数学模型数学建模 第四次作业 整数规划和对策论模型范文

数学模型第四次作业整数规划和对策论模型

4.1实验目的

学会建立整数规划模型、对策论模型，学会用

LINGO软件求解。

4.2基本实验

工程安排问题三年内有五项工程可以考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用如表4.1所示。假定每一项已经选定的工程要在整个三年内完成。目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。

解：根据题意，设x.

i

第个工程未被选中

第个工程被选中

i=1,2,3,4,5

表4」每项工程的期望收入和年度费用表〔单位；千元）

工程

贺用

收入

第一年

第二年

第二年

1

5

1

8

20

2

4

7

10

40

3

3

9

2

20

4

7

4

1

15

5

8

6

10

30

可用基金

25

25

25

目标函数为：Max

20x40x20x15x30x

12345

限制条件为：

5x

4x

3x

7x

8x

25

1

2

3

4

5

x

7x

9x

4x

6x

25

1

2

3

4

5

8x

10x

2x

x

10x

25

1

2

3

4

5

s.t.

x为0或1

i

使用Lingo编程:

model:

max=20*x1+40*x2+20*x3+15*x4+30*x5;

5*x1+4*x2+3*x3+7*x4+8*x5<=25;

1*x1+7*x2+9*x3+4*x4+6*x5<=25;

8*x1+10*x2+1*x3+2*x4+10*x5<=25;

@bin(x1);

@bin(x2);

@bin(x3);

@bin(x4);

@bin(x5);

end

运行得到结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:95.00000

Objectivebound:95.00000

Infeasibilities:0.

Extendedsolversteps:0

Totalsolveriterations:0

Variable

Value

ReducedCost

X1

1.

-20.00000

X2

1.

-40.00000

X3

1.

-20.00000

X4

1.

-15.00000

X5

0.

-30.00000

Row

SlackorSurplus

DualPrice

1

95.00000

1.

2

6.

0.

3

4.

0.

4

4.

0.

分析结果易知，总收入达到最大为95（千元），应选第一、二、三

四项工程可以使总收入达到最大。

固定费用问题

一服装厂生产三种服装，生产不同种类的服装要租用不同的设备，设备租金和其他的经济参数如表4.2所示。假定市场需求不成问题，服装厂每月可用人工工时为2000小时，该厂如何安排生产可以使每月利润达到最大？

表4.2服装厂设备租金和其他的经济参数

服装

设备租

生产成本

销售价格

人工工时

设备工时

设备可

种类

金（元）

（元/件）

（元/件）

（小时/件）

（:小时/件）

用工时

西服

5000

280

400

5

3

300

衬衫

2000

30

40

1

0.5

300

羽绒服

3000

200

300

4

2

300

解：

/UI•

根据题意三种服装的利润分别为120元、10元、100元.

设Xj表示生成第i（i=l,2,3种服装的数量,人表示是否生产第i种服装。

1,生产第i种服装

y

j0,不生产第i种服装

列出目标函数：

maX120X10X100X（5000y2000y3000y）

123123

列出限制条件：

5x+x+4x<2000

123

3x1<300y1

0.5x2<300y2

22

2x3<300y3

33

使用Lingo编程求解:

model:

set:

m/1,2,3/:x,y;

endsets

[objmax=100*x(1)+10*x(2)+100*x(3)-5000*y(1)-2000*y(2)-3000*y(3);5*x(1)+x(2)+4*x(3)<=2000;

3*x(1)<=300*y(1);

0.5*x(2)<=300*y(2);

2*x(3)<=300*y(3);

@for(m(i):x(i)>@bin(y(i)););

end

得到结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:21000.00

Objectivebound:21000.00

Infeasibilities:0.

Extendedsolversteps:0

Totalsolveriterations:0

Variable

Value

ReducedCost

X(1)

100.0000

0.

X(2)

600.0000

0.

X(3)

150.0000

0.

Y(1)

1.

-5000.000

Y(2)

1.

-4000.000

Y(3)

1.

-12000.00

Row

SlackorSurplus

DualPrice

OBJ

21000.00

1.

