宁波市慈溪市2019年中考数学一模试卷含答案解析

宁波市慈溪市2019年中考数学一模试卷含答案解析

2019年浙江省宁波市慈溪市中考数学一模试卷一、选择题1．﹣2的绝对值是（

）A．2

B．﹣2

C．D．2．太阳中心的温度是19200000℃，用科学记数法可将19200000℃表示为（

）A．1.92×106

B．19.2×106

C．1.92×107

D．0.192×1073．若3a=4b，则=（

）A．B．C．D．4．下列图形的三视图中，主视图和左视图不一样的是（

）A．球

B．圆锥

C．圆柱

D．长方体5．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是（

）A．AB是A′B′的3倍

B．A′B′是AB的3倍C．∠A是∠A′的3倍

D．∠A′是∠A的3倍6．关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（

）A．图象开口向上

B．图象的对称轴是直线x=1C．图象有最低点

D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）7．下列说法正确的是（

）A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等B．90°的圆心角所对的弦是直径C．平分弦的直径垂直于这条弦D．三点确定一个圆8．如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（

）A．144°

B．135°

C．136°

D．108°9．如图，在△ABC中，DE∥BC，且=，则=（

）A．1：4

B．1：9

C．3：4

D．8：910．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（

）A．1.5，2.5

B．2，5

C．1，2.5

D．2，2.511．如图，⊙O的半径为20，A是⊙O上一点．以OA为对角线作矩形OBAC，且OC=12．延长BC，与⊙O分别交于D，E两点，则CE﹣BD的值等于（

）A．B．C．D．12．如图，有一张△ABC纸片，AC=8，∠C=30°，点E在AC边上，点D在边AB上，沿着DE对折，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为（

）A．B．C．4

D．4二、填空题13．根式中x的取值范围是．14．分解因式：x3﹣4x=．15．如图，在△ABC中，中线AD、BE交于O，若S△BOD=5，则S△BOA=．16．若圆锥母线长为6，底面半径为2，则它的侧面积为．17．已知⊙O的直径为，锐角△ABC内接于⊙O，且AB=2，BE⊥AC于E，则sin∠CBE=．18．如图，在边长为的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为．三、解答题（第19题6分，第20、21、22题各8分，第23题10分，第24、25题各12分，第26题14分，共78分）19．计算：tan260°﹣2sin45°+cos60°．20．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．（2）求点A落在第三象限的概率．22．某校举行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成如表如下：分数段频数频率60≤x＜70300.1570≤x＜80m0.4580≤x＜9060n90≤x＜100200.1请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中m和n所表示的数分别为：m=，n=；（2）请在图中补全频数分布直方图；（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？（4）若比赛成绩不低于80分可以获奖，则获奖率为多少？23．某电影上映前，一大型影院的楼顶挂起了一块广告牌CD．李老师目高MA=1.6m，他站在离大楼底部H点45m的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°．接着他向大楼前进14m，站在B处，测得广告牌顶端C的仰角为45°．（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？25．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图1，Rt△ABC中，BC＜AC＜AB，∠C=90°，当△ABC是“好玩三角形”时，求BC：AC：A的值；（3）如图2，所示直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣5，0），点D是以点M为圆心4为半径的圆上除x轴外的任意一点，且D为AC中点．求证：△ABC是好玩三角形；（4）如图3，已知正方形ABCD的边长为a，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．若△APQ是“好玩三角形”，试求的值．26．在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的⊙P过点C，若C的坐标为（0，2），AB=5，经过A、B、C三点的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）求点A、B的坐标及抛物线的解析式．（2）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，交圆于点E．①求证：PE⊥x轴；②试求直线l对应的一次函数的解析式．（3）过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．2019年浙江省宁波市慈溪市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．﹣2的绝对值是（

）A．2

B．﹣2

C．D．【考点】绝对值．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．太阳中心的温度是19200000℃，用科学记数法可将19200000℃表示为（

）A．1.92×106

B．19.2×106

C．1.92×107

D．0.192×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于19200000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．【解答】解：19200000=1.92×107．故选C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．若3a=4b，则=（

）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：两边都除以3b，得=，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等式的性质2，等式的两边都除以同一个不为零的数或者整式，结果不变．4．下列图形的三视图中，主视图和左视图不一样的是（

）A．球

B．圆锥

C．圆柱

D．长方体【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：A、球的主视图和左视图都是圆，故此选项错误；B、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项错误；C、圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项错误；D、长方体的主视图是长方形，左视图是长方形，但是大小不一样，故此选项正确，故选：D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是（

）A．AB是A′B′的3倍

B．A′B′是AB的3倍C．∠A是∠A′的3倍

D．∠A′是∠A的3倍【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，∴=3，∠A=∠A′，故C与D都错误；∴AB=3A′B′，故A正确，B错误．故选A．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形的对应角相等，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（

