2017~2018学年中考数学复习专题《特殊平行四边形》有试题解答

...wd......wd......wd...2017---2018学年中考数学复习专题--?特殊平行四边形评卷人得分一．选择题〔共12小题〕1．以下性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是〔〕A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是〔〕A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是〔〕A．对边分别相等 B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是〔〕A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是〔〕A．相等 B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，那么菱形的边长是〔〕A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，假设BF=12，AB=10，那么AE的长为〔〕A．16 B．15 C．14 D．138．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，假设AB=2，BC=3，那么EF：GH=〔〕A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，那么线段EF的最小值为〔〕A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，那么∠CDF为〔〕A．80° B．70° C．65° D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，那么∠FPC的度数为〔〕A．55° B．50° C．45° D．35°12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．假设∠COB=60°，FO=FC，那么以下结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题〔共6小题〕13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，那么∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，那么菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，那么DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．以下结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的选项是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，那么∠2=．18．如以下列图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，那么PE+PF的值为．评卷人得分三．解答题〔共6小题〕19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．〔1〕证明：四边形ADCE为菱形．〔2〕BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．〔1〕求证：四边形AECF为矩形；〔2〕试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；〔3〕如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．〔1〕判断△BEC的形状，并说明理由〔2〕判断四边形EFPH是什么特殊四边形并证明你的判断；〔3〕求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．〔1〕求证：BD=DF；〔2〕求证：四边形BDFG为菱形；〔3〕假设AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中考数学复习专题--?特殊平行四边形?参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题〕1．以下性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是〔〕A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．应选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是〔〕A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．应选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是〔〕A．对边分别相等 B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，应选D．4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是〔〕A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；应选D．5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是〔〕A．相等 B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．应选A．6．菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，那么菱形的边长是〔〕A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．应选D．7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，假设BF=12，AB=10，那么AE的长为〔〕A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．应选：A．8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，假设AB=2，BC=3，那么EF：GH=〔〕A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定【解答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，那么∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．应选B．9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，那么线段EF的最小值为〔〕A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．应选A．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，那么∠CDF为〔〕A．80° B．70° C．65° D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．应选D．11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，那么∠FPC的度数为〔〕A．55° B．50° C．45° D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如以下列图：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF〔ASA〕，∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=〔180°﹣70°〕=55°，∴∠FPC=55°；应选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．假设∠COB=60°，FO=FC，那么以下结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF〔SSS〕，∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；应选：C．二．填空题〔共6小题〕13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，那么∠DEC等于75度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣〔∠CDE+∠C〕=75°．故答案为：75．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，那么菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱形ABCD=底×高=2×2=4，故答案为4．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，那么DE的长是3．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，那么AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=〔8﹣x〕2解得x=3，∴DE的长是3．故答案为：3．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．以下结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的选项是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如以下列图：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE〔两直线平行，内错角相等〕，∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE〔SAS〕，即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE〔内错角相等，两直线平行〕，∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO=BD=BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG〔SAS〕，∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE〔SAS〕，∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故答案为：①②④．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，那么∠2=30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故答案为：30°．18．如以下列图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，那么PE+PF的值为．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD===10，∴AO=OD=5，∵S△APO+S△DPO=S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF=12，∴5PE+5PF=24，PE+PF=，故答案为：．三．解答题〔共6小题〕19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．〔1〕证明：四边形ADCE为菱形．〔2〕BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：〔1〕∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；〔2〕在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，∴S菱形ADCE===24．20．，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DGB和△DEC中，，∴△DGB≌△DEC〔AAS〕，∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．〔1〕求证：四边形AECF为矩形；〔2〕试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；〔3〕如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解答】〔1〕证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=〔∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF〕=×180°=90°，∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．〔2〕结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN〔矩形的对角线相等且互相平分〕，∴N是AC的中点，假设M不是AB的中点，那么可在AB取中点M1，连接M1N，那么M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，而MN∥BC，M1即为点M，所以MN是△ABC的中位线〔也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM〕∴MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC∥M