2

300.0000

0.

3

0.

33.33333

4

0.

20.00000

5

0.

50.00000

6

100.0000

0.

7

600.0000

0.

8

150.0000

0.

所以三种服装应该都生产，

且生产西服100件、衬衫600件、羽绒服150

件时可以使每月利润达到最大21000元。

串并联系统可靠性问题

有一台电器由三个部件组成，这三个部件串联，假如有一个部件发生故障，电器就不能工作。可以通过在每个部件里安装1到2个备份元件来提高该电器的可靠性（不发生故障的概率）。表4.3列出了可靠性和成本费用。假设制造该电器的已有资金共10万元，那么怎样来构造这件电器呢？

表4.3每种元件的可靠性及成本费用（单位；万元）

并联元件数

部件1

部件2

部件3

可幕性

费用

可靠性

费用

可靠性

费用

1

0.6

1

0.7

3

0.5

2

2

0.8

2

0.8

5

0.7

4

3

0.9

3

0.9

6

0.9

5

解：构造集合bujian/1..3部件)，yuanjian/1..2每个部件可并联的元件

数集合)，links(bujian,yuanjian):(p,C,R

其中1给i部件并联j个元件

pij0，其他

列出Lingo程序：

model:

sets:

bujian/1..3/;!部件1,2,3;

yuanjian/1..2/;!每个部件可装元件1,2;

links(bujian,yuanjian)/1,11,22,12,23,13,2/:p,C,R;!p(i,j)=1，则

表示部件i上并联j个元件，否则，p(i,j)=0.C,R分别为成本，可靠性；

!links中的元素必须罗列出来;

endsets

data:

C=12

35

24;

R=0.600.80

0.700.80

0.500.70;

enddata

max=@prod(bujian(I):@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J)*R(I,J)

));!整个系统的可靠性,为每个部件的可靠性之积;

@for(bujian(I):@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J))=1);

@for(links(I,J)|@in(links,I,J):@bin(p(I,J)));

!对于每一个部件，并联的元件数是一定的，p(I,J)只能取0或1,且p(I,J)的和为1；@sum(bujian(I):

@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J)*C(I,J)))<=10；!总成本小

于10(万元)；

end

运行得到如下结果：

Linearizationcomponentsadded:

TOC\o"1-5"\h\z

Constraints:64

Variables:16

Integers:16

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:0.

Objectivebound:0.

Infeasibilities:0.

Extendedsolversteps:0

Totalsolveriterations:12

Variable

Value

ReducedCost

P(1,1)

0.

0.

P(1,2)

1.

0.

P(2,1)

1.

0.

P(2,2)

0.

0.

P(3,1)

0.

0.

P(3,2)

1.

0.

C(1,1)

1.

0.

C(1,2)

2.

0.

C(2,1)

3.

0.

C(2,2)

5.

0.

C(3,1)

2.

0.

C(3,2)

4.

0.

R(1,1)

0.

0.

R(1,2)

0.

0.

R(2,1)

0.

0.

R(2,2)

0.

0.

R(3,1)

0.

0.

R(3,2)

0.

0.

RowSlackorSurplus

DualPrice

1

0.

1.

2

0.

0.

3

0.

0.

4

0.

0.

5

1.

0.

因此，此时的最优解可以得到

•

•

即在第一个部件上并联两个元件，第二个部件上并联一个元件，第三个部件上并联两个元件，此时系统的在成本允许的情况下稳定性达到最大0.392。

二选一约束条件

某汽车公司正在考虑生产3种类型的汽车：微型、中型和大型。表4.4给出了每种汽车需要的资源及产生的利润。目前有6000吨钢材和60000小时的劳动时间。要生产一种在经济效益上可行的汽车，这种汽车必须至少生产1000辆。试为该公司制定一个使生产利润达到最大的方案。