）A．图象开口向上

B．图象的对称轴是直线x=1C．图象有最低点

D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）【考点】二次函数的性质．【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵﹣1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，∵这个函数的顶点是（﹣1，2），∴对称轴是x=﹣1，故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．7．下列说法正确的是（

）A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等B．90°的圆心角所对的弦是直径C．平分弦的直径垂直于这条弦D．三点确定一个圆【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件．【分析】利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．【解答】解：A、弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确；B、90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误；C、应强调这条弦不是直径，故本选项错误；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键．8．如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（

）A．144°

B．135°

C．136°

D．108°【考点】黄金分割．【分析】由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6，得到x与y比值为0.6，即为3：5，又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360，根据比例性质即可求出x的值．【解答】解：由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，根据题意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135．故选B．【点评】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，且=，则=（

）A．1：4

B．1：9

C．3：4

D．8：9【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】因为DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵AE：EC=1：2∴AE：AC=1：3∴S△ADE：S△ABC=1：9∴=．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的运用，熟记定理是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（

）A．1.5，2.5

B．2，5

C．1，2.5

D．2，2.5【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理；三角形的外接圆与外心．【分析】直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中ab为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r=；外接圆的半径就是斜边的一半．【解答】解：∵AB=5，AC=3，∴BC==4，∴外接圆半径==2.5，∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，∴内切圆半径==1．故选C．【点评】解决此题的关键是熟练掌握直角三角形的三边与外接圆半径，内切圆半径之间的关系．11．如图，⊙O的半径为20，A是⊙O上一点．以OA为对角线作矩形OBAC，且OC=12．延长BC，与⊙O分别交于D，E两点，则CE﹣BD的值等于（

）A．B．C．D．【考点】垂径定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】连接OE，作ON⊥DE，由垂径定理得EN=DN，在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB的长，利用三角形的面积公式求出ON的长，在Rt△OCN中，利用勾股定理求出CN的长，进而可得出BN的长，由CE﹣BD=（EN﹣CN）﹣（DN﹣BN）=BN﹣CN即可得出结论．【解答】解：如图，连接OE，作ON⊥DE，∴EN=DN，∵在Rt△AOB中，OA=20，AB=OC=12，∴OB===16，∴ON===，在Rt△OCN中，CN==，∵BN=BC﹣CN=20﹣=，∴CE﹣BD=（EN﹣CN）﹣（DN﹣BN）=BN﹣CN=﹣=，故选B．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理进行解答是解答此题的关键．12．如图，有一张△ABC纸片，AC=8，∠C=30°，点E在AC边上，点D在边AB上，沿着DE对折，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为（

）A．B．C．4

D．4【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】认真审题，可以发现，AC=CE+AE，若要使CE最大，只要使AE最小即可，连接EF，则：EF=AE，过只要EF最小即可，据此即可得解．【解答】解：如图，连接EF，当EF⊥BC时，EF最短，即CE最长，∵∠C=30°，∴EF=CE，∵沿着DE对折，使点A落在BC边上的点F处，∴EF=AE，∴EF+CE=AC=8，即：=8，解得：CE=，∴CE的最大值为．故选B．【点评】本题主要考查了垂线段最短，以及在翻折变换时，变换前后的线段和角度不变，还考查了解直角三角形的知识，有一定的综合性，要注意认真总结．二、填空题13．根式中x的取值范围是x≤3．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．【点评】本题考查的知识点为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．分解因式：x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．15．如图，在△ABC中，中线AD、BE交于O，若S△BOD=5，则S△BOA=10．【考点】三角形的重心．【分析】根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得OD=AO，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出△AOB的面积．【解答】解：∵中线AD、BE相交于点O，∴O是△ABC的重心，∴OD=AO，∵S△BOD=5，∴S△AOB=2S△BOD=2×5=10．故答案为：10．【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍，等高的三角形的面积等于底边的比是解题的关键．16．若圆锥母线长为6，底面半径为2，则它的侧面积为12π．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故答案为：12π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．17．已知⊙O的直径为，锐角△ABC内接于⊙O，且AB=2，BE⊥AC于E，则sin∠CBE=．【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．【分析】连接OA、OB，由于OM⊥AB，根据垂径定理易证得∠BOM=∠AOB，而由圆周角定理可得∠BCE=∠AOB=∠BOM，因此∠CBE=∠OBM，只需求得∠OBM的正弦值即可；在Rt△OBM中，由垂径定理可得BM=1，已知⊙O的半径OB=，由勾股定理可求得OM，即可求出∠OBM即∠CBE得正弦值，由此得解．【解答】解：连接OA、OB，作OM⊥AB，∵OM⊥AB，∴AM=BM=1，∠BOM=∠AOB，∵∠BCE=∠AOB，∴∠BCE=∠BOM，∵BE⊥AC，∴∠CBE=∠OBM，在Rt△OBM中，OB=，OM===∴sin∠OBM=sin∠CBE==；故答案为．【点评】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的综合应用能力，能够根据已知条件找到∠CBE=∠OBM，是解决问题的关键．18．如图，在边长为的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；点与圆的位置关系．【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．【解答】解：如图，，∵动点F，E的速度相同，∴DF=CE，又∵CD=BC，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠APB=90°，∵点P在运动中保持∠APB=90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG==，∵PG=∴CP=CG﹣PG==，即线段CP的最小值为．故答案为：．【点评】（1）解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（3）此题还考查了正方形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．三、解答题（第19题6分，第20、21、22题各8分，第23题10分，第24、25题各12分，第26题14分，共78分）19．计算：tan260°﹣2sin45°+cos60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣2×+=3﹣+=﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．（2）求点A落在第三象限的概率．【考点】列表法与树状图法；点的坐标．【分析】（1）直接利用表格列举即可解答；（2）利用（1）中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．【解答】解：（1）如下表，

