六年级上册数学学生易错题整理演示教学

六年级上册数学学生易错题整理江苏高考数学填空题压轴题精选3江苏高考数学填空题压轴题精选3第

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页)江苏高考数学填空题压轴题精选3江苏高考压轴题精选1.如图为函数轴和直线分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为▲.yxOPMQN解：2.已知⊙A：，⊙B:，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若，则P到坐标原点距离的最小值为▲.解：设，因为，所以，即，整理得：，这说明符合题意的点P在直线上，所以点到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线的距离，为3.等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列．求与；解：设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有①由知为正有理数，故为的因子1，2，3，6之一，解①得故4.在中，（1）求的值；（2）求面积的最大值．解：（1）因为，所以，又因为，所以；（2）设，由（1）知，，又因为，所以=≤，当且仅当时取“=”，所以的面积最大值为．5.设等差数列的公差为，，数列是公比为等比数列，且．（1）若，，探究使得成立时的关系；（2）若，求证：当时，.解：记，则，……………1分（1）由已知得消去得，又因为，所以，所以，……………5分若，则，舍去；……………6分若，则，因此，所以（是正奇数）时，；……………8分（2）证明：因为，所以，…………11分时，===所以，当.…………16分6.已知圆O：，O为坐标原点．（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．（ⅰ）求轨迹E的方程；（ⅱ）过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大值．ODCBAyx11（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．解：（1）（ⅰ）连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以，所以，所以，在中，，所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，所以轨迹E的方程为；（ⅱ）设点O到直线的距离分别为，因为，所以，则，则xODBA11Cy≤4=，当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为；（2）设正方形边长为a，，则，．当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在中，，即，xODBA11Cy由，此时；当A、B、C、D按逆时针方向时，在中，，即，由，此时，综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为．7.已知函数.（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）求证：恒成立的充要条件是；（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围.另解：在上恒成立，设，只需.8.已知函数.（1）求证：函数必有零点；（2）设函数（ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围；（ⅱ）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.9.已知函数，为正常数.（1）若，且，求函数的单调增区间；（2）若，且对任意，，都有，求的的取值范围.解：（1），∵，令，得，或，∴函数的单调增区间为，.（2）∵，∴，∴，设，依题意，在上是减函数.当时，，，令，得：对恒成立，设，则，∵，∴，∴在上是增函数，则当时，有最大值为，∴.当时，，，令，得：，设，则，∴在上是增函数，∴，∴，综上所述，10.（1）设，若对于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是▲.（2）若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是▲.解：（1）（2）11.已知是公差不为0的等差数列，是等比数列,其中，且存在常数α、β，使得=对每一个正整数都成立,则=▲.12.在直角坐标系平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“有好点对”）.已知函数则函数的“友好点对”有▲个.13.已知的三边长满足，则的取值范围是▲.解：已知的三边长满足，则的取值范围是▲.解：14.已知分别以为公差的等差数列,,满足．（1）若,且存在正整数,使得,求的最小值；（2）若，且数列,的前项和满足,求的通项公式.解：（1）证明:,，即,……4分.等号当且仅当即时成立,故时，.……7分（2），，=，…10分=，，……13分故得，,，因此的通项公式为.……15分15.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数p的取值范围．16.如图，在△ABC中，已知，，，是平分线.ABCD（1）求证：；（2）求的值.（1）在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，所以，，，由①②得，所以（2）因为，所以.在△中，因为，所以17.已知数列的前n项和为，数列是公比为2的等比数列.（1）证明：数列成等比数列的充要条件是；（2）设（），若对任意成立，求的取值范围.18.已知分别以和为公差的等差数列和满足，.（1）若，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列的前项和满足，求数列和的通项公式；（3）在（2）的条件下，令，且，问不等式是否对一切正整数都成立？请说明理由.19.若椭圆过点（-3，2），离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.（1）求椭圆的方程；（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；（3）求的最大值与最小值.（1）；（2）直线PA的方程为：（3）20.已知集合，其中为正常数.（1）设，求的取值范围；（2）求证：当时，不等式对任意恒成立；（3）求使不等式对任意恒成立的取值范围.21.设函数，，且函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.解：