表4.43种汽车的资源和利润

资源

汽车的类型

微型

中艸！

大型

所需钢材（吨）

1.5

3

5

所需劳动时间（小时）

30

25

40

产生的利润（美元）

2000

3000

4000

解：设X1、X2、X3分别表示生产微型汽车、中型汽车、大型汽车的数

量。引入0-1变量，化为整数规划。设yi只取0,1两个值，则生产1000辆或不生产用数学表达为：

xi1000yiy{0,1},i1,2,3

i

01变量

1,生产该车型

y

i0，不生产该车型

目标函数：

max=2000*x1+3000*x2+4000*x3;

限制条件：

1.5*x1+3*x2+5*x3<=6000;

30*x1+25*x2+40*x3<=60000;

x1〈=5000*y1;（取个合理范围）

x1>=1000*y1;

x2〈=5000*y2;

x2>=1000*y2;

x3〈=5000*y3;

x3>=1000*y3;

x1,x2,x3为整数；

用Lingo编程求解:

model:

max=2000*x1+3000*x2+4000*x3;

1.5*x1+3*x2+5*x3<=6000;30*x1+25*x2+40*x3<=60000;x1<=5000*y1;

x1>=1000*y1;

x2<=5000*y2;

x2>=1000*y2;

x3<=5000*y3;

x3>=1000*y3;

@bin(y1);

@bin(y2);

@bin(y3);

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

End

运行得到结果：

Objectivevalue:

0.

1

8

Objectivebound:

Infeasibilities:Extendedsolversteps:Totalsolveriterations:

Variable

Value

ReducedCost

X1

0.

-2000.000

X2

2000.000

-3000.000

X3

0.

-4000.000

Y1

0.

0.

Y2

1.

0.

Y3

0.

0.

Row

SlackorSurplus

DualPrice

1

.

1.

2

0.

0.

3

10000.00

0.

4

0.

0.

5

0.

0.

6

3000.000

0.

7

1000.000

0.

8

0.

0.

9

0.

0.

易知生产中型车2000辆可以使生产利润达到最大为美元。

最小覆盖问题

某市管辖6个区（区1区6）.这个市必须明确在什么地方修建消防站在保证至少有一个消防站在每个区的15分钟（行驶时间）路程内的情况下，这个市希望修建的消防站最少。表4.5给出了该市各个区之间行驶需要的时间（单位为分钟）。这个市需要多少个消防站，以及它们所在的位置。

表4.5该市各个区之间行驶需要的时间（单位；分钟）

1

2

3

区4

区5

6

1

0

10

20

30

30

20

[X2

10

0

25

35

20

10

3

20

25

0

15

30

20

lx4

30

35

15

0

15

25

区5

30

20

30

15

0

14

6

20

10

20

25

14

0

解：

/UI•

根据题意，设X表示是否在某区建消防站，c表示两区之间是否15分钟内可以到达，使用Lingo编程：

model:

sets:

area/1..6/:x;

link(area,area):t,c;

endsets

data:

t=

01020303020

10025352010

20250153020

30351501525

30203015014

20102025140;

enddata

calc:

@for(link:c=@if(t#le#15,1,0));endcalc

min=@sum(area:x);

@for(area:@bin(x));

@for(area(i):

@sum(area(j):c(i,j)*x*(i))>=1);

End

解得如下结果：

Globaloptimalsolutionfound.

TOC\o"1-5"\h\z

Objectivevalue:2.

Objectivebound:2.

Infeasibilities:0.

Extendedsolversteps:0

Totalsolveriterations:0

Variable

Value

ReducedCost

X(1)

0.

1.

X(2)

1.

1.

X(3)

0.

1.

X(4)

1.

1.

X(5)

0.

1.

X(6)

0.

1.

