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一个80后的独白相似三角形判定定理的证明(含解析)相似三角形判定定理的证明(含解析)相似三角形判定定理的证明(含解析)相似三角形判定定理的证明一、选择题1.如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF=60°，则∠B等于().

A.60°

B.50°

C.70°

D.65°

2.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标(－2,1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()?

A.(74，72)、(-12，4)

B.(32，3)、(-23，4)

C.(32，3)、(-12，4)

D.(74，72)、(-23，4)

3.P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

4.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()

A.5

B.136

C.1

D.56

5.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为()

A.（3，2）

B.（3，1）

C.（2，2）

D.（4，2）

6.下列说法中正确的有（）

①位似图形都相似；

②两个等腰三角形一定相似；

③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；

④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．若AD?BC=9，则直径AB的长为（）

A．3

B．6

C．9

D．

8.如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（?）

A．8对；

B．6对；

C．4对；

D．2对．

9.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为（）

A．

B．

C．

D．2

10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=3，DC=5，则△ABC与△DCA的面积比为（）

A．2：3

B．3：5

C．9：25

D．：

11.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）

A．（，3）、（-，4）

B．（，3）、（-，4）

C．（，）、（-，4）

D．（，）、（-，4）

12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正确结论为（）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

13.如图，点D、E、F、G为△ABC两边上的点，且DE∥FG∥BC，若DE、FG将△ABC的面积三等分，那么下列结论正确的是（）

A．=

B．==1

C．=+

D．=

14.已知点A、B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（）

A．

B．2

C．

D．3

15.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）

A．S1=S3

B．S2=2S4

C．S2=2S1

D．S1?S3=S2?S4

16.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是()

A.y=12x

B.y=12x

C.y=34x

D.y=43x

17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为()

A.2.5

B.1.6

C.1.5

D.1

18.如图，已知：△ABC、△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），到如图所示的位置时，BC分别与AD、AE相交于点F、G，则图中

共有（）对相似三角形．

A．1

B．2

C．3

D．4

19.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是（）

A．2

B．

C．

D．2.5

20.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列给出的结论中，正确的有（）

①△ADE∽△ACD；???

②当BD=6时，△ABC与△DCE全等；

③△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；

④0＜CE≤6.4．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

21.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

22.如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M，E在AD上，点F在边AB上，并且DM=1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM的和最小时，ME的长度为（）

A．

B．

C．

D．

23.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB边上，OM、ON分别交边AC、BC于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为______；当时，的值为______（用含n的式子表示）．其中正确的选项是（）

A．

B．

C．

D．；

25.如图，直线l与反比例函数y=在第一象限内的图象交于A、B两点，且与x轴的正半轴交于C点．若AB=2BC，△OAB的面积为8，则k的值为（）

A．6

B．9

C．12

D．18

26.如图，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为时△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似()

A.55

B.255

C.55或255

D.255或355

27.在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=45．有下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③当△DCE为直角三角形时，BD=8；④3.6≤AE＜10．其中正确的结论是()

A.①③

B.①④

C.①②④

D.①②③

28.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则OEBF等于()

A.12

B.13

C.55

D.253

29.在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为()

A.3：4

B.4：3

C.7：9

D.9：7

30.如图，?ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥DE，垂足为G，DG=323cm，则EF的长为().

A.2cm

B.3cm

C.1cm

D.233cm

二、填空题31.如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=，则EG=__________．

32.如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为__________．

33.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG：PC的值为__________．

34.在△ABC中，AB=9，AC=5，AD是∠BAC的平分线交BC于点D（如图），△ABD沿直线AD翻折后，点B落到点B1处，如果∠B1DC=∠BAC，那么BD=__________．

35.如图，在△ABC中，AB=AC=3，高BD=，AE平分∠BAC，交BD于点E，则DE的长为__________．

36.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．若AB=5，AD=8，AE=4，则AF的长为__________．

37.如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得的影长是9米，两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是__________米．

38.如图所示，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，当AD=4，DG=时，则CH的长为__________．

39.如图，在直角三角形ABC中，点E在线段AB上，过点E作EH⊥AC交AC于点H，点F在BC的延长线上，连结EF交AC于点O．若AB=2，BC=1，且，则=__________，OH=__________．

40.如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则=__________．

41.如图，正方形ABCD的边长为3，E为AD的中点，连接BE、BD、CE，则图中阴影部分的面积是__________.