《交通安全在我心中》主题班会教案《交通安全在我心中》主题班会教案

/《交通安全在我心中》主题班会教案《交通安全在我心中》主题班会七（3）班李全一、教学目标：1、通过对学生行路、骑车、乘车等交通安全知识的了解，提高学生的交通安全意识。2、通过学习有关安全知识，使学生树立自护、自救观念，形成自护、自救的意识，使学生安全、健康成长。二、教学内容：行路的安全、乘汽车的安全、骑车的安全三、教学时间：四、教学过程：（一）列举交通安全事故交通安全：交通安全，一个永恒的话题；交通安全，一个关系家庭幸福的话题。自从1886年德国人发明了世界上第一辆以汽油做燃料的机动车以来，它使人类进一步向现代文明迈进，但同时也带来了交通事故这一灰色阴影。当一个鲜活的生灵瞬间成为车轮下的亡灵时，当一个好端端的家庭因为惨痛的车祸而支离破碎时，怎不让我们为之警醒？我国每年因各类事故死亡人数约１０万人，道路交通事故死亡人数占６０％以上。我国的交通事故死亡人数位居世界首位，平均每天有280多人死于车祸。其中中小学生占总人数的10％左右。道路交通是一个世界性的社会问题,它已成为国际社会的一大公害。据统计，２0世纪以来，因交通事故死亡的人数达到２２３５万人，这个数字比第一次世界大战中死亡的人数还多，交通事故已成为全世界非正常死亡的重要因素。许多名人也葬身于车祸之中，如美国的巴顿将军，英国的王妃戴安娜等等。请同学们讲一讲:你见过的或亲身经历过的或亲人朋友遭遇过的交通事故.（举例说明本地区发生的学生交通安全事故）同学们，面对着这些触目惊心的交通事故，让我们感受到生命如此美丽，又是如此脆弱，我们一定要爱惜生命提高交通安全意识，将这些惨痛教训铭记心间。（二）学习交通法规。这些血的教训向同学们敲响警钟！追根溯源，安全意识淡薄、麻痹大意、违章违纪是造成交通事故的根本原因。——希望每个同学心中都有交通安全这根弦，时时刻刻记着要遵守交通规则——接下来我们将以多种形式学习交通法规。1、认识交通标志你能说出下列交通图标的含义吗？2、我来选(1).遇到交通事故,你要打的报警电话是()A.120B.122C.110D.119(2).我国的道路通行原则是()A.右侧通行原则B.左侧通行原则C.中间通行原则(3).有人突然患病或受伤时,应该打()电话求助A.120B.122C.110D.119(4).经过一个有信号灯的铁道路口时,应该()A.直接从铁路上穿过去B.看看左右没有火车就快速走过去C.在准许通过的信号灯亮时通过(5).少年儿童()周岁以上可以骑自行车上街A.8B.12C.14D.16(6).每年的中小学生安全教育日是()A.每年3月的最后一个星期一B.每年3月的最后一个星期C.每年6月的最后一个星期一(7).步行或骑自行车不得进入以下道路（???）A．城市快车道??B．高速公路C．封闭的机动车道(8).如果看到有汽车撞人后要逃跑了，你应该及时（???)A．记下车牌号?B．告诉老师或家长C．不需要做任何事D.打交通事故或急救电话（三）列举不良交通行为（小组讨论，全班交流）1、马路上追逐打闹2、跨越隔离墩3、不满12周岁骑自行车4、在大街小路上踢足球、捉迷藏很危险5、在马路上地下铁路跳绳、跳方格，既妨碍交通，又不安全。6、在较窄的街区马路上行走，一定要靠右边走，不要几个小朋友横着走，以免妨碍他人行走和车辆行驶。7、骑车上下学一群并排行驶，这样既妨碍交通，又不文明，互相挤道，也容易摔跤或撞人。8、在马路上，有的同学喜欢骑着自行车闹着玩，这都是不安全的。9、隔着马路相互喊话、问候，也容易被往来的行人、车辆碰撞。10、当走路只顾着谈天说地，没有留意地面的情况时，很容易发生意外坐车时，能把头、手伸出车外，这样很容易在两车相会时出现意外事故。（四）主要交通安全常识：骑自行车九不准1、不在机动车道内骑自行车.2、自行车不逆向行驶.3、骑自行车时不带人.4、骑自行车不闯红灯.5、骑自行车不撑伞.6、骑自行车不攀扶其它车辆.7、骑自行车不双手离把.8、未满12周岁不骑车上路.9、骑自行车不突然强行猛拐交通安全五不坐：1、不坐超载的机动车。2、不坐无牌无证、报废的机动车。3、不坐非法营运机动车。4、不坐未经检验合格的机动车。5、不坐货运车辆、农用车辆、拖拉机。交通安全五不准：1、不准无证驾驶机动车。2、不准闯红灯。3、不准在公路上扶身并行，相互追逐、曲折竞驶或突然猛拐。4、不准翻越护栏。5、不准在公路上玩耍。（五）教师小结在父母眼里，我们是含苞欲放的花蕾；在老师眼里我们是展翅待飞的雏鹰。父母，老师，在期待着我们，美好的明天在期待着我们！为了更好地生活和学习，同学们一定要把交通安全牢记心中！

印度电池展印度电池展

/印度电池展2012年第七届印度国际电池展（POWER-ON-2012）展会时间：2012年2月3-5日展会地点：海德拉巴国际会展中心组委会：SHIVAMINFO展会周期：一年一届展会简介：由SHIVAMINFO主办的POWERON展会于2006年开始举办，作为印度最大的专业电池及电池应用展览会，它一直致力于为电池生产商、购买商以及技术人员提供一个广阔的相互交流的平台。展会自举办以来，参展商和参观人数不断增加，展会交易额也呈递增趋势。2011年展会共有220家参展商，主要来自澳大利亚、美国、日本、中国、印度及其周边国家。专业观众共有20000多人，主要有电池应用商、电池科研人员、电动车制造商、中间商、直接购买者等等，2011年展会交易额达到55亿卢比。与以往不同的是，由于电池应用范围越来越广，今年电动车及电动车应用电池也被列入展览范围内，这将给参展商和参观者提供更广阔的交流空间和展示平台。市场背景：根据印度半导体协会所公布资料，近年印度太阳能电池与模块产能正快速扩张。报告强调，印度当地缺乏制造太阳能电池所需矽晶圆供应商，相关零组件也高度依赖进口。同时，印度迫于项目开发者的需求，在国家太阳能计划的推动下，在2011年后允许使用国外光伏电池。这一举措将使得印度能够更容易并且更廉价的满足印度2022年的10GW的光伏安装量和10GW的光热安装量这一目标。除此以外，印度对于电动车，手机等其他电池的需求也持续增长展品范围：1.各类系列电池：锌锰干电池、碱锰电池及可充碱锰电池、各类扣式电池、一次锂电池、镉镍电池、氢镍电池、锂离子电池、铅酸电池、固体电解质电池、导电聚合物电池、超级电容器、锌空气电池、锌银电池、锌镍电池、热电池、燃料电池、太阳能电池及其它新型电池。2.各种用途电池：手机电池、对讲机电池、无绳电话用电池；通信电源用电池、笔记本电脑用电池、摄录一体机等声像设备用电池、电动工具用电池、电动玩具用电池、应急照明用电池、UPS电源系统用电池、电力开关柜用电池、电力储能型电池、电动汽车电池、电动摩托车电池、其它电动车辆用电池及其它特殊用途电池。3.各类电池用原材料、零配件：电池用锰粉、电解二氧化锰、锌材、锌粉、无汞锌粉、石墨粉等一次电池用材料；氢氧化亚镍、泡沫镍、储氢合金、钴酸锂、锰酸锂、改性石墨材料等二次电池正负极材料、各种电池隔膜材料；电池用添加剂；电池钢壳及其他零部件等；铅酸蓄电池用材料与配件。4.电池制造设备、测试仪器及环保设备等：各系列电池生产专用设备与生产线；电池产品自动化包装机械、贴标机；电池锌筒；计算机技术在电池生产、检测中的应用与装备.5.系列二次电池使用充电器；电池工业用三废处理设备；废旧电池回收处理技术与设备等。联系人：杜飞手机箱：machiwin@163.com电话Q：1336409868传真/p>

