，b<0[答案]A[解析]由图知，∴，∴b<0.二、填空题7.已知f(x)的定义域为(0,1)，则f(3x)的定义域为________．[答案](－∞，0)[解析]∵f(x)的定义域为(0,1)，∴0＜3x＜1，∴x＜0，故应填(－∞，0)．8.定义运算则函数f(x)＝1].[答案]1[解析]当x≥0时，2x≥1；当x＜0时，2x＜1.∴f(x)＝1]1，x≥0，2x，x＜0，∴f(x)的最大值是1.三、解答题9.已知函数y＝2x2－6x＋7.(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调区间．[解析](1)设u＝x2－6x＋7，由于函数y＝2u及u＝x2－6x＋7的定义域都是R，故函数y＝2x2－6x＋7的定义域为R.∵u＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2≥－2，又函数y＝2u在R上单调递增，∴.∴函数y＝2x2－6x＋7的值域为[eq\f(1,4)，＋∞)．(2)函数u＝x2－6x＋7在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的∈[3，＋∞)，且x1<x2，有u1<u2，从而2u1<2u2，即y1<y2，∴函数y＝2x2－6x＋7在[3，＋∞)上是增函数，同理可知y＝2x2－6x＋7在上是减函数．10.(2022·广西桂林中学段考)已知函数f(x)＝满足.(1)求实数c的值；(2)解不等式.[解析](1)由题意知0＜c＜1，∴c2＜c.由，得，∴.(2)由(1)得当时，，即，解得，∴；当时，，即，解得，∴.∴的解集为．能力提升一、选择题1.当a＞0，且a≠1时，函数的图象一定过点()A.(0,1) B.(0，－1)C.(－1,0) D.(1,0)[答案]C[解析]当x＝－1时显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)，故选C.2.已知函数f(x)＝(2a－1)x，若x＞0时总有f(x)＞1，则实数a的取值范围是()＜a＜2 ＜2＞1 <a<1[答案]C[解析]∵x>0时，f(x)>1，所以此时函数为指数函数且底数大于1，因此由图象知2a－1>1，∴a>1，故选C.3.若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A.(1，＋∞) B.(1,8)C.(4,8) D.[4,8)[答案]D[解析]因为f(x)在R上是增函数，故可知解得4≤a＜8.4.(2022·山西模拟)若f(x)＝则f(2022)＝()A. B.C．2 D.[答案]D[解析]依题意，知，选D.二、填空题5．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，且对任意实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)，则f(bx)与f(cx)的大小关系是________．[答案]f(bx)≤f(cx)[解析]∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故＝1，b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，且f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．若x＞0，则3x＞2x＞1，∴f(3x)＞f(2x)；若x＜0，则0＜3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x)；若x＝0，则f(3x)＝f(2x)．综上，f(cx)≥f(bx)．6.若函数在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．[答案](－∞，0][解析]在直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变．如图，所得为y＝|2x－1|的图象，由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m∈(－∞，0]．三、解答题7.已知函数，且，.(1)求a，b的值；(2)判断并证明f(x)的奇偶性；(3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域．[分析][解析](1)因为，所以，解得.故a，b的值分别为－1,0.(2)由(1)知，x∈R，，所以f(x)为偶函数．(3)对任意x1，x2∈[0，＋∞)，不妨设x1＜x2，则＝＝＝.①因为x1＜x2，且x1，，所以，即，则，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又f(x)为R上的偶函数，故f(x)在上单调递减，则当x＝0时，f(x)取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，又指数函数的值域为(0，＋∞)，所以f(x)的值域为[2，＋∞)．8.(2022·四川省双流中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2x＋b，(b∈R)，.(1)判断h(x)的奇偶性并证明；(2)对任意x∈[1,2]，都存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x)≤f(x1)，g(x)≤g(x2)，若f(x1)＝g(x2)，求实数b的值．[解析](1)函数h(x)＝2x－eq\f(1,2x)为奇函数，现证明如下：∵h(x)