2022-2023学年甘肃省张掖市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022-2023学年甘肃省张掖市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.A.A.

B.

C.

D.

2.

3.

4.

5.设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)()．

A.不存在零点

B.存在唯一零点

C.存在极大值点

D.存在极小值点

6.

7.微分方程y''-7y'+12y=0的通解为（）A.y=C1e3x+C2e-4x

B.y=C1e-3x+C2e4x

C.y=C1e3x+C2e4x

D.y=C1e-3x+C2e-4x

8.

9.

10.曲线y=lnx-2在点(e，-1)的切线方程为()A.A.

B.

C.

D.

11.

12.

13.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

14.

15.

16.设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是（）．A.A.f(x)在点x0必定可导

B.f(x)在点x0必定不可导

C.

D.

17.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

18.

19.

20.

21.方程z=x2+y2表示的曲面是（）

A.椭球面B.旋转抛物面C.球面D.圆锥面22.A.A.2B.1C.0D.-1

23.当x→0时,与x等价的无穷小量是

A.A.

B.ln(1+x)

C.C.

D.x2(x+1)

24.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A.A.2B.-2C.3D.-325.下列等式中正确的是()。A.

B.

C.

D.

26.（）。A.

B.

C.

D.

27.设函数为()．A.A.0B.1C.2D.不存在

28.

A.

B.

C.

D.

29.

30.

31.A.2B.1C.1/2D.-1

32.设z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

33.

34.

35.

36.

37.若y(x-1)=x2-1，则y'(x)等于（）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-138.A.A.1

B.

C.

D.1n2

39.

40.

二、填空题(50题)41.

42.

43.

44.

45.46.设z=ln(x2+y)，则dz=______．47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.若f(ex)=1+e2x，且f(0)=1，则f(x)=________。57.58.

59.

60.

61.

62.设f(x＋1)=3x2＋2x＋1，则f(x)=_________．

63.

64.设区域D：x2+y2≤a2，x≥0，则

65.

66.

67.68.________。

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为．77.设f(x)在x=1处连续，=2，则=________。78.

79.

80.过M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为______．81.

82.

83.设y=e3x知，则y'_______。

84.

85.将积分改变积分顺序，则I=______.

86.

87.

88.

89.

90.设f(x，y，z)=xyyz，则

=_________．三、计算题(20题)91.

92.证明：

93.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

94.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．95.

96.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

97.

98.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

99.

100.

101.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则102.求曲线在点(1，3)处的切线方程．103.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．104.105.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．106.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．107.求微分方程的通解．108.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

109.110.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．四、解答题(10题)111.112.用洛必达法则求极限：

113.

114.

115.设z=z(x，y)由方程e2-xy+y+z=0确定，求dz．

116.

117.

118.

119.

120.五、高等数学(0题)121.x→0时，1一cos2x与

等价，则a=__________。

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

2.C解析：

3.A

4.C

5.B由于f(x)在[a，b]上连续f(z)·fb)<0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，y=f(x)在(a，b)内至少存在一个零点．又由于f(x)>0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，因此f(x)在(a，b)内如果有零点，则至多存在一个．

综合上述f(x)在(a，b)内存在唯一零点，故选B．

6.A解析：

7.C因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程为r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解为：y=C1e3x+C2e4x

8.D

9.D

10.D

11.C解析：

12.C

13.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

14.D

15.A

16.C本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．

这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C．

17.D本题考查了曲线的渐近线的知识点，

18.A

19.C

20.B

21.B旋转抛物面的方程为z=x2+y2.

22.C

23.B本题考查了等价无穷小量的知识点

24.C点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．

25.B

26.C由不定积分基本公式可知

27.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

28.C

29.C

30.D

31.A本题考查了函数的导数的知识点。

32.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

33.D解析：

34.C

35.C解析：

36.C

37.A因f(x-1)=x2-1，故f(x)=(x+1)2-1=x2+2x，则f'(x)=2x+2.

38.C本题考查的知识点为定积分运算．

因此选C．

39.D解析：

40.A41.e-1/2

42.

43.

44.

解析：45.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

46.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

先求出如果两个偏导数为连续函数，则可得知

由题设z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得

当X2+y≠0时，为连续函数，因此有

47.1本题考查了收敛半径的知识点。

48.1/21/2解析：

49.2

50.33解析：

51.

解析：

52.-3sin3x-3sin3x解析：

53.

54.y=-e-x+C

55.2

56.因为f"(ex)=1+e2x，则等式两边对ex积分有

57.

58.

59.

60.

61.

解析：

62.63.2本题考查的知识点为极限运算．

由于所给极限为“”型极限，由极限四则运算法则有

64.

解析：本题考查的知识点为二重积分的性质．

65.x(asinx+bcosx)

66.67.F(sinx)＋C．

本题考查的知识点为不定积分的换元法．

68.1

69.

70.3/23/2解析：

71.

72.

73.0

74.-ln｜3-x｜+C

75.2x-4y+8z-7=076.y＝f(1)．

本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为

y—f(1)＝0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y－1＝0．77.由连续函数的充要条件知f(x)在x0处连续，则。

78.

79.0

80.本题考查的知识点为直线方程的求解．

由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

81.1

82.(03)(0,3)解析：83.3e3x

84.xex(Asin2x+Bcos2x)由特征方程为r2-2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x).

85.

86.x=2x=2解析：87.(－∞，＋∞)．

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

若ρ＝0，则收敛半径R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．

若ρ＝＋∞，则收敛半径R＝0，级数仅在点x＝0收敛．

88.(1+x)ex(1+x)ex

解析：

89.11解析：

90.=xylnx.yz+xy.zyz-1=xyz-1y(ylnx+z)。

91.

则

92.

93.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

94.

95.由一阶线性微分方程通解公式有

96.

97.

98.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

99.

100.101.由等价无穷小量的定义可知102.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

103.

列表：

说明

104.

105.106.由二重积分物理意义知

107.

108.

109.110.函数的定义域为

注意

111.【解析】本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分．

解法1

解法2利用微分运算

【解题