第二章有导体时的静电场

第二章有导体时的静电场2.1.1静电感应静电平衡1.静电感应现象:导体在外电场中其自由电荷重布的现象.2.静电平衡特征：导体内部及表面没有电子的宏观移动.§2.1

静电场中的导体带电导体：总电量不为零的导体；

中性导体：总电量为零的导体；

孤立导体：不受其它电荷影响的导体；

导体的静电感应过程无外电场时+E外+++++++++++++++++++EE外E感+==内0导体达到静电平衡E外E感金属球放入前电场为一均匀场E+++++++E金属球放入后电力线发生弯曲,电场变为非均匀场1、

导体内部任意一点的场强为零。2、

导体表面处的场强方向与该处表面垂直。等势体等势面导体内:导体表面:1、电势分布：导体是一等势体,表面是一等势面。证明:三.导体的静电平衡条件四

.静电平衡导体的基本性质2、电荷分布：静电平衡导体内部不存在宏观的净电荷（即电荷体密度处处为零），电荷只分布在导体表面上。3、电场强度分布：静电平衡导体表面外附近空间的带电导体表面附近场强方向与导体表面垂直，场强大小与该处导体表面的电荷面密度成正比。表面附近作小圆柱形高斯面，由高斯定理：证明:证明：绕空腔取高斯面S:2.1.3孤立导体的形状对电荷分布的影响

①在一个孤立导体上面电荷密度的大小与表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体，在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密；表面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的地方（曲率为负）电荷更疏。如图：+++++++++++++++曲率大处(尖、凸）,电荷面密度大.曲率小处(平、凹）,电荷面密度小.导线证明:即：将两相距足够远的导体球用导线连接则:带电导体外表面电荷分布规律避雷针的工作原理云层带电绝大多数带电云底层带负电,顶层带正电接地尖端放电及其应用2.1.4导体静电平衡时的讨论方法已知导体的形状﹑相对位置及导体所带的电荷或电势，根据静电场方程求解。

我们知道，电场线的性质形象地反映了静电场的两个规律，用电场线的性质去定性地讨论一些问题，能够得到一些令人满意的结果。静电平衡时的电场分布、电荷分布情况[例1]：如图所示带电系统。A++++B+++---1、电场线能不能由导体B的一端正电荷发出而终止于另一端的负电荷?

不能。因为电力线总是从电势高的地方指向电势低的地方，而导体B是一个等位体。2、带正电的导体A接近不带电的导体B，则在B上离A的远端必有电场线发出而终止于无穷远。为什么?B+++---A++++S可以作一个闭合曲面S包围B的右端。因S面内有正电荷，由高斯定理可知，闭合面上必有正通量，即有电力线穿出，由（1）可知，电场线不能终止于B的左端，也不能终止于A上的正电荷，所以只能终止于无穷远处。3、带正电体A接近不带电的导体B，B的电势将升高。为什么?

在A未接近B时，B与无穷远间没有电场线联系，B的电势与无穷远相同。当A接近B时，B的右端必有正感应电荷发出电场线到无穷远，所以B的电势必然高于无穷远的电势。因此B的电势是升高了。

与此类似，可证明带负电的物体接近B时，B的电势将降低。4、施感电荷的电量必大于或等于感应电荷的电量B+++---A++++S1S2

B上左端的负感应电荷必有电场线终止于其上，但这些电场线既不能是由B上右端的正电荷发出，又不能由无穷远发出，否则与（3）结论矛盾。所以电场线只能由A发出。另一方面，A还可以向无穷远发出电场线，从高斯面S1和

S2来看，S1的正通量必大于（或等于）S2的负通量的数值，再由高斯定理可知，S1所包围正电荷的数值必大于（或等于）S2面所包围负电荷的数值。5、不带电导体B左端接地，B上不存在正电荷B---A++++×××无穷远