森林防火知识竞赛试卷及答案森林防火知识竞赛试卷及答案森林防火知识竞赛试卷及答案森林防火知识竞赛题班级：姓名：得分：1．《江西省森林防火条例》于（C）江西省第十一届人民代表大会常务委员会第三十三次会议修订通过，自（）起施行。A2012年12月19日；2013年1月1日B2013年1月16日；2013年2月1日C2012年9月27日；2012年10月1日D2012年10月1日；2012年12月1日2．森林防火工作实行（B）的方针。A打早、打小、打了B预防为主、积极消灭C以人为本、科学扑救D预防为主、扑救为辅3.森林防火工作实行（B）负责制。A各级人民政府行政领导B各级人民政府行政首长C各级林业主管部门领导D地方各级党委和政府领导4.各级人民政府应当按照分级负责、属地管理的原则建立健全森林防火责任制度，签订森林防火（A），实行目标管理。A责任书B保证书C合同书D意向书5．县级人民政府和有森林防火任务的管理机构应当根据实际需要建立（A）。A专业森林消防队伍B半专业森林消防队伍C群众扑火应急队伍D民兵扑火队伍6．森林防火是一项全年性的工作，每年（C）为江西省森林防火重点期。A1月1日至4月30日B5月1日至9月30日C10月1日至翌年4月30日D11月1日至翌年4月30日7．县级以上人民政府林业主管部门应当根据本行政区域内森林资源分布状况和森林火灾发生规律，划定（B），并向社会公布。A生产作业区B森林防火区C戒严区D禁入区8．森林防火重点期内，县级以上人民政府森林防火指挥机构和林区的乡（镇）人民政府、街道办事处应当建立（D）小时值班制度。A二B八C十二D二十四9．因造林整地、烧除疫木等特殊情况确需野外用火的，必须经（A）批准。A县级人民政府B县级人民政府林业主管部门C乡级人民政府D村（居）民委员会10．经批准的造林整地、烧除疫木等野外用火，用火单位或者个人应当指定专人负责，事先开好防火隔离带，组织扑火人员，在森林火险等级（C）以下天气条件下用火；用火结束后，应当检查清理火场，确保火种彻底熄灭，严防失火。A一级B二级C三级D四级11．广播、电视、报纸、政府门户网站等应当根据森林防火指挥机构的要求，（）向社会播发或者刊登森林火险天气预报。A有偿B无偿正确答案：B12．县级以上人民政府林业主管部门应当会同有关部门对森林火灾发生原因、肇事者、事故责任和损失情况等进行调查和评估，并在森林火灾扑灭后（）个工作日内向本级人民政府提交调查报告。A五B十C十五D三十正确答案：C13．因森林防火责任不落实，防控措施不力，造成野外火源失控、森林火灾频发、发生人员伤亡或者重大以上的森林火灾的县（市、区），由省人民政府森林防火指挥机构依照省有关规定将其确定为森林防火（），予以督促整改。A重点建设县（市、区）B重点管理县（市、区）C重点整改县（市、区）D重点督查县（市、区）正确答案：B14．（）以上人民政府应当将森林防火基础设施建设纳入国民经济和社会发展规划，并将森林防火专项经费纳入本级财政预算，加强预防、扑救和基础保障等工作。A省级B市级C县级D乡级正确答案：C15．在林区依托森林资源从事旅游活动的景区景点经营单位，应当采取森林防火措施，落实森林防火责任，每年将不低于（）用于本单位经营区域的森林防火。A百分之一的门票收入B百分之二的门票收入C百分之三的门票收入D百分之四的门票收入正确答案：C16．县级以上人民政府及其森林防火指挥机构、林业主管部门或者其他有关部门及其工作人员未依法履行《江西省森林防火条例》规定职责的，由其（）行政机关或者监察机关责令改正；情节严重的，对直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法给予处分；构成犯罪的，依法追究刑事责任。A上级B同级正确答案：A17．违反《江西省森林防火条例》规定，森林、林木、林地的经营单位或者个人未履行森林防火责任的，由县级以上人民政府林业主管部门责令改正，对单位处（）罚款；情节严重的处（）罚款。A五千元以上一万元以下，一万元以上二万元以下B一万元以上二万元以下，二万元以上五万元以下C二万元以上三万元以下，三万元以上五万元以下D三万元以上五万元以下，五万元以上十万元以下正确答案：B18．违反《江西省森林防火条例》规定，森林防火区内的电力、电信线路和石油天然气管道的森林防火责任单位以及其他有关单位或者个人，拒绝接受森林防火检查或者接到森林火灾隐患整改通知书逾期不消除火灾隐患的，由县级以上人民政府林业主管部门责令改正，给予警告，对单位并处（）罚款；情节严重的处（）罚款。A二千元以上五千元以下，五千元以上一万元以下B五千元以上八千元以下，八千元以上一万元以下C一万元以上二万元以下，二万元以上五万元以下D二万元以上五万元以下，五万元以上十万元以下正确答案：B19．违反《江西省森林防火条例》规定，森林防火重点期内在森林防火区烧荒、烧田埂草、烧草木灰、焚烧秸杆、吸烟、烤火、野炊、焚香烧纸、燃放烟花爆竹等野外用火的，由森林防火人员进行教育劝阻或者制止违法行为，并可由县级以上人民政府林业主管部门或者（）给予警告，处（）罚款；情节严重的，处（）罚款。A乡（镇）人民政府，一百元以上二百元以下，二百元以上五百元以下B森林公安机关，二百元以上一千元以下，一千元以上三千元以下C乡（镇）人民政府，二百元以上一千元以下，一千元以上三千元以下D林业工作站，二百元以上一千元以下，一千元以上三千元以下正确答案：C

