三角函数的图象与性质

1.4三角函数的图像与性质O′①下面我们借助正弦线(几何法)来画出y=sinx在[0，2π]上的图象.首先，我们来作坐标为(x0，sinx0)的点S，不妨设x0>0，如图所示，在单位圆中设AP的长为x0(即∠AO′P=x0)，则MP=sinx0，所以点S(x0，sinx0)是以AP的长为横坐标，正弦线MP

的数量为纵坐标的点.⌒⌒S(x0，sinx0)My-----x1-1π2πO1.4.1正弦函数、余弦函数的图像PA为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.2知道如何作出y=sinx的图象的一个点，就可以作出一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应于的角及相应的正弦线,相应地,把x轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既得到正弦函数y=sinx在[0，2π]区间上的图象，如图所示.---11yxAO2ππ链接3最后我们只要将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象，如图所示.正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecurve).正弦曲线--yxO1-12π4π6π-2π-4π-6π以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线.yxO1-1π2π4π-π-2π3π4②用描点法(代数法)作出正弦函数在[0，2π]上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象.x0π2πy=sinx010-10(1)列表(2)

描点(3)

连线-----xy1-1Oπ2π(五点法)由上图可以看出，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上起着关键作用的点有以下五个:(0，0)，(，1)，(π

，0)，(π，-1)，(2π

，0)5

观察正弦和余弦曲线(如下图)

的形状和位置,说出它们的异同点，yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosxy=sinx它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=－1之间.但它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点(0，1).由cox=sin(x+)，可知y=cosx图象向左平移个单位得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线.y=cosx图象的最高点(0，1)，与x轴的交点(，0)，(，0),

图象的最低点(π，－1).6事实上，描出五点后，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，今后，我们将经常使用这种“五点(画图)法”例1画出下列函数的简图：(1)y=1+sinx；(2)y=－cosxx∈[0，2π

)-----xy1-1Oπ2π-----xy1-1Oπ2π7x0π2x0π2πsin2x010－10例2用“五点法”画出下列函数的简图：y=sin2xx∈[0，2π

)描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示)yxO1-1π2π-3π-π-2π3πy=sin2xy=sinx两图象有何关系？8练习1.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系:(1)y=sinx－1；(2)y=2sinx.y=sinx－1y=sinxxyO2ππ-π-2π1-2-1-3πy=sinx－1的图象可由正弦曲线向下平移1个单位.9y=sinxy=2sinxxyO2ππ-π-2π1-2-1-3π22.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系:(2)y=2sinx.y=2sinx的图象可由正弦曲线上的每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变.102.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系:(1)y=1+cosx；(2)y=cos(x+).y=1+cosx的图象可由余弦曲线向上平移1个单位.可由余弦曲线上每一点向左平移个单位得到.y=1+cosxy=cosxxyO2ππ-π-2π12y=cosxy=cos(x+)xyO2ππ-π-2π111周期性的有关概念：那么函数f(x)就叫做周期函数(periodicfunction)，非零常数T叫做这个函数的周期(period).一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)最小正周期：对一个周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期.正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈z且k≠0)都是它们的周期，它们最小的正周期都是2π;正切函数也是周期函数，其最小的正周期是π.1.4.2正弦函数、余弦函数的性质12说明:①当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数.②设f(x)是定义在实数集D上的函数，若存在一个常数T(T≠0)，具有下列性质:

(1)对于任何的

x∈D，有(x±T)∈D；

(2)对于任何的

x∈D，有f(x+T)=f(x)成立，则f(x)叫做周期函数.③若函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有f(x+T)=f(x)成立，则T就不是f(x)周期.今后本书所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小的正周期.13⑤要重视

“T≠0”且为常数这一条件，若T=0，则f(x+T)=f(x)恒成立，函数值不变没有研究价值；若T为变数，则失去了周期的意义.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期若函数y=f(x)的周期为T，则y=Af(ωx+φ)的周期为，(其中A，ω，φ为常数,且A≠0，ω≠0)④若在函数的定义域内至少能找到一个x

，使f(x+T)=f(x)不成立，我们就断然函数f(x)不是周期函数或T不是函数f(x)的周期.14y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

定义域值域周期性xR.y[-1,1].T=2.我们得到正弦、余弦函数定义域、值域、周期:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx15正弦、余弦函数的奇偶性yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πsin(－x)=－sinx

y=sinx是奇函数cos(－x)=cosx

y=cosx是偶函数定义域关于原点对称y=sinx16正弦函数的单调性

？？yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinx(xR)x…0……π…sinx－1010－1增区间为，

其值从－1增至1.减区间为，

其值从1增至－

1.17余弦函数的单调性

y=cosx(xR)yxO1-1π2π4π-π-2π3πx-π……0……πcosx－1010－1

？？增区间为[－π，0]

，其值从－1增至1.减区间为[0，

－π]，其值从1增至－

1.[－π+2kπ，2kπ]，(k∈z)[2kπ，2kπ+π]，(k∈z)18正弦、余弦函数的对称轴、对称中心:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx对称轴对称中心y=sinxy=cosx函数轴、中心19x0π2πcosx10－1012cosx20－202(1)先用“五点法”画一个周期的图象，列表:例1用“五点法”画出下列函数的简图：(1)y=2cosxx∈R(2)y=sin2xx∈R描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示)xO2-1π2π4π-π-2π3π-21yy=2cosxy=cosx两图象有何关系？20例2求下列函数的最大值及取得最大值时自变量

x的集合：(1)y=cos；解

函数的y=cos的最大值为1，因为使cosz取得最大值的z的集合为:{z|z=2kπ，k∈z}，令z=，由于=2kπ，得x=6kπ.所以，使函数y=cos取得最大值时自变量x的集合为:{z|z=6kπ，k∈z}.练习

函数y=sinx的值域是()A.[－1,1]B.[，1]C.D.B21解

函数的y=2－sin2x的最大值为2－(－1)=3，因为使sinz取得最小值的z的集合为:令z=2x，由于2x=+2kπ，得所以，使函数y=2－sin2x取得最小值时自变量x

的集合为:例2求下列函数的最大值及取得最大值时自变量

x的集合：(2)y=2－sin2x.练习

求下列函数的最小值及取得最小值时自变量

x的集合：(1)y=－2sinx；(2)y=2－cos22例3不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0

(1)sin()–sin();(2)cos()–cos()又y=sinx

在上是增函数，又y=cosx

在[0，π]上是减函数解(1)23

(1)sin2500>sin2600;(2)cos>cos练习1不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:

(1)sin2500

与

sin2600;(2)cos与

cos练习2

利用函数的性质，比较下列各题中两个三角函数值的大小:

(1)sin103045′与

sinsin164030′;(2)sin5080与

sin1440;(3)cos7600与

cos(－7700)；

(4)cos与

cos.

(4)cos>cossin103045′>sinsin164030′(2)sin5080<

sin1440(3)cos7600

>cos(－7700)24解

(1)

y=2sin(－x)=－2sinx，例4

求下列函数的单调区间：

(1)y=2sin(－x)；(2)y=sin(2x+

)

所以单调增区间为:函数在上单调递增.∴函数在上单调递减，单调减区间为:25例4

求下列函数的单调区间：(2)y=sin(2x+

)

所以单调增区间为:单调减区间为:解

(2)

令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为:函数y=sinz的单调减区间为