﹣7﹣13﹣2（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）（3，﹣2）1（﹣7，1）（﹣1，1）（3，1）6（﹣7，6）（﹣1，6）（3，6）点A（x，y）共9种情况；（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）两种情况，∴点A落在第三象限的概率是．【点评】此题主要考查利用列表法求概率，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公式进行计算，属于基础题．22．某校举行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成如表如下：分数段频数频率60≤x＜70300.1570≤x＜80m0.4580≤x＜9060n90≤x＜100200.1请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中m和n所表示的数分别为：m=90，n=0.3；（2）请在图中补全频数分布直方图；（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？（4）若比赛成绩不低于80分可以获奖，则获奖率为多少？【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数．【分析】（1）根据60≤x＜70的频数和频率求出总人数，再用总人数乘以频率求出m，用60除以总人数求出n；（2）根据（1）求出的m的值，即可补全统计图；（3）根据中位数的定义即可得出答案；（4）把比赛成绩不低于80分的频率相加即可得出获奖率．【解答】解：（1）根据题意得：=200（人），m=200×0.45=90，n==0.3；故答案为；90，0.3；（2）根据（1）补图如下：（3）∵共有200人参赛，∴比赛成绩的中位数落在70≤x＜80；（4）获奖率为：0.3+0.1=0.4．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．某电影上映前，一大型影院的楼顶挂起了一块广告牌CD．李老师目高MA=1.6m，他站在离大楼底部H点45m的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°．接着他向大楼前进14m，站在B处，测得广告牌顶端C的仰角为45°．（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME﹣NE=AB=14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【解答】解：（1）在Rt△DME中，ME=AH=45m；由tan30°=，得DE=45×=15m；又因为EH=MA=1.6m，因而大楼DH=DE+EH=（15+）m；（2）又在Rt△CNE中，NE=45﹣14=31m，由tan45°=，得CE=NE=31m；因而广告牌CD=CE﹣DE=（31﹣15）m；答：楼高DH为（15+）m，广告牌CD的高度为（31﹣15）m．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【解答】解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）由题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500元．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．25．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图1，Rt△ABC中，BC＜AC＜AB，∠C=90°，当△ABC是“好玩三角形”时，求BC：AC：A的值；（3）如图2，所示直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣5，0），点D是以点M为圆心4为半径的圆上除x轴外的任意一点，且D为AC中点．求证：△ABC是好玩三角形；（4）如图3，已知正方形ABCD的边长为a，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．若△APQ是“好玩三角形”，试求的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；（2）设AC=2x=BD，则AD=CD=x，从而表示出BC=x，利用勾股定理得AB==x，从而求得三条线段的比；（3）利用两边对应成比例且夹角相等证得△AMD∽△DMB后得到BD=2AD=AC，从而说明三角形ABC是好玩三角形；（4）当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，然后分等腰三角形APQ底边PQ等于AE，即PQ=AE时和等腰三角形APQ的腰AP与它的中线QM相等两种情况求得结论即可．【解答】解：（1）如图，①作一条线段AB，②作线段AB的中点O，③以点O为圆心，AB为半径画圆，④在圆O上取一点C，连接AC、BC，∴△ABC是所求作的三角形（点E、F除外）．（2）如图1，由题意可得，只能是AC边上的中线BD等于AC，设AC=2x=BD，则AD=CD=x，所以，BC=x，则AB==x，所以，BC：AC：AB=：2：；（3）如图2，三角形AMD中，AM=2，MD=4，三角形MBD中，MD=4，MB=8，又∵∠DMA=∠BMD，∴△AMD∽△DMB，∴BD=2AD=AC，∴三角形ABC是好玩三角形；