高等数学习题答案(同济第六版下)高等数学习题答案(同济第六版下)

/高等数学习题答案(同济第六版下)第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意是点以任何方式趋于;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题8－11.求下列函数表达式:(1)，求 解：(2)，求解：2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:(1) 解：(2)解：(3)解：3.求下列极限:(1) 解：(2)解一：解二：(3) (4)解一：解二：(4)解一：解二：4.证明下列函数当时极限不存在:(1) 解：(2)解：5.下列函数在何处是间断的?(1) 解：(2)解：第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设在的某一邻域有定义，则，.的几何意义为曲线在点处的切线对轴的斜率.在任意点处的偏导数、称为偏导函数，简称偏导数.求时，只需把视为常数，对求导即可.2.高阶偏导数的偏导数的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推.二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：，其中后两个称为混合偏导数.若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1) 解：(2)解：(3) 解：(4)解：(5) 解：(6)解：(7) (8)解：(8)解：2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:（1），求解：（2），求解：3.求下列函数的高阶偏导数:(1)，求，，解：(2)，求，，，解：(3)，求，解：4.设，求和.解：5.设，求证解:6.设，证明证明:由轮换对称性,第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数在点处的全增量表示成则称在点可微，并称为在点的全微分，记作.2.可微的必要条件：若在可微，则（1）在处连续；（2）在处可偏导，且，从而.一般地，对于区域内可微函数，.3.可微的充分条件：若在的某邻域内可偏导，且偏导数在处连续，则在可微。注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。习题8－31.求下列函数的全微分(1) (2)解:(2)解:(3) 解:(4)解:(5) 解:所以(6)解:2.求函数，当时的全微分.解:3.求函数，当时的全增量与全微分.解:4.研究函数在点处的可微性.解:由于，所以在点连续，又又所以所以在点处可微5.计算的近似值.解：令，则，再设则6.已知边长的矩形，如果边增加5cm，而边减少10cm，求这个矩形的对角线的长度变化的近似值.解：对角线长为，则，所以第四节多元复合函数的求导法则本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则（链式法则）如下：1.设在可偏导，在相应点有连续偏导数，则在的偏导数为2.推广：(1)多个中间变量：设，则且(2)只有一个中间变量：设则且(3)只有一个自变量：设，则且

习题8－41.求下列复合函数的一阶导数(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2.求下列复合函数的一阶偏导数(1)解：(2)解：3.求下列复合函数的一阶偏导数（是类函数）(1) 解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：，，4.设且具有二阶连续偏导数，求解：5.已知，其中有二阶连续导数，求解：6.设，其中有连续二阶偏导数，求解：第五节隐函数的求导公式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.一个方程的情形（1）若方程确定隐函数，则.（2）若方程确定隐函数，则；.2.方程组的情形（1）若确定，，则，.（2）若确定，则，；，.习题8—51．求下列方程所确定的隐函数的一阶导数(1) 解：(2)解：(3)解：(4)解：2．求下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数(1) 解：(2)解：(3) 解：，(4)解：3．求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数(1)设解：(2)设解：(3)设 解：(4)设解：4．设，而是由方程所确定的隐函数，求解：又，所以5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数（1）设，求解：(2)设，求解：6.设，求解：又所以7.设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续偏导数.试证明

