第六章 投影变换

第六章投影变换重点：掌握平行投影、透视投影以及投影分类的概念。难点：理解并推导透视投影的变换公式及变换矩阵。课时安排：授课4学时；上机2学时。1/14/20231第六章投影变换实际物体都是三维的，可以在三维直角坐标系中描述，但显示屏是二维的，所以最终还是用二维图形基元产生图形。从三维物体模型描述到二维图形描述的转换过程称为投影变换。

1/14/202326.1投影概念分类一、投影的概念投影变换分为平行投影和透视投影两种：1、透视投影变换：投影射线汇聚于投影中心，或者说投影中心在有限远处的投影。即从空间选定的一个投影中心和物体上每点连直线从而构成了一簇射线，射线与选定的投影平面的交点集便是物体的投影。见下图（a）。2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中心在无限远处的投影。见下图（b）。1/14/202336.1投影概念分类a透视投影变换示意图b平行投影变换示意图1/14/202346.1投影概念分类二、投影的分类

1/14/202356.2正平行投影正平行投影的投影中心是在无限远处，且投影射线与投影平面垂直。

正投影

正轴测投影

1/14/202366.2.1正投影正投影的投影方向与用户坐标系的某个坐标轴方向平行，即投影方向与另外两个坐标轴组成的平面是垂直的。示意图中给出了立方体的各种正投影。

1/14/202376.2.1正投影在观察坐标系中进行平行正投影很方便，因为是按Z方向投影，物体的投影图坐标便与它的Z值无关，所以去掉Z变量便是三维物体的二维投影描述。沿Z方向正投影的变换可表示成：

其中，xp,yp,zp是投影点坐标，xo,yo,zo是物体上点的坐标。1/14/202386.2.2正轴测投影1/14/202396.2.2正轴测投影正轴测投影的投影方向不与坐标轴方向平行。为了达到投影要求，需在用户坐标系中安排恰当的观察坐标系位置。假设观察坐标系与用户坐标系重合。经将用户坐标系先绕y轴旋转θ角，再绕x轴旋转φ角的变换，形成观察坐标系与用户坐标系的新的位置关系，如上图所示。两坐标系之间的变换矩阵为：1/14/2023106.2.2正轴测投影

在观察坐标系中的正投影是去掉它们的z分量，即可得到正轴测投影的图形。常用的正轴测投影有：1/14/2023116.2.2正轴测投影

1、正等轴测投影正等轴测投影：投影方向与各坐标轴夹角相等的正轴测投影，此时物体中各边以相同比例缩小，如图所示。

根据正轴测投影的变换公式（见正轴测投影示意图），在用户坐标系中，1/14/2023126.2.2正轴测投影x轴上A点［1001］。变换后为：［1001］·H=[cosθsinθ·sinφ-sinθ·cosφ1]y轴上B点［0101］。变换后为：［0101］·H=[0cosφsinφ1]z轴上C点［0011］。变换后为：［0011］·H=[sinθ-cosθ·sinφcosθ·cosφ1]1/14/2023136.2.2正轴测投影在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上述三点到坐标原点的长度是,按正等轴测投影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长度的投影长度应相等：A'O=B'O、C'O=B'O即1/14/2023146.2.2正轴测投影解上述方程组：，，，，所以正等轴测投影变换矩阵为：

1/14/2023156.2.2正轴测投影正二轴测投影：投影线与各坐标轴的夹角中有两个相等，使得物体中有两个与坐标轴平行的边等比例缩小的正轴测投影，如图所示。

设投影线与x轴及y轴的夹角相等，则A‘O=B’O即：

1/14/2023166.2.2正轴测投影另给一约束条件，设原用户坐标系中z方向单位长度的投影长度是k，即：

解上述方程：，，，。从而可以确定投影变换矩阵H。1/14/2023176.2.2正轴测投影3、正三轴测投影正三轴测投影：投影线与各坐标轴夹角全不相等，使得物体中三个与坐标轴平行的三条边各以不同比例缩小的正轴测投影，如图所示。1/14/2023186.3斜平行投影

斜平行投影：是指投影射线方向不与投影平面垂直的平行投影。若投影方向用矢量［A，B，C］表示，则点(Xo,Yo,Zo)的投影直线可用参数写成：

以Z=0（Zp=0）的平面作为投影平面时，射线与投影面的交点满足t=-Zo/C，所以投影点的坐标是:

1/14/2023196.3斜平行投影Xp=Xo－A·Zo/C和Yp=Yo－B·Zo/C。这些变换关系可写成：[xpypzp1]=[xoyozo1]·Mob其中

常用的斜平行投影有：1/14/2023206.3斜平行投影1、斜等测投影

斜等测投影：投影方向与投影平面成45°的斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的线的投影长度不变。2、斜二测投影

斜二测投影：与投影平面成arctg(2)角的斜平行投影，它使垂直投影平面的线产生长度为原来1/2的投影线。1/14/2023216.4透视投影透视投影：投影射线汇聚于投影中心，或者说投影中心在有限远处的投影。

1/14/2023226.4透视投影透视投影变换的观察坐标系中（见上图所示），投影中心处于坐标系原点，投影平面与Z轴垂直并距原点距离为d。由相似三角形关系求得空间点P(x0，y0，z0)和投影平面上投影点P'(xp，yp，zp)的坐标关系：xp=x0·d/z0yp=y0·d/z0zp=d可见随着物距z0的增大，投影点的xp和yp将减小。在齐次坐标系中这个变换关系可写成如下所示：1/14/2023236.4透视投影[x'py'pz'pw]=

由上式得[x'py'pz'pw]=[x0y0z0z0/d]，可见w=z0/d，所以

透视投影分为三类：1/14/2023246.4透视投影1、一点透视一点透视：由透视变换关系可见，只有与投影平面平行的平行线（它们有相同的z0值）才能在投影线之间继续保持平行，垂直投影平面的平行线的透视投影线将汇聚到一个消失点（xi=0,yi=0）上（见示意图）。由平行于用户坐标轴的平行线投影产生的消失点称为主消失点。按照投影面的方向可对在用户坐标系中正放的矩形体产生一个主消失点，即投影平面与一个坐标轴相交，这种投影被称为一点透视。1/14/2023256.4透视投影1/14/2023266.4透视投影2、两点透视二点透视：按照投影平面的方向可对在用户坐标系中正放的矩形体产生二主消失点，即投影平面与二个坐标轴相交，这种投影被称为二点透视。

二点透视示意图1/14/2023276.4透视投影3、三点透视三点透视：按照投影面的方向可对在用户坐标系中正放的矩形体产生三主消失点，即投影平面与三个坐标轴相交，这种投影被称为三点透视。1/14/2023