42.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．若AD=6，AB=8，E、F分别是OD、CD的中点，则△DEF的面积为__________．

43.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=__________

44.如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B′，AB′的延长线交DC于点F，若FC=2，则正方形的边长为__________

45.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN的最小值为__________．

46.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，点P为BC的中点，点E、F分别为边AB、AC上的点，若∠EPF=45°，∠FEP=60°，则CF=__________．

47.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为__________．

48.如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M是边BC的中点，则点D到AM的距离DE等于__________．

49.如图，在?ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为__________．

50.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是__________．

51.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EFFC等于__________

52.已知如图：正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC至点F，使CF=CE，BE交DF于点G，若GF=2，DG=3，则BG=__________．

53.如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为__________．

54.如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=8，CB=2，当BD=__________时，△ACB∽△CBD．

55.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，且CE=2BE，△DEF的面积等于2，则此矩形的面积等于__________．

56.如图，边长为20的正方形ABCD截去一角成为五边形ABCEF，其中DE=10，DF=5，若点P在线段EF上使矩形PMBN有最大面积时，则PE的长度为__________．

57.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点M在边上，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连接AN．若△ADN的面积等于14，则BM的长等于__________．

58.如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD边外的一点，满足：CE∥BD，BE=BD，则CE=__________．

59.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=16，BD=20，一动点P从点B向点D运动，当BP的值是__________时，△PAB与△PCD是相似三角形．

60.如图，∠ABC=∠ACD，AD=6，BD=2，则AC=__________．

三、解答题61.已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF?BA，CF与DE相交于点G．

（1）求证：DF?AB=BC?DG；

（2）当点E为AC的中点时，求证：．

62.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：△AEH∽△ABC；

（2）求这个正方形的边长与面积。

63.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，∠BAE=30°，AD=3，求AE和BF的长．

64.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形。

65.如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，始终保持AM和MN垂直．

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，梯形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？

66.如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．

（1）求证：四边形ABDF是菱形；

（2）求证：DH2=HE?HC．

67.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．

（1）求证：AB?AD=BF?ED；

（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．

68.如图，正方形ABCD中，

（1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求；

（2）E的位置改动为边BC上一点，且=k，其他条件不变，求的值．

69.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=9，AC=12，BC=16，点E是边BC上一个动点，∠EAF=∠BAC，AF交CD于点F、交BC延长线于点G，设BE=x．

（1）使用x的代数式表示FC；

（2）设=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△AEG是等腰三角形时，直线写出BE的长．

70.已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．

（1）求证：=；

（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．

71.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，动点P从点D出发，以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒4个单位的速度向点D匀速运动，运动的时间为t秒（0＜t＜2）．

（1）连接CQ，当t为何值时CQ=BC；

（2）连接AP，BQ，若BQ⊥AP，求△ABP的面积；

（3）求证：PQ的中点在△ABD的一条中位线上．

72.如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，连BD，交AC于E．

（1）如图（1），若∠BAC=60°，求的值；

（2）如图（2），CF⊥AB于F，交BD于G，求证：CG=FG；

（3）若AB=13，tan∠ABC=，直接写出EC的长为__________．

73.定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段AD的长．

74.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD?CE=CD?DE．

75.如图，?ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=12CD．

（1）求证：△ABF∽△CEB；

（2）若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积。

76.如图,AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点向D点移动。

（1）当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△CPD？

（2）当P点移动到离B点多远时，∠APC=90°？

77.如图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点G，H分别在AC，AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，求正方形的面积.

78.如图，矩形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE交CD于G，交BC延长线于F，∠DAE=∠DCE，∠AEB=∠CEB．

（1）求证：矩形ABCD是正方形；

（2）若AE=2EG，求EG与GF之间的数量关系．

79.如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．

（1）求证：△DCP∽△QBP．

（2）若=，求的值．

80.如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，

（1）PN=2PQ，求矩形PQMN的周长

（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？

81.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．

（1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

82.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：AP=AO；

（2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

83.在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．

84.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．

（1）求证：AD2=DG?BD；

（2）联结CG，求证：∠ECB=∠DCG．

85.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．

（1）求证：=；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．

相似三角形判定定理的证明试卷的答案和解析1.答案：

A；

试题分析：

试题分析：

由题中条件不难得出△AEG与△CFG为相似三角形，进而根据平行线的性质求解即可。

解：可证△AEG∽△CFG

∵∠EAF=60°，

∴∠GCF=60°，

∴∠B=∠GCF=60°．

故选：A.