解：由，又所以第六节多元函数微分学的几何应用本节主要概念，定理，公式和重要结论1.空间曲线的切线与法平面设点，(1)参数方程情形：若，则切向量为；其中；切线方程为 ；法平面方程为 .(2)一般方程情形：若，则切向量为；切线方程为 ；法平面方程为 .2.空间曲面的切平面与法线设点.(1)隐式方程情形若，则法向量为；切平面为 ；法线为 .(2)显式方程情形若，则法向量为，切平面为 ；法线为 .(3)参数方程情形若，则法向量，切平面为 ；法线为 .习题8—61．求曲线对应的点处的切线和法平面方程.解：切线：法平面：2．求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程（1），点解：切平面：法线：（2），点解：切平面：即法线：3．求出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面.解：设曲线在点的切向量为平面的法向量为，由题意可知所以，该点为4．求椭球面上平行于平面的切平面方程.解：设曲面在点处的法向量为，则，由题意可知，令，又，所以，代入得所以切平面方程为或即或5．试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于1.证明：设为曲面上任一点，则曲面在该点处的法向量为，那么切平面的方程为即，该平面在三个坐标轴上的截距为，故6．求曲线在点处的切线和法平面方程.解：曲线在点处的切向量为所以切线的方程为法平面为，即第七节方向导数与梯度本节主要概念，定理，公式和重要结论1.方向导数(1)定义设在点的某邻域内有定义，是任一非零向量，，则在点处沿的方向导数定义为表示函数在点处沿方向的变化率.(2)计算公式若在点处可微，则对任一单位向量，有（此也为方向导数存在的充分条件）.2.梯度(1)定义设，则梯度grad为下式定义的向量：grad（或）.(2)方向导数与梯度的关系(3)梯度的特征刻画梯度是这样的一个向量，其方向为在点处增长率最大的一个方向；其模等于最大增长率的值.习题8—71．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数(1)为从点（1，2）到点（2，2+）的方向解：方向为，而所以(2)解：而所以2．求函数在抛物线上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数.解：抛物线在点处的切向量为3．求函数在点处沿方向角为的方向的方向导数.解：4．设具有一阶连续的偏导数，已给四个点，若在点处沿方向的方向导数等于3，而沿方向的方向导数等于26，求在点处沿方向的方向导数.解：所以5．设，求grad及grad解：6．问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：沿梯度方向的方向的方向导数最大第八节多元函数的极值及其求法本节主要概念，定理，公式和重要结论1.极大（小）值问题必要条件.若在点有极值且可偏导，则.使偏导数等于零的点称为的驻点（或稳定点）.驻点与不可偏导点都是可疑极值点，还须用充分条件检验.充分条件.设在区域内是类函数，驻点，记（1）当时，是极值，且是极小（大）值；（2）当时，不是极值；（3）当时，还需另作判别.2.最大（小）值问题首先找出在上的全部可疑极值点（设为有限个），算出它们的函数值，并与的边界上的最大.最小值进行比较，其中最大、最小者即为在上的最大、最小值.对于应用问题，若根据问题的实际意义，知目标函数在内一定达到最大（小）值，而在内的可疑极值点唯一时，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为在内的最大（小）值.3.条件极值（拉格朗日乘子法）求目标函数在约束方程下的条件极值，先作拉格朗日函数 ,然后解方程组，则可求得可疑极值点.对于二元以上的函数和多个约束条件，方法是类似的。习题8—81．求下列函数的极值（1）解：，故在处取得极大值（2）解：可疑极值点有四个，即点

-6

6

0

0

0

0

6

-6

-6

6

0

0

-36

-36

36

36

是否极值点

极大值点

极小值点

不是

不是

2．求下列函数在约束方程下的最大值与最小值（1）解：令最大值最小值（2）解：令最大值，最小值3．从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.解：令所以当直角三角形的两直角边时，该直角三角形的周长最大，且为4．求两曲面交线上的点与面距离最小值.解：设两曲面交线上的点为，由题意可得令，，，所以当时，到面的距离最短。5．求抛物线到直线之间的最短距离.解：设抛物线上任一点到直线的距离为，则令所以，点到直线的距离为为最小，且6．求表面积为1500cm2，全部棱长之和为200cm的长方体体积的最大值和最小值.解：设长方体的三条棱长分别为，由题意可知，令当时，所以当时，有最大和最小值，即7．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：曲线上任一点到坐标原点的距离为，则令当时，矛盾，所以，即，代入得所以，即习题9?11?设有一平面薄板(不计其厚度)?占有xOy面上的闭区域D?薄板上分布有密度为???(x?y)的电荷?且?(x?y)在D上连续?试用二重积分表达该板上全部电荷Q?解板上的全部电荷应等于电荷的面密度?(x?y)在该板所占闭区域D上的二重积分?2?设?其中D1?{(x?y)|?1?x?1??2?y?2}?又?其中D2?{(x?y)|0?x?1?0?y?2}?试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系?解I1表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x??1?y??2以及z?0围成的立体V的体积?I2表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x?0?x?1?y?0?y?2以及z?0围成的立体V1的体积?显然立体V关于yOz面、xOz面对称?因此V1是V位于第一卦限中的部分?故V?4V1?即I1?4I2?3?利用二重积分的定义证明?(1)(其中?为D的面积)?证明由二重积分的定义可知?其中??i表示第i个小闭区域的面积?此处f(x?y)?1?因而f(???)?1?所以??(2)(其中k为常数)?证明?(3)?其中D?D1?D2?D1、D2为两个无公共内点的闭区域?证明将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域和?n1?n2?n?作和?令各和的直径中最大值分别为?1和?2?又??max(?1?2)?则有?即?

4?根据二重积分的性质?比较下列积分大小?(1)与?其中积分区域D是由x轴?y轴与直线x?y?1所围成?解区域D为?D?{(x?y)|0?x?0?y?x?y?1}?因此当(x?y)?D时?有(x?y)3?(x?y)2?从而??(2)与?其中积分区域D是由圆周(x?2)2?(y?1)2?2所围成?解区域D如图所示?由于D位于直线x?y?1的上方?所以当(x?y)?D时?x?y?1?从而(x?y)3?(x?y)2?因而?(3)与?其中D是三角形闭区域?三角顶点分别为(1?0)?(1?1)?(2?0)?解区域D如图所示?显然当(x?y)?D时?1?x?y?2?从而0?ln(x?y)?1?故有[ln(x?y)]2?ln(x?y)?因而?(4)与?其中D?{(x?y)|3?x?5?0?y?1}?解区域D如图所示?显然D位于直线x?y?e的上方?故当(x?y)?D时?x?y?e?从而ln(x?y)?1?因而[ln(x?y)]2?ln(x?y)?故?5?利用二重积分的性质估计下列积分的值?(1)?其中D?{(x?y)|0?x?1?0?y?1}?解因为在区域D上0?x?1?0?y?1?所以0?xy?1?0?x?y?2?进一步可得0?xy(x?y)?2?于是?即?(2)?其中D?{(x?y)|0?x???0?y??}?解因为0?sin2x?1?0?sin2y?1?所以0?sin2xsin2y?1?于是?即?(3)?其中D?{(x?y)|0?x?1?0?y?2}?解因为在区域D上?0?x?1?0?y?2?所以1?x?y?1?4?于是?即?(4)?其中D?{(x?y)|x2?y2?4}?解在D上?因为0?x2?y2?4?所以9?x2?4y2?9?4(x2?y2)?9?25?于是??即?习题9?21?计算下列二重积分?(1)?其中D?{(x?y)||x|?1?|y|?1}?解积分区域可表示为D??1?x?1??1?y?1?于是

?(2)?其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域?解积分区域可表示为D?0?x?2?0?y?2?x?于是

?(3)?其中D?{(x?y)|0?x?1?0?y?1}?解?(4)?其中D是顶点分别为(0?0)?(??0)?和(???)的三角形闭区域?