若将B右端接地，则右端的正电荷就沿接地线流入大地，B上不存在正电荷了（实际上是电荷重新分布达到新的平衡的结果）。

若将B的左端接地，同样是正电荷“跑掉”。这是静电平衡导体的基本性质所决定的电荷重新分布的结果。假若B上有正电荷存在，那么B右端一定要发出电场线，但这些电场线一不能终止于B上负电荷，二不能终止于A上正电荷，三不能终止于地（因为B接地后已和地构成一个等位体），电场线既然无处可去，B上就不可能有正电荷存在，这与接地线在何处无关。[例2]中性封闭金属壳内有一个电量为q的正电荷，求壳内、外壁感应电荷的数量。+q

由高斯定理可知：

在金属壳内作一高斯面，且有所以所以又根据电荷守恒定律，已知壳为中性，现知内壁所带的电荷量为-q，那么外壁必有+q。[例3]如图所示，求感应电荷q’。oRlq高斯定理:

选无限远为电势参考点，通常认为大地与无限远等电势，因此导体球各点的电势为零，球心当然不例外，球心的电势U0是由点电荷q及球面上感应电荷q’共同产生的，前者的贡献为球心的电势：所以上述结果说明感应电荷的绝对值小于施感电荷的绝对值，与前面定性讨论结果一致。当这相当于点电荷置于无限大导体平面前的情况。§2.2封闭金属壳内外的静电场

把导体（包括中性导体）引进静电场中，就会因电荷重新分布而使电场发生改变。利用这个事实，可以根据需要人为地选择导体的形状来改造电场。这种改造应用很广，本节讨论空腔导体的性质。一、壳内空间的场分两类情况：一类空腔内无带电体，另一类空腔内有带电体，它们的静电性质有所不同。1、空腔内无带电体基本性质：不论壳外带电体情况如何，在静电平衡状态下，导体壳的内表面上处处电荷为零，电荷只能分布在外表面上，空腔内各点场强为零，或者空腔内的电势处处相等。证明：①壳内表面各点电荷密度为零。空腔在导体壳内﹑外表面之间任取一高斯面，由于该面完全处在导体内部，根据静电平衡条件，则有如果导体壳带电量，那么这些电荷只能分布在导体的外表面上。②壳内空间各点场强为零根据以上得到结论，既然内表面处处都有，故没有的存在，并且因电场线既不可起、止于内表面，又不能在空腔内有端点或形成闭合线，所以腔内不可能有电场线和电场，故空腔内各点电势相等。++++---导体壳对上述结论不应产生误解，若壳外有一个正点电荷q，是否由于壳的存在，q

就不在壳内空间激发场呢？当然不是！根据场的迭加原理，任何点电荷都要按点电荷场强公式在空间任何点激发电场，不论周围有什么存在。壳内空间场强之所以为零，只是由于壳的外壁感应出异号电荷，它们与q在壳内空间任一点激发的合场强为零，可见，所谓壳外电荷在壳内无电场，这“壳外电荷”是包括壳的外壁电荷在内的。空腔2、空腔内有带电体基本性质：导体壳腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零，壳外电荷对壳内电场无影响。在导体壳内﹑外表面之间作一高斯面，得到qS这说明：如果导体壳内物体带电为q，内表面一定感应出-q；如果导体壳内物体带电为-q，内表面一定感应与+q。

