新高考二轮复习真题源导数专题讲义第41讲 三角函数之分段分析法（解析版）

第41讲三角函数之分段分析法1．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，，单调递增；当时，单调递减，，单调递减．当，时，，，于是，单调递减，其中，．于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，，则恒成立，因此函数在，上无零点．综上，有且仅有2个零点．2．已知函数，证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）函数，，，令，，，函数在上单调递减，又当时，，而，存在唯一，使得，当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减，函数在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，是函数的极大值点，且，，又当时，；，在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，当时，设，则，在上单调递减，，①当时，，当时，，无零点，②时，，又，当时，，无零点，当时，，函数在区间内无零点，函数有且仅有2个零点．3．已知函数．求证：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在上有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）因为，所以，设，则，则当时，，所以即在上递减．又，且是连续函数，故在上有唯一零点．当时，；当时，，所以在内递增，在上递减，故在上存在唯一极大值点．（2）因为，所以，设，则，则当时，，所以在内单调递减．由（1）知，在内递增，在内递减，又，所以，又的图象连续不断，所以存在，使得；当内时，，在内递减，又因为，且的图象连续不断，所以存在，使得；当时，，，所以，从而在上没有零点，综上，有且仅有两个零点．4．已知函数（1）证明：，（2）判断的零点个数，并给出证明过程．【解答】解：（1）证明：因为，，，所以为偶函数，不妨设，，，所以，，，所以，当，时，，当，时，，即函数在，为减函数，在，为增函数，又，，所以，即在，为减函数，故，即，故当，时，；（2）①由（1）得：当，时，函数有且只有1个零点为，②当，时，，即在，为增函数，即（3），即函数在，无零点，③当，时，，即函数为增函数，又，（3），即存在使得，即当时，，当时，，即函数在，为减函数，在，为增函数，又，（3），即函数在，只有1个零点，又函数在为偶函数，综合①②③可得：函数在，有1个零点，在无零点，在，无零点，故函数在上有3个零点．5．已知函数．（1）若，求证：当时，；（2）若在上有且仅有1个极值点，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：当时，，令，，则，在上单调递减，故（1），所以；（2）解：由题知，，．①当，时，，此时单调递增，无极值点；②当，时，设，则，此时单调递增；又（1），，存在唯一的，满足，即，当时，，此时单调递减，当，时，，此时单调递增，故，故，此时单调递增，无极值点；③当，时，，，此时单调递增，无极值点；综合①②③知在，上无极值点．又在上有且仅有1个极值点，只能在，上有唯一极值点．令．函数与函数，，的图象只有一个交点，，即，所以的取值范围为．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在，上的零点个数．【解答】解：（1），其定义域为，，①当时，因为．所以在上单调递增；②当时，令得．令得．所以在上单调递减，上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，上单调递增．（2）当时，，，①当时，因为，所以在单调递减．所以，斤以在上无零点；②当时，因为单调递增，且．所以存在，使，当时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，且，所以，又因为，所以，所以在上存在一个零点，所以在上有两个零点．③当时，，所以在上单调递增，因为，所以在上无零点．综上所述，在上的零点个数为2．7．（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在上有且仅有一个极大值点，且．【解答】解：（1）求导，，，因为，，，故，函数在定义区间递增；（2）由，令，当，由（1）得，递减，由，，根据零点存在性定理，存在唯一零点，，当时，，递增；当，时，，递减，当，时，，所以递减，故在，为减函数，所以有唯一的极大值点，由在，递减，得，又，当时，，，故，综上，命题成立．8．已知函数，，．（1）证明：关于的方程在上有且仅有一个实数根；（2）当时，，求实数的最大值．【解答】解：（1）证明：令，则，所以因此当时，，，当时，，所以在上单调递减，在单调递增，又因为所以在无零点，在只有一个零点，因此方程有且仅有一个根（2）方法一：令，则，①若，则当时，，所以在上单调递增，又，所以恒成立；②当，则，因为，所以，从而因此当时，，所以函数在单调递增，又，因此，所以函数在单调递增，又，在恒成立③当时令，因为必有一解，记为，所以当时，，当时，因此当时，单调递减，当时，单调递增，又，所以在恒成立，所以在上单调递减，又，所以与题意矛盾，综上，所以的最大值为3．方法二：令，则，令，则，设，，令，，则，对称轴，，当时，，在上单调递增，又，恒成立，故的最大值为3．9．已知函数，其中，．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在，上零点的个数．【解答】解：（1）时，，，，，，，故切线方程是：；（2），设，，故递减，，又时，，①若，即时，使，当时，，递增，当，时，，递减，在处取极大值，不存在极小值，②若，即，，在，递增，此时无极值，（3）由（2）可知：若时，由上问可知：，即时函数没有零点，若时，，时，递增，，时，递减，由得，从而，再设，则从而关于递增，①若，，此时，，若得或，时无零点，得，时有1个零点，当时，，，有1个零点，因此时无零点，时有1个零点；②，，此时，，，，，设，则，故，若即，即时无零点，若即，即时有1个零点，综上，，，时无零点，，时有1个零点．10．已知函数．（1）当时，求零点的个数；（2）当，时，求极值点的个数．【解答】解：（1）由题意，，，由于，，又，，在，上单调递增，，，函数在，上有唯一零点；（2）由题意，，，则，令，，①当时，，，，函数在，上无极值点，②当时，，当时，，，在，上递增，，即，当时，，，在，递增，即，是在，上的极小值点，③当时，，，则，无极值点，④当时，，，，在，上递减，且，，在，上有唯一零点，当时，，当时，，故是函数的一个极大值点，综上，函数存在2个极值点．11．已知函数，，，．（1）若函数在处的切线斜率为，求的值；（2）若任意，，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1），，函数在处的切线斜率为，，解得：；（2）由（1）得：，，，令，解得：或，①当时，，在，上，，故，递减，在，上，，故，递增，要使任意，，恒成立，即有，解得：