解积分区域可表示为D?0?x???0?y?x?于是?

??2?画出积分区域?并计算下列二重积分?(1)?其中D是由两条抛物线?所围成的闭区域?解积分区域图如?并且D?{(x?y)|0?x?1?}?于是?(2)?其中D是由圆周x2?y2?4及y轴所围成的右半闭区域?解积分区域图如?并且D?{(x?y)|?2?y?2?}?于是

?(3)?其中D?{(x?y)||x|?|y|?1}?解积分区域图如?并且D?{(x?y)|?1?x?0??x?1?y?x?1}?{(x?y)|0?x?1?x?1?y??x?1}?于是

?e?e?1?(4)?其中D是由直线y?2?y?x及y?2x轴所围成的闭区域?解积分区域图如?并且D?{(x?y)|0?y?2?}?于是

?3?如果二重积分的被积函数f(x?y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积?即f(x?y)?f1(x)?f2(y)?积分区域D?{(x?y)|a?x?b?c?y?d}?证明这个二重积分等于两个单积分的乘积?即

证明?而?故?由于的值是一常数?因而可提到积分号的外面?于是得

4?化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)?其中积分区域D是?(1)由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域?解?积分区域如图所示?并且D?{(x?y)|}?或D?{(x?y)|}?所以或?(2)由x轴及半圆周x2?y2?r2(y?0)所围成的闭区域?解?积分区域如图所示?并且D?{(x?y)|}?或D?{(x?y)|}?所以?或?(3)由直线y?x?x?2及双曲线(x>0)所围成的闭区域?解?积分区域如图所示?并且D?{(x?y)|}?或D?{(x?y)|}?{(x?y)|}?所以?或?(4)环形闭区域{(x?y)|1?x2?y2?4}?解如图所示?用直线x??1和x?1可将积分区域D分成四部分?分别记做D1?D2?D3?D4?于是

用直线y?1?和y??1可将积分区域D分成四部分?分别记做D1?D2?D3?D4?如图所示?于是

5?设f(x?y)在D上连续?其中D是由直线y?x、y?a及x?b(b>a)围成的闭区域?证明??证明积分区域如图所示?并且积分区域可表示为D?{(x?y)|a?x?b?a?y?x}?或D?{(x?y)|a?y?b?y?x?b}?于是?或?因此?6?改换下列二次积分的积分次序?(1)?解由根据积分限可得积分区域D?{(x?y)|0?y?1?0?x?y}?如图?因为积分区域还可以表示为D?{(x?y)|0?x?1?x?y?1}?所以?(2)?解由根据积分限可得积分区域D?{(x?y)|0?y?2?y2?x?2y}?如图?因为积分区域还可以表示为D?{(x?y)|0?x?4?}?所以?(3)?解由根据积分限可得积分区域?如图?因为积分区域还可以表示为?所以

(4)?解由根据积分限可得积分区域?如图?因为积分区域还可以表示为?所以?(5)?解由根据积分限可得积分区域D?{(x?y)|1?x?e?0?y?lnx}?如图?因为积分区域还可以表示为D?{(x?y)|0?y?1?ey?x?e}?所以

(6)(其中a?0)．解由根据积分限可得积分区域?如图?因为积分区域还可以表示为

?所以?

7?设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2?y?x和x轴所围成?它的面密度为?(x?y)?x2?y2?求该薄片的质量?解如图?该薄片的质量为

?8?计算由四个平面x?0?y?0?x?1?y?1所围成的柱体被平面z?0及2x?3y?z?6截得的立体的体积?解四个平面所围成的立体如图?所求体积为

?

9?求由平面x?0?y?0?x?y?1所围成的柱体被平面z?0及抛物面x2?y2?6?z截得的立体的体积?解立体在xOy面上的投影区域为D?{(x?y)|0?x?1?0?y?1?x}?所求立体的体积为以曲面z?6?x2?y2为顶?以区域D为底的曲顶柱体的体积?即?10?求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积?解由消去z?得x2+2y2=6?2x2?y2?即x2?y2=2?故立体在xOy面上的投影区域为x2?y2?2?因为积分区域关于x及y轴均对称?并且被积函数关于x?y都是偶函数?所以

?11?画出积分区域?把积分表示为极坐标形式的二次积分?其中积分区域D是?(1){(x?y)|x2?y2?a2}(a>0)?解?积分区域D如图?因为D?{(???)|0???2??0???a}?所以

?(2){(x?y)|x2?y2?2x}?解积分区域D如图?因为?所以

?(3){(x?y)|a2?x2?y2?b2}?其中0?a?b?解积分区域D如图?因为D?{(???)|0???2??a???b}?所以

?(4){(x?y)|0?y?1?x?0?x?1}?解积分区域D如图?因为?所以

?12?化下列二次积分为极坐标形式的二次积分?(1)?解积分区域D如图所示?因为?所以?(2)?解积分区域D如图所示?并且?所示?(3)?解积分区域D如图所示?并且?所以

(4)?解积分区域D如图所示?并且?所以

13?把下列积分化为极坐标形式?并计算积分值?(1)?解积分区域D如图所示?因为?所以

?(2)?解积分区域D如图所示?因为?所以

?(3)?解积分区域D如图所示?因为?所以

?(4)?解积分区域D如图所示?因为?所以?