2.答案：

C；

试题分析：

试题分析：

首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，

∵四边形AOBC是矩形，

∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，

在△ACF和△OBE中，

{∠F=∠BEO=90°∠CAF=∠BOEAC=OB，∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4-1=3，

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴?ADOE=ODBE，即1OE=23，∴OE=32，即点B（32，3），∴AF=OE=32，∴点C的横坐标为：-（2-23）=-?12，∴点C（-12，4）．故选：C.

3.答案：

C

试题分析：

试题分析：根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．

试题解析：如图所示：

当PD∥BC时，△APD∽△ACB；

当PE∥AB时，△CPE∽△BAC；

当PF⊥AB时，△APF∽△ABC

故过点P的△ABC的相似线最多有3条．

故选：C．

4.答案：

D；

试题分析：

试题分析：

过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到AEAF=ADFH，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论.

解：过F作FH⊥AE于H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AF=CE，

∴DE=BF，

∴AF=3-DE，

∴AE=4+DE2，

∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，

∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，

∴∠DAE=∠AFH，

∴△ADE∽△AFH，

∴AEAF=ADFH，

∴AE=AF，

∴4+DE2=3-DE，

∴DE=56，

故选：D.

5.答案：

A；

试题分析：

试题分析：

直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案。

解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，

∴ADBG=13，

∵BG=6，

∴AD=BC=2，

∵AD∥BG，

∴△OAD∽△OBG，

∴OAOB=13，

∴OA2+OA=13，

解得：OA=1，

∴OB=3，

∴C点坐标为：（3，2），

故选：A．

6.答案：

A

试题分析：

试题分析：根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断．

试题解析：①正确．

②两个等腰三角形一定相似，错误不一定相似．

③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81，错误周长比应该是2：3，

④不相似，三边不一定成比例．

故选A．

7.答案：

B

试题分析：

试题分析：先证明∠DOC=90°，再证明△AOD∽△BCO得OA2=AD?BC，由此即可解决问题．

试题解析：如图，连接OC．

∵AM和BN是它的两条切线，

∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM∥BN，

∴∠ADE+∠BCE=180°

∵DC切⊙O于E，

∴∠ODE=∠ADE，∠OCE=∠BCE，

∴∠ODE+∠OCE=90°，

∴∠DOC=90°，

∴∠AOD+∠COB=90°，

∵∠AOD+∠ADO=90°，

∴∠AOD=∠OCB，

∵∠OAD=∠OBC=90°，

∴△AOD∽△BCO，

∴，

∴OA2=AD?BC=9，

∴OA=3，

∴AB=2?OA=6．

故选B．

8.答案：

B

试题分析：

试题分析：根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，

∴△GAB∽△BCF，

还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），

∴共有6对．

故选：C．

9.答案：

B

试题分析：

试题分析：首先根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出=，进而得出的值．

试题解析：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∵AD=4，DB=2，

∴===．

则的值为．

故选：B．

10.答案：

C

试题分析：

试题分析：先证明△ABC∽△DCA，再由面积的比等于相似比的平方，即可得出结论．

试题解析：∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠CAD，

∵∠B=∠ACD=90°，

∴△ABC∽△DCA，

∴=（）2=（）2=；

故选：C．

11.答案：

B

试题分析：

试题分析：首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

试题解析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，

∵四边形AOBC是矩形，

∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，

在△ACF和△OBE中，

，

∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4-1=3，

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴，

即，

∴OE=，

即点B（，3），

∴AF=OE=，

∴点C的横坐标为：-（2-）=-，

∴点C（-，4）．

故选：B．

12.答案：

C

试题分析：

试题分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；

②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；

③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；

④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF?BF=AC?BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，依此即可作出判断．

