陈林华2422切线长定理资料讲解

陈林华2422切线长定理切线长概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。OPAB

切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。切线和切线长OPABOPAB∟∟M根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？⌒⌒12证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2证明猜想关键是作辅助线~

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。OPAB已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．练习一OFPE⌒12⌒切线长定理的拓展

BOPAHDC想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？PABCO如AC为直径，观察OP与BC的位置关系，并给予证明。巩固练习：（1）已知OA=3cm,OP=6cm，则PA=

，∠APB=

。

3√360°（2）OP交⊙O于M，则

，ＡＢ与ＯＰ有何关系？ＡＭ＝ＢＭ⌒⌒M已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，∠P=70

求：△PEF的周长。EAQPFBO小结（1）切线长定理。（2）连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线。P·OA切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.

如图纸上有一⊙O，PA为⊙O的切线，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？探究利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO的关系？PB·OAPA，PB是⊙O的两条切线,∴OA⊥AP

OB⊥BP.又

OA=OB，OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB∠OPA=∠OPB.

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.切线长定理：PB·OA

下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？?思考·CABlCAB

假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相切，这个圆的圆心到三角形三条边的距离都等于半径，如何找到圆心？CAB三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设他们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径做圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.CABIDMNr与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，．o外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形内切圆．o内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC例2如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:

设AF=x（cm），则AE=x，CD=CE=AC－AE=13－x，BD=BF=AB－AF=9－x，由BD+CD=BC可得（13－x）+（9－x）=14.解得x=4cm.因此AF=4（cm），BD=5（cm），CE=9（cm）.·CABEFOD1.如图，△ABC中，∠ABC=50°∠ACB=75°，点O是内心，求∠BOC的读数.练习``解：∠BOC=180°－（∠ABC+∠ACB）

=117.5°

=180°－（50°+75°）A·CBO2.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）解：

设:AB=c

BC=a

AC=b则CAB·ODMNrrrP1016切线长定理：6.解：因为PA，PB是⨀O的切线，所以PA=PB，∠PAB=∠PBA.又由题意知OA⊥PA，∠OAB=25〬,所以∠PAB=90〬-25〬=65〬所以∠P=180〬-2∠PAB=180〬-65〬×2=50〬P1017：7.解：半径为4cm的圆可以做两个，半径为3cm的圆只能作一个，不能作出同时经过A,B两点，且半径为2cm的圆.

P1018：8.提示：锐角三角形的外心在这个三角形的内部；直角三角形的外心在这个直角三角形的斜边的中点；钝角三角形的外心在这个三角形的外部.

P1019：9.提示：可以在车轮上任意连接两点，作出它的中垂线，重复一次，则这两条中垂线的交点即为圆心，从而可确定它的半径.

P10110：

P10110：10.解：设圆心为O，如图48所示，连OW,OX,因为YW,YX均是⨀O的切线，W,X均为切点，所以OW⊥WY,OX⊥XY.又因为XY⊥WY,所以∠OWY=∠OXY=∠WYX=90〬,所以四边形OXYW是矩形.又因为OW=OX,所以四边形OXYW是正方形，所以OW=WY=0.65m.答：这个油桶的底面半径是哦0.65m.

11.解：连接OE,OG,则OE⊥AB,OG⊥CD,又因为AB//CD,所以点E,O,G在同一直线上.由AB,CD,BC均是⨀O的切线，可得∠BOC=90〬.在Rt△BOC中，OB=6cm，CO=8cm，所以BC=√(OB2+OC2)=√(62+82)=10(cm).答：BC的长是10cm.

P10112：12.证明：连接OC,∵CD为⨀O的切线，C为切点，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD∴AD//OC,∴∠DAC=∠OCA.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB.

P10113：13.解：连接O₁B，O₁O₂，O₂A，O₂B.∵两个圆是等圆，而⨀O₁经过O₂，故⨀O₂过O₁,∴O₁A=O₂A=O₁B=O₂B=O₁O₂，∴四边形AO₁BO₂是菱形，又O₁O₂=O₁A，∴△O₁AO₂是等边三角形，∴∠O₁AO₂=60〬.∵AB是菱形AO₁BO₂的对角线，∴∠O₁AB=1/2∠O₁AO₂=1/2×60〬=30〬.

P10114：

14.解：如图49所示，连接OA,OB,OC,设⨀O与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F，连接OD,OE,OF，则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1/2AB•OD+1/2BC•OE+1/2AC•OF=1/2AB•r+1/2BC•r+1/2AC•r=1/2r(AB+BC+AC)=1/2r(a+b+c),又∵S△ABC=1/2AC•BC=1/2ab,∴1/2r(a+b+c)=1/2ab,∴r=ab/(a+b+c).

24.2.2直线与圆的位置关系(3)在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长·OPAB定理形成切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论··oo′p1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′，与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线

如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？通过作图你能发现什么呢？观察实验1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称说明经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段·opAB如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？探究∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO结论切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。·opAB符号语言∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？分析∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD归纳从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？⌒⌒我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个思考

如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID内切圆和内心的定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。

ABCDEFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得:X=4Y=9Z=5例1已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半径OA的长为3cm.利用切线长定理进行计算·P·OABc如图，P为⊙O

外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。解：连接OA、AC，则OA⊥AP在Rt△AOP中，设OA＝x则OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4

在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半径为2，两切线的夹角为60°利用切线长定理进行证明·ABCDEO21例2如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，交AC与点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