三角函数线及其应用

【课标要求】 1．了解三角函数线的意义． 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．【核心扫描】 1．三角函数线的概念．(难点) 2．利用三角函数线求解简单三角不等式．(重点) 3．对各种三角函数线的辨认．(易混点)

第2课时三角函数线及其应用新知导学1．三角函数的定义域2．三角函数线

三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．正弦线如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x轴，有向线段

即为正弦线余弦线如上图，有向线段

即为余弦线正切线如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于T，有向线段

即为正切线MPOMAT温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．互动探究探究点1用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确定的？

提示

有向线段MP、AT与y轴的正向相同时符号为正，反向时符号为负；有向线段OM与x轴的正向相同时符号为正，反向时符号为负．探究点2如何作三角函数线？ 提示

三角函数线的作法：①作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． ②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.

[思路探索]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度和正负．[规律方法]利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．【活学活用1】比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．[思路探索]作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角在什么范围内变化，再根据区域的范围写出θ的取值范围．[规律方法]用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．【活学活用2】解不等式2cosx－1>0.方法技巧数形结合法证三角不等式正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．[题后反思]

由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具.1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是()． A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条 C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在 解析由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确． 答案D3．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________．课堂小结1．三角函数线的意义是表示三角函数的值，其长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．2．三角函数线是解决三角函数问题的重要工具，在研究三角函数的性质，解三角不等式等方面有着广泛的应用，利用三角函数线可以将三角函数问题转化为几何问题解决．