因此，若要修建消防站最少，只需在区2、区4建立消防站就可以。

对策问题1

在一次野餐会上，两个二人组在玩捉迷藏游戏。共有四个隐藏地点（A、B、C和D）,隐藏组的两个成员可以分别藏在四个地点的任何两个,搜寻组人有机会寻找任何两个地点。如果他们都找到了隐藏组的二个人，搜寻组就可以得到一分奖励，假如两个人都没找到，他们就输一分。其它情况下，结果是平局。将这个问题表示成一个二人零和对策，求出搜寻组最优搜寻策略和它们的赢得值。

解：

设此题目局中人为甲乙两组列出支付函数：

乙组（隐藏组）

甲组

（寻找组）

AB

AC

AD

BC

BD

CD

AB

1

0

0

0

0

-1

AC

0

1

0

0

-1

0

AD

0

0

1

-1

0

0

BC

0

0

-1

1

0

0

BD

0

-1

0

0

1

0

CD

-1

0

0

0

0

1

因为每行或列得分的和均为0，即局中人得失总和为零，所以该对策为二人零和对策。

MODEL:

sets:

playerA/1..6/:x;

playerB/1..6/;

game(playerA,playerB):C;endsetsdata:C=

10000-1

0100-10

001-100

00-1100

0-10010

-100001;enddatamax=v_A;@free(v_A);@for(playerB(j):@sum(playerA(i):C(i,j)*x(i))>=v_A);@sum(playerA:x)=1;

end

得到结果：

0.

0.

5

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Infeasibilities:

Totalsolveriterations:

VariableValueReducedCostV_A0.0.

TOC\o"1-5"\h\z

X(1)0.0.

X(2)0.0.

X(3)0.0.

X(4)0.0.

X(5)0.0.

X(6)0.0.

因此推出，若搜索组采用50%的概率派出队员去搜索AB和CD的策略，可以得到的赢得值为0。

对策问题2

甲手中有两张牌，各为1点和4点；乙手中有两张牌，各为2点和3点。两人同时各出一张牌，并依据两人所出牌的点数之和来决定各自的收益当点数和为偶数时，甲赢得为两张牌的点数和，乙羸得两张牌的点数差；当点数和为奇数时，甲赢得为两张牌的点数差，乙羸得两张牌的点数和。求甲乙二人各自的最优策略和各自的羸得值。

解：

根据题意列出支付函数

乙

2

3

甲

1

(1,4)

（4,2）

4

(6,2)

（1,7）

该题为一个典型的二人非常数和对策，每人的收益矩阵是不相同的为双矩阵对策。

利用Lingo软件求解：

MODEL:

sets:

optA/1..2/:x;

optB/1..2/:y;

AXB(optA,optB):Ca,Cb;

endsets

data:

Ca=

14

61;

Cb=

42

27;

enddata

Va=@sum(AXB(i,j):Ca(i,j)*x(i)*y(j));

Vb=@sum(AXB(i,j):Cb(i,j)*x(i)*y(j));

@for(optA(i):

@sum(optB(j):Ca(i,j)*y(j))<=Va);

@for(optB(j):

@sum(optA(i):Cb(i,j)*x(i))<=Vb);

@sum(optA:x)=1;@sum(optB:y)=1;@free(Va);@free(Vb);

End

求得结果：

Infeasibilities:

0.E-12

Totalsolveriterations:

20

Variable

Value

VA

2.

VB

3.

X(1)

0.

X(2)

0.

Y(1)

0.

Y(2)

0.

CA(1,1)

1.

CA(1,2)

4.

CA(2,1)

6.

CA(2,2)

1.

CB(1,1)

4.

CB(1,2)

2.

CB(2,1)

2.

CB(2,2)

7.

计算得到混合对策的平衡点为（5/7,2/7）,

（3/8，,此5/时8）的各自的赢得

值为2.875和3.。

4.3加分实验（乒乓球团体赛上场队员排序问题）

乒乓球团体赛的比赛规则如下：从一个队中挑选出的三名比赛队员和一个队长（可由参赛队员兼任，亦可由其他人员专任）组成。比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序：第一场A—X，第二场B—Y，第三场C—Z,第四场A—Y，第五场B—X。每场比赛为三局两胜制。当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。

现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是：Al、A2、A3,乙队挑选出的三名比赛队员分别是：B1、B2、B3,根据以往的历史资料，甲队与乙队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率如表B.1所示。

甲队教练将如何安排上场运动员的次序，使得本队获胜的概率最大。建立相应的数学模型，并说明你的理由。

如果每一局比赛,A1胜B3的概率改为0.45A3胜B1的概率改为0.55在这种情况下，甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序？