壳外电荷和导体壳外表面的电荷对空腔内激发的合场强同样是相抵消的。二、壳外空间的场也分两类情况：即壳外空间无带电体和有带电体。1、壳外空间无带电体基本性质：壳外空间无带电体时仍然可能有电场存在。证明：设导体壳为中性。壳内有一正点电荷q，根据Gauss定理和电荷守恒定律，q可得到壳内、外表面的感应电荷分别为-q和+q。显然，外表面的电荷将发出电场线，因此壳外存在电场，这个场是壳内电荷q通过在壳外感应出等量电荷间接引起的。所谓壳内带电体q只在壳外间接引起电场，并不是说q本身不在壳外激发电场（根据迭加原理，q肯定要在壳外激发电场），而是指q以及由它在壳内表面感应的等量负电荷在壳外空间激发的合场强为零。将导体壳外表面与大地相接，就可消除壳外空间的场。q×∞当外表面接地后，外表面的电荷通过接地线流入大地，因此不再在壳外激发电场。也可用反证法解释：假若外表面还存在感应正电荷，那么它一定有电力线发出，这电力线不能终于于外表面，也不能终止于无穷远（此时外表面与大地接通，构成了等位体），往哪里去！故可见外表面无电荷存在。2、壳外空间有带电体基本性质：当壳外空间有带电体时，接地壳外表面仍然可能有电荷存在。反证法：假定导体壳外表面各点电荷面密度为零，并且空间除点电荷q外无别的电荷存在，那么导体壳体内（指金属内部）场强就不会为零，这与静电平衡条件矛盾。见下图壳内无电荷----qq‘----q壳内有电荷由此可见，在导体壳接地时，壳外电场由壳外电荷决定，与壳内电荷无关。综上所述，封闭导体壳（不论接地与否）内部电场不受壳外电荷的影响，这称为外屏蔽；接地封闭导体外部电场不受壳内电荷的影响，称之全屏蔽。§2.3电容器及其电容一、孤立导体的电容所谓“孤立”导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。设想一个孤立导体带电量为q，它将具有一定的电势U，理论与实验表明：随着q的增加，U将按比例地增加，关系式Uq式中C与导体的形状和尺寸有关，与q和U无关，称之为孤立导体的电容。孤立导体电容的物理意义为：使导体每升高单位电势所需的电量。电容的单位：在国际单位制中，电容的单位为法拉。为了理解电容的意义，可比喻为：我们向几个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不相同的。这是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。++++++++++例1求半径为R的孤立导体球的电容.解:令球带电q,其电势为:C仅与导体的几何因素有关，与导体是否带电无关。地球可看成一个导体球，它的半径约6400千米，它的电容C约为

按型式分：固定、可变、半可变电容器.二.

电容器及其电容a）电容器分类:按形状分：柱型、球型、平行板电容器等.共同特点：非孤立导体，由两个能带有等值异号电荷的导体组成。按介质分：空气、云母、陶瓷、电解电容等.b）电容器电容的定义----一个极板所带电量----两个极板间的电势差比值与q无关，由板的形状、大小、相对位置及介质环境决定.称电极或极板三、电容器的电容的计算简单讨论三种几何形状规则的带电导体组的电容计算问题。1、平行板电容器A、B

两板的面积均为S，A板带正电（+σ）B板带负电（-σ），两板间的距离为d(d较两板的线度小得多），求电容CAB+σ-σ由对称性，运用Gauss定理已求得两板之间的电场为均匀场，其值为两板之间的电势差为：按电容的定义式，即有由此可见，加大电容器的电容量的途径有二：①缩小板间的距离d；②增大板上的面积。2.球形电容器已知:电势差:由定义:讨论孤立导体的电容设A,B分别带电+q,-qA,B间场强分布:平行板电容器电容3、圆柱形电容器（3）（2）（4）电容++++----（1）设两导体圆柱面单位长度上分别带电综上所述，计算电容的步骤为：①设电容器两极上分别带电荷±q，计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极板间的电势差UAB；②所得的UAB必然与q成正比，利用电容的定义式求出电容C，它一定与q无关，完全由电容器本身的性质（几何形状，尺寸）决定。三、电容器的串并联1.串联电荷A、B间等效电容:A、B间电势差:2.并联电荷A、B间等效电容:A、B间电势差:§2.5带电体系的静电能一、带电体系的静电能

物体的势能应是物体与地球这个系统的;静电能的概念属于带电体系。

静电能本身的数值是相对的，要讨论一个带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说明相对与何种状态而言。设想

带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此