试题解析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB==，故①正确；

②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，

∵MG⊥AC，

∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，

∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，

∴MH=MB=CG，

∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，

∴CE=AF=BF，

∴FG是△ACB的中位线，

∴GC=AC=MH，故②正确；

③如图2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠5=45°．

将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，

则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；

∵∠2=45°，

∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，

∴∠DCE=∠2．

在△ECF和△ECD中，

，

∴△ECF≌△ECD（SAS），

∴EF=DE．

∵∠5=45°，

∴∠BDE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；

④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，

∵∠A=∠5=45°，

∴△ACE∽△BFC，

∴=，

∴AF?BF=AC?BC=1，

由题意知四边形CHMG是矩形，

∴MG∥BC，MH=CG，

MG∥BC，MH∥AC，

∴=；=，

即=；=，

∴MG=AE；MH=BF，

∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，

故④正确．

故选：C．

13.答案：

C

试题分析：

试题分析：根据相似三角形的判定及其性质，求出线段AD、AB、BD、BF、DF之间的数量关系，即可解决问题．

试题解析：∵DE、FG将△ABC的面积三等分，

∴设△ADE、△AFG、△ABC的面积分别为λ、2λ、3λ

∵DE∥FG∥BC，

∴△ADE∽△AFG∽△ABC，

∴=，，，

∴，，BF=，

DF=，BD=，

∴，，，

，

∴该题答案为C．

14.答案：

B

试题分析：

试题分析：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，求出∠1=∠3，证△OAN∽△BOM，求出两三角形的面积，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．

试题解析：

过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，

∵OA⊥OB，

∴∠ANO=∠BMO=∠AOB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∴△OAN∽△BOM，

∵点A、B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上，

∴S△AON=1，S△BOM=4，

∴==2（相似三角形的面积比等于相似比的平方），

故选B．

15.答案：

B

试题分析：

试题分析：证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出结论．

试题解析：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S△ABD=S△ACD，

∴S1=S3，故命题正确；

B、∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

又∵BC=2AD，

∴=（）2=，

则S2=2S4正确．故命题错误；

C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．

∵△AOD∽△COB，

又∵BC=2AD，

∴==，即=，

∴=，

则设S△OBC=2x，则S△ABC=3x，则S△AOB=x，

即S2=2S1，故命题正确；

D、设AD=y，则BC=2y，设OM=z，则ON=2z，

则S2=×2y×2z=2yz，S4=×y×z=yz，

S△ABC=BC?MN=×2y?3z=3yz，

则S1=S3=3yz-2yz=yz，

则S1?S3=y2z2，

S2?S4=y2z2，

故S1?S3=S2?S4正确．

故选B．

16.答案：

B；

试题分析：

试题分析：

根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得DEAB=ADAP，然后整理即可得到y与x的关系式．

解：矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAE=∠APB，

∵∠B=∠AED=90°，

∴△ABP∽△DEA，

∴DEAB=ADAP

∴y3=4x，

∴y=12x．

故选：B．

17.答案：

B；

试题分析：

试题分析：

连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出CD=CE=4-x，BE=6-（4-x），可证明△AOD∽OBE，再由比例式得出AD的长即可。

解：连接OD、OE，

设AD=x，

∵半圆分别与AC、BC相切，

∴∠CDO=∠CEO=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形ODCE是矩形，

∴OD=CE，OE=CD，

又∵OD=OE，

∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，

∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，

∴∠A=∠BOE，

∴△AOD∽OBE，

∴ADOE=ODBE，

∴x4-x=4-xx+2，

解得x=1.6，

故选：B．

18.答案：

D

试题分析：

试题分析：根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

试题解析：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，

∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，

∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，

∴∠CFA=∠BAG，

∴△CAF∽△BGA，

∴△BGA∽△AGF∽△CAF；

还有△ABC≌△DEA，

∴相似三角形共有4对．

故选：D．

19.答案：

B

试题分析：

试题分析：延长BA和CD交于O，求出∠OBE=∠CBE，∠BEO=∠BEC=90°，证△BEO≌△BEC，推出OE=CE，根据面积公式求出△OBE的面积是2，OD：OC=1：4，证出△OAD∽△OBC，求出△OAD的面积=，即可求出答案．