表丄6两队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率

队员

3

B-i

艮

0.50

0.55

0.60

月2

0.45

0.50

0.55

0.40

0.45

0.50

解：分析此问题，属于运筹学排序问题。

推理建立模型如下：

这是一个排列问题，用ling软件，

目标函数：max=@sum(shunxu:p*x);

设x(i,为0,1变量，x为一个3*3的0,1矩阵，x(i,表示第i同学是否在第j同学前面，

P为A选手胜B选手的概率二

0.500.550.60

0.450.500.55

0.400.450.50;

约束条件：

选手比赛的前后顺序；每阶段只有一名选手比赛。

列出LingO呈序：

model:

sets:

aa/1..3/:a;

bb/1..3/:b;

cc/1..6/:c;

ps/1..5/;

psc(ps,cc):p;

para(aa,bb):p1,p2,p3,p4,p5,p6,x;

pp(aa,bb,cc):pb,ppb;

endsets

data:

!xyz;

p1=0.50.550.60

0.450.500.55

0.400.450.50;

!yxz;

p2=0.550.600.5

0.500.550.45

0.450.500.40;

!z,x,y;

p3=0.600.500.55

0.550.450.50

0.500.400.45;

!x,z,y;

p4=0.500.600.55

0.450.550.50

0.400.500.45;

!y,z,x;p5=0.550.600.50

0.500.550.45

0.450500.40;

!z,y,x;p6=0.600.550.50

0.550.500.45

0.500.450.40;enddata!yueshu;

calc:

@for(pp(i,j,k):pb(i,j,1)=p1(i,j));

@for(pp(i,j,k):pb(i,j,2)=p2(i,j));

@for(pp(i,j,k):pb(i,j,3)=p3(i,j));

@for(pp(i,j,k):pb(i,j,4)=p4(i,j));

@for(pp(i,j,k):pb(i,j,5)=p5(i,j));

@for(pp(i,j,k):pb(i,j,6)=p6(i,j));endcalc@for(bb(j):@sum(aa(i):x(i,j))=1);

@for(aa(i):@sum(bb(j):x(i,j))=1);

@for(para:@bin(x));

@for(pp(i,j,k):ppb(i,j,k)=x(i,j)*pb(i,j,k));

@for(psc(i,j):p(i,j)=@sum(pp(i,k,j):ppb(i,k,j)));

@for(cc(j):c(j)=p(1,j)*p(2,j)*p(3,j)+

p(1,j)*p(2,j)*(1-p(3,j))*p(4,j)*(1-p(5,j))+

p(1,j)*p(2,j)*(1-p(3,j))*(1-p(4,j))*p(5,j)+

p(1,j)*(1-p(2,j))*p(3,j)*p(4,j)*(1-p(5,j))+

p(1,j)*(1-p(2,j))*p(3,j)*(1-p(4,j))*p(5,j)+

p(1,j)*(1-p(2,j))*(1-p(3,j))*p(4,j)*p(5,j)+(1-p(1,j))*p(2,j)*p(3,j)*p(4,j)+(1-p(1,j))*p(2,j)*p(3,j)*(1-p(4,j))*p(5,j)+(1-p(1,j))*p(2,j)*(1-p(3,j))*p(4,j)*p(5,j)+(1-p(1,j))*(1-p(2,j))*p(3,j)*p(4,j)*p(5,j));

!@for(cc(i):@free(c));p_sum=@sum(cc(i):c);max=p_sum;

end

计算得到结果如下：

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:13.11500

Objectivebound:13.11500

Infeasibilities:0.E-15

Extendedsolversteps:2

Totalsolveriterations:63

Variable

Value

ReducedCost

P_SUM

13.11500

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0.

0.

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0.

0.

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0.

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0.

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0.

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0.

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0.

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0.

TOC\o"1-5"\h\z

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2)

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2)

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0.

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1.

0.E-01

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0.

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1,

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1,

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2,

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0.

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1,

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5)

50.00000