14?利用极坐标计算下列各题?(1)，其中D是由圆周x2?y2?4所围成的闭区域?解在极坐标下D?{(???)|0???2??0???2}?所以

?(2)，其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域?解在极坐标下?所以

?(3)?其中D是由圆周x2?y2?4?x2?y2?1及直线y?0?y?x所围成的第一象限内的闭区域?解在极坐标下?所以

?15?选用适当的坐标计算下列各题?(1)，其中D是由直线x?2，y?x及曲线xy?1所围成的闭区域?解因为积分区域可表示为?所以?(2)?其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域?解在极坐标下?所以?

(3)?其中D是由直线y?x?y?x?a?y?a?y?3a(a>0)所围成的闭区域?解因为积分区域可表示为D?{(x?y)|a?y?3a?y?a?x?y}?所以?(4)?其中D是圆环形闭区域{(x?y)|a2?x2?y2?b2}?解在极坐标下D?{(???)|0???2??a???b}?所以?16?设平面薄片所占的闭区域D由螺线??2?上一段弧()与直线所围成?它的面密度为?(x?y)?x2?y2?求这薄片的质量?解区域如图所示?在极坐标下?所以所求质量?17?求由平面y?0?y?kx(k>0)?z?0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积?解此立体在xOy面上的投影区域D?{(x?y)|0???arctank?0???R}??18?计算以xOy平面上圆域x2?y2?ax围成的闭区域为底?而以曲面z?x2?y2为顶的曲顶柱体的体积?解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D?{(x?y)|x2?y2?ax}?在极坐标下?所以?习题9?31?化三重积分为三次积分?其中积分区域?分别是?(1)由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0?z?0所围成的闭区域?解积分区域可表示为??{(x?y?z)|0?z?xy?0?y?1?x?0?x?1}?于是?(2)由曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的闭区域?解积分区域可表示为?于是?(3)由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所围成的闭区域?解曲积分区域可表示为?于是?提示?曲面z?x2?2y2与z?2?x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1?(4)由曲面cz?xy(c?0)??z?0所围成的在第一卦限内的闭区域?解曲积分区域可表示为?于是?提示?区域?的上边界曲面为曲面cz?xy?下边界曲面为平面z?0?2?设有一物体?占有空间闭区域??{(x?y?z)|0?x?1?0?y?1?0?z?1}?在点(x?y?z)处的密度为?(x?y?z)?x?y?z?计算该物体的质量?解?

3?如果三重积分的被积函数f(x?y?z)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积?即f(x?y?z)?f1(x)?f2(y)?f3(z)?积分区域??{(x?y?z)|a?x?b?c?y?d?l?z?m}?证明这个三重积分等于三个单积分的乘积?即?证明

?4?计算?其中?是由曲面z?xy?与平面y?x?x?1和z?0所围成的闭区域?解积分区域可表示为??{(x?y?z)|0?z?xy?0?y?x?0?x?1}?于是?5?计算?其中?为平面x?0?y?0?z?0?x?y?z?1所围成的四面体?解积分区域可表示为??{(x?y?z)|0?z?1?x?y?0?y?1?x?0?x?1}?于是

?提示?

?

6?计算?其中?为球面x2?y2?z2?1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域?解积分区域可表示为

于是?

7?计算?其中?是由平面z?0?z?y?y?1以及抛物柱面y?x2所围成的闭区域?解积分区域可表示为??{(x?y?z)|0?z?y?x2?y?1??1?x?1}?于是?8?计算?其中?是由锥面与平面z?h(R?0?h?0)所围成的闭区域?解当0?z?h时?过(0?0?z)作平行于xOy面的平面?截得立体?的截面为圆Dz??故Dz的半径为?面积为?于是??9?利用柱面坐标计算下列三重积分?(1)?其中?是由曲面及z?x2?y2所围成的闭区域?解在柱面坐标下积分区域?可表示为0???2??0???1??于是

?

(2)?其中?是由曲面x2?y2?2z及平面z?2所围成的闭区域?解在柱面坐标下积分区域?可表示为0???2??0???2??于是?10?利用球面坐标计算下列三重积分?(1)?其中?是由球面x2?y2?z2?1所围成的闭区域?解在球面坐标下积分区域?可表示为0???2??0?????0?r?1?于是?(2)?其中闭区域?由不等式x2?y2?(z?a)2?a2?x2?y2?z2所确定?解在球面坐标下积分区域?可表示为?于是

?11?选用适当的坐标计算下列三重积分?(1)?其中?为柱面x2?y2?1及平面z?1?z?0?x?0?y?0所围成的在第一卦限内的闭区域?解在柱面坐标下积分区域?可表示为?于是?别解?用直角坐标计算

?(2)?其中?是由球面x2?y2?z2?z所围成的闭区域?解在球面坐标下积分区域?可表示为?于是?(3)?其中?是由曲面4z2?25(x2?y2)及平面z?5所围成的闭区域?解在柱面坐标下积分区域?可表示为?于是?(4)?其中闭区域?由不等式?z?0所确定?解在球面坐标下积分区域?可表示为?于是?12?利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积?(1)z?6?x2?y2及?解在柱面坐标下积分区域?可表示为0???2??0???2???z?6??2?于是?(2)x2?y2?z2?2az(a?0)及x2?y2?z2(含有z轴的部分)?解在球面坐标下积分区域?可表示为?于是

?(3)及z?x2?y2?解在柱面坐标下积分区域?可表示为0???2??0???1??2?z???于是?(4)及x2?y2?4z?解在柱面坐标下积分区域?可表示为?于是?13?球心在原点、半径为R的球体?在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比?求这球体的质量?解密度函数为?在球面坐标下积分区域?可表示为0???2??0?????0?r?R?于是?习题9?41?求球面x2?y2?z2?a2含在圆柱面x2?y2?ax内部的那部分面积?解位于柱面内的部分球面有两块?其面积是相同的?由曲面方程z?得??于是?2?求锥面z?被柱面z2?2x所割下的部分的曲面的面积?解由z?和z2?2x两式消z得x2?y2?2x?于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2?y2?2x?由曲面方程得??于是?3?求底面半径相同的两个直交柱面x2?y2?R2及x2?z2?R2所围立体的表面积?解设A1为曲面相应于区域D?x2?y2?R2上的面积?则所求表面积为A?4A1?