试题解析：延长BA和CD交于O，

∵BE平分∠ABC，BE⊥CD，

∴∠OBE=∠CBE，∠BEO=∠BEC=90°，

在△BEO和△BEC中，

∴△BEO≌△BEC（ASA），

∴OE=CE，

∵CE：ED=2：1，△BEC的面积为2，

∴△OBE的面积是2，OD：OC=1：4，

∵AD∥BC，

∴△OAD∽△OBC，

∴=（）2=，

∴S△OAD==×（2+2）=，

∴四边形ABED的面积S=2-=，

故选B．

20.答案：

D

试题分析：

试题分析：①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．

②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得．

③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．

④依据相似三角形对应边成比例即可求得．

试题解析：①∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠ADE=∠B

∴∠ADE=∠C，

∴△ADE∽△ACD；

故①正确，

②作AG⊥BC于G，

∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，

∴BG=ABcosB，

∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16，

∵BD=6，

∴DC=10，

∴AB=DC，

在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA）．

故②正确，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED，

∵∠AED=90°，

∴∠ADC=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，

BD=8．

当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，

∵∠CDE=90°，

∴∠BAD=90°，

∵∠B=α且cosα=．AB=10，

∴cosB==，

∴BD=12.5．

故③正确．

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，

设BD=y，CE=x，

∴=，

∴=，

整理得：y2-16y+64=64-10x，

即（y-8）2=64-10x，

∴0＜x≤6.4．

故④正确．

正确的有①②③④．

故选：D．

21.答案：

C

试题分析：

试题分析：证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．

试题解析：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，

又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，

∴∠CPD+∠BPE=90°，

又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠CPD，

又∵∠B=∠C，

∴△BPE∽△CDP，

∴，即，则y=-x2+x，y是x的二次函数，且开口向下．

故选：C．

22.答案：

B

试题分析：

试题分析：延长AD到M′，使得DM′=DM=1，连接PM′，如图，当PB+PM的和最小时，M′、P、B三点共线，易证△DPM′∽△CPB，根据相似三角形的性质可求出DP，设AE=x，则PE=x，DE=2-x，然后在Rt△PDE中运用勾股定理求出x，由此可求出EM的值．

试题解析：延长AD到M′，使得DM′=DM=1，连接PM′，如图．

当PB+PM的和最小时，M′、P、B三点共线．

∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=2，

∴DC=AB=4，AD=BC=2，AD∥BC，

∴△DPM′∽△CPB，

∴==，

∴DP=PC，

∴DP=DC=．

设AE=x，则PE=x，DE=2-x，

在Rt△PDE中，

∵DE2+DP2=PE2，

∴（2-x）2+（）2=x2，

解得：x=，

∴ME=AE-AM=-1=．

故选B．

23.答案：

D

试题分析：

试题分析：由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：

①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；

②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．

试题解析：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，

①当BM≤4时，

∵点P′与点P关于BD对称，

∴P′P⊥BD，

∴P′P∥AC，

∴△P′BP∽△CBA，

∴，即，

∴PP′=x，

∵OM=4-x，

∴△OPP′的面积y=PP′?OM=×x（4-x）=-x2+3x；

∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；

②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；

综上所述：y与x之间的函数图象大致为．

故选：D．

24.答案：

A

试题分析：

试题分析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得=，=，由于=，则=，=，所以=，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°==，即，则=，利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，==，且当n=2时=时，=．

试题解析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，

∵∠ACB=90°，

∴OD∥BC，OE∥AC，

∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，

∴=，=，

∵=，

∴=，，

∴=，=，

∴=，

在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°==，，

∴=，

∵∠POQ=90°，

而∠DOE=90°，

∴∠DOP=∠QOE，

∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，

∴==，

即=时，=，

故选A．

25.答案：

A

试题分析：

试题分析：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，先证明△CBE∽△CAD，利用相似比得到AD=3BE，设B（t，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到A点坐标为（t，），根据反比例函数的比例系数的几何意义得S△AOD=S△BOE，由于S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，所以S△AOB=S梯形ABED，然后利用梯形的面积公式计算即可求得．

试题解析：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，

∵BE∥AD，

∴△CBE∽△CAD，

∴=，

∵AB=2BC，

∴CB：CA=1：3，

∴==，

∴AD=3BE，

设B（t，），则A点坐标为（t，），

∵S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，

而S△AOD=S△BOE，=k，

∴S△AOB=S梯形ABED=（+