多元函数的基本概念

第八章多元函数微分学§1多元函数的基本概念§2偏导数§3全微分

§4多元复合函数的求导法则§5隐函数的求导法则§6多元函数微分学的应用§7多元函数的极值及其求法第九章多元函数微分法及其应用12005.11本章要求理解多元函数的概念，掌握二元函数的极限概念，知道连续的概念及闭区域上连续函数的性质。掌握偏导数与全微分的概念及几何意义，熟练掌握它们的计算。熟练掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数的一阶、二阶偏导数。熟练掌握空间曲线的切线与法平面方程；空间曲面的切平面与法线方程。理解多元函数极值的概念，会求极值；了解条件极值的概念，会利用拉格朗日乘数法求条件极值。第九章多元函数微分法及其应用2011.2.69-1-2北京工商大学本章重点偏导数与全微分的概念及计算。多元复合函数的求导法则，隐函数的偏导数。空间曲线的切线与法平面方程；空间曲面的切平面与法线方程。拉格朗日乘数法。第九章多元函数微分法及其应用2011.2.69-1-3北京工商大学第一节多元函数的基本概念预备知识多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业多元函数的基本概念2011.2.69-1-4北京工商大学一、预备知识1.平面点集实数组(x,y)的全体,即建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质p的点的集合,称为平面点集,记作(1)平面点集二元有序多元函数的基本概念2011.2.69-1-5北京工商大学(2)邻域

设p0(x0,y0)是xoy

平面上的一个点,几何表示：oxy.

p0令有时简记为称之为①将邻域去掉中心,②也可将以p0为中心的某个矩形内(不算周界)注称之为的全体点称之为点p0邻域.去心邻域.多元函数的基本概念2011.2.69-1-6北京工商大学

(1)内点显然,e的内点属于e.

(2)外点如果存在点p的某个邻域则称p为e的外点.(3)边界点

如点p的任一邻域内既有属于e的点,也有不属于e的点,称p为e的边界点.任意一点与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设e为一平面点集,若存在称p为e的内点.e的边界点的全体称为e的边界,记作使u(p)∩e=,多元函数的基本概念2011.2.67北京工商大学(3)聚点如果对于任意给定的点p的去心邻域内总有e中的点则称p是e的聚点.例如,设点集(p本身可属于e,也可不属于e),则p为e的内点;则p为e的边界点,也是e的聚点.e的边界为集合多元函数的基本概念2011.2.69-1-8北京工商大学(4)开集(5)平面区域

(重要)设d是开集.

连通的开集称区域连通的.如对d内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于d,称开集d是或开区域.如都是区域.若e的任意一点都是内点,例称e为开集.e1为开集.结起来,多元函数的基本概念2011.2.69-1-9北京工商大学(6)有界区域开区域连同其边界,称为否则称为都是闭区域.如总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径

(可伸展到无限远处的区域).闭区域.有界区域.无界区域多元函数的基本概念2011.2.69-1-10北京工商大学oxyoxyoxy

oxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域多元函数的基本概念2011.2.611北京工商大学2.n维空间n元有序数组的全体

n维空间中的每一个元素称为空间中称为该点的第k个坐标.n维空间中两点的距离定义为n维空间中点记作及的邻域为n维空间.称为即的一个点,多元函数的基本概念2011.2.69-1-12北京工商大学二、多元函数的概念1.二元函数的定义按着这个关系有确定的z值与之则称z是x,y的定义1若变量z与d中的变量x,y之间有一个依赖关系,设d是xoy平面上的点集,使得在d内每取定一个点p(x,y)时,对应,记为称x,y为二元(点)函数.称z为自变量,因变量。多元函数的基本概念2011.2.69-1-13北京工商大学点集d称为该函数的称为该函数的数集定义域,值域.二元及二元以上的函数统称为记为

函数在点处的函数值或类似,可定义n元函数.多元函数.多元函数的基本概念2011.2.614北京工商大学例求下面函数的定义域解oxy无界闭区域即定义域为多元函数的基本概念2011.2.69-1-15北京工商大学解oxy定义域是有界半开半闭区域多元函数的基本概念2011.2.616北京工商大学用联立不等式表示下列平面闭区域d.圆弧直线?解及多元函数的基本概念2011.2.617北京工商大学2.二元函数的几何意义研究单值函数二元函数的图形通常是一张曲面.多元函数的基本概念2011.2.69-1-18北京工商大学三、多元函数的极限讨论二元函数

怎样描述呢?oxy

(1)p(x,y)趋向于p0(x0,y0)的回忆:一元函数的极限

路径又是多种多样的.注方向有任意多个,oxy多元函数的基本概念2011.2.69-1-19北京工商大学(2)

变点p(x,y)

这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.总可以用来表示极限过程:与定点p0(x0,y0)之间的距离,记为不论的过程多复杂,多元函数的基本概念2011.2.620北京工商大学定义2记作有成立.的极限.设二元函数p0(x0,y0)是d的聚点.

的定义义域为d,如果存在常数a,也记作或称收敛于a。多元函数的基本概念2011.2.69-1-21北京工商大学例则当证取有证毕.多元函数的基本概念2011.2.69-1-22北京工商大学利用二元函数极限定义的特点，

关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.证明极限不存在。则可断言极限不存在;若极限值与k有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.存在,沿直线多元函数的基本概念2011.2.623北京工商大学例设函数当p(x,y)沿x轴的方向当p(x,y)沿y轴的方向有证无限接近点(0,0)时,同理,无限接近点(0,0)时,多元函数的基本概念2011.2.69-1-24北京工商大学函数的极限存在且相等.当p(x,y)沿直线y=kx

的方向无限其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．说明：函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,接近点(0,0)时,特殊方向多元函数的基本概念2011.2.625北京工商大学例求极限解将分母有理化,得

多元函数的基本概念2011.2.69-1-26北京工商大学例求极限解其中多元函数的基本概念2011.2.69-1-27北京工商大学多元函数的极限的基本问题有三类(1)研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2)求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(3)

研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系.(罗必达法则除外)多元函数的基本概念2011.2.628北京工商大学四、多元函数的连续性设二元函数则称函数定义3p0(x0,y0)为d的聚点,且p0∈d.如果连续.如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)d内的每一点连续,则称函数在d内连续.或称函数是d内的连续函数.

的定义域为d,多元函数的基本概念2011.2.69-1-29北京工商大学若函数在点p0(x0,y0)不连续,函数的间断点.则称p0为

(0,0)点是该函数的间断点.函数在单位圆处处是间断点.函数多元函数的基本概念2011.2.630北京工商大学例想一想

证明f(x,y)在?

证xoy面上处处连续?是初等函数，处处连续.多元函数的基本概念2011.2.69-1-31北京工商大学又于是即证明了f(x,y)在由于xoy面上处处连续.多元函数的基本概念2011.2.632北京工商大学五、有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次．介于这两值之间的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界闭区域d上的多元连续函数,在d上在有界闭区域d上的多元连续函数,如果在d上取得两个不同的函数值,则它在d上取得多元函数的基本概念2011.2.69-1-33北京工商大学六、小结多元函数的