?4?设薄片所占的闭区域D如下?求均匀薄片的质心?(1)D由?x?x0?y?0所围成?解令密度为??1?因为区域D可表示为?所以???所求质心为(2)D是半椭圆形闭区域?解令密度为??1?因为闭区域D对称于y轴?所以?(椭圆的面积)??所求质心为?(3)D是介于两个圆r?acos??r?bcos?(0?a?b)之间的闭区域?解令密度为??1?由对称性可知?(两圆面积的差)??所求质心是?5?设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y?x2及直线y?x所围成?它在点(x?y)处的面密度?(x?y)?x2y?求该薄片的质心?解????质心坐标为?6?设有一等腰直角三角形薄片?腰长为a?各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方?求这薄片的质心?解建立坐标系?使薄片在第一象限?且直角边在坐标轴上?薄片上点(x?y)处的函数为??x2?y2?由对称性可知???薄片的质心坐标为?7?利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度??1)?(1)z2?x2?y2?z?1?解由对称性可知?重心在z轴上?故?(圆锥的体积)??所求立体的质心为?(2)?(A?a?0)?z?0?解由对称性可知?重心在z轴上?故?(两个半球体体积的差)??所求立体的质心为?(3)z?x2?y2?x?y?a?x?0?y?0?z?0?解????所以立体的重心为?

8?设球体占有闭区域??{(x?y?z)|x2?y2?z2?2Rz}?它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方?试求这球体的质心?解球体密度为??x2?y2?z2?由对称性可知质心在z轴上?即?在球面坐标下?可表示为??于是

?

?故球体的质心为.9?设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下?求指定的转动惯量?(1)?求Iy?解积分区域D可表示为?于是?提示??(2)D由抛物线与直线x?2所围成?求Ix和Iy?解积分区域可表示为?于是??(3)D为矩形闭区域{(x?y)|0?x?a?0?y?b}?求Ix和Iy?解??10?已知均匀矩形板(面密度为常量?)的长和宽分别为b和h?计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量?解取形心为原点?取两旋转轴为坐标轴?建立坐标系???11?一均匀物体(密度?为常量)占有的闭区域?由曲面z?x2?y2和平面z?0?|x|?a?|y|?a所围成?(1)求物体的体积?解由对称可知

?(2)求物体的质心?解由对称性知?

?(3)求物体关于z轴的转动惯量?解?12?求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度??1)?解建立坐标系?使圆柱体的底面在xOy面上?z轴通过圆柱体的轴心?用柱面坐标计算??

13?设面密度为常量?的匀质半圆环形薄片占有闭区域?求它对位于z轴上点M0(0?0?a)(a?0)处单位质量的质点的引力F?解引力F?(Fx?Fy?Fz)?由对称性?Fy?0?而

?

?14?设均匀柱体密度为??占有闭区域??{(x?y?z)|x2?y2?R2?0?z?h}?求它对于位于点M0(0?0?a)(a?h)处单位质量的质点的引力?解由柱体的对称性可知?沿x轴与y轴方向的分力互相抵消?故Fx?Fy?0?而

?总习题九1?选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论?(1)设有空间闭区域?1?{(x?y?z)|x2?y2?z2?R2?z?0}??2?{(x?y?z)|x2?y2?z2?R2?x?0?y?0?z?0}?则有________?(A)?(B)?(C)?(D)?解(C)?提示?f(x?y?z)?x是关于x的奇函数?它在关于yOz平面对称的区域?1上的三重积分为零?而在?2上的三重积分不为零?所以(A)是错的?类似地?(B)和(D)也是错的?f(x?y?z)?z是关于x和y的偶函数?它关于yOz平面和zOx面都对称的区域?1上的三重积分可以化为?1在第一卦部分?2上的三重积分的四倍?(2)设有平面闭区域D?{(x?y)|?a?x?a?x?y?a}?D1?{(x?y)|0?x?a?x?y?a}?则?________?(A)?(B)?(C)?(D)0?解(A)?

2?计算下列二重积分?(1)?其中D是顶点分别为(0?0)?(1?0)?(1?2)和(0?1)的梯形闭区域?解积分区域可表示为D?{(x?y)|0?x?1?0?y?x?1}?于是

?(2)?其中D?{(x?y)|0?y?sinx?0?x??}?解?(3)?其中D是圆周x2?y2?Rx所围成的闭区域?解在极坐标下积分区域D可表示为?于是

?(4)?其中D?{(x?y)|x2?y2?R2}?解因为积分区域D关于x轴、y轴对称?所以??因为?所以?3?交换下列二次积分的次序?(1)?解积分区域为?并且D又可表示为D?{(x?y)|?2?x?0?2x?4?y??x2?4}?所以?(2)?解积分区域为D?{(x?y)|0?y?1?0?x?2y}?{(x?y)|1?y?3?0?x?3?y}?并且D又可表示为?所以?(3)?解积分区域为?并且D又可表示为?所以?4?证明??证明积分区域为D?{(x?y)|0?y?a?0?x?y}?并且D又可表示为D?{(x?y)|0?x?a?x?y?a}?所以?5?把积分表为极坐标形式的二次积分?其中积分区域D?{(x?y)|x2?y?1??1?x?1}?