2022-2023学年陕西省汉中市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年陕西省汉中市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.

4.设y=f(x)为可导函数，则当△x→0时，△y-dy为△x的A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.低阶无穷小

5.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

6.

7.

8.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解9.A.2B.1C.1/2D.-210.设()A.1B.-1C.0D.2

11.

12.

13.下列命题正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

14.函数y=x3-3x的单调递减区间为()A.A.(-∞,-1]

B.[-1，1]

C.[1，＋∞)

D.(-∞，＋∞)

15.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)16.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

17.

18.

19.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

20.A.-2(1-x2)2+C

B.2(1-x2)2+C

C.

D.

二、填空题(20题)21.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。22.设y=ex/x，则dy=________。23.

24.

25.

26.

27.函数x=ln(1＋x2-y2)的全微分dz=_________．

28.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

29.

30.

31.32.设区域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，则化为极坐标系下的表达式为______．

33.34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

42.

43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．44.求曲线在点(1，3)处的切线方程．45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.

50.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．51.52.

53.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

54.

55.56.证明：57.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．58.求微分方程的通解．59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．60.四、解答题(10题)61.

62.

63.求方程(y-x2y)y'=x的通解.

64.

65.

66.

67.

68.

确定a，b使得f(x)在x=0可导。

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

=________。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B解析：

2.A

3.C

4.A由微分的定义可知△y=dy+o(△x)，因此当△x→0时△y-dy=o(△x)为△x的高阶无穷小，因此选A。

5.D解析：

6.A

7.D

8.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

9.A本题考查了等价无穷小的代换的知识点。

10.A

11.D

12.A解析：

13.D本题考查的知识点为收敛级数的性质和绝对收敛的概念．

由绝对收敛级数的性质“绝对收敛的级数必定收敛”可知应选D．

14.B

15.C

16.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

17.C

18.A

19.A

20.C

21.

22.23.3yx3y-1

24.

25.

26.f(x)本题考查了导数的原函数的知识点。

27.

28.

29.00解析：

30.22解析：

31.

32.

；本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题．

由于x2+y2≤a2，y＞0可以表示为

0≤θ≤π，0≤r≤a，

因此

33.90

34.

35.1+2ln2

36.00解析：

37.

38.

39.

40.41.由等价无穷小量的定义可知

42.

43.

44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

45.

46.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

47.

列表：

说明

48.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

49.

50.函数的定义域为

注意

51.

52.

则

53.

54.由一阶线性微分方程通解公式有

55.

56.

57.

58.59.由二重积分物理意义知

60.

61.

62.

解法1利用等价无穷小量代换．

解法2利用洛必达法则．

63.

64.

65.

66.

67.解

68.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可导一定连续∴a+b=1②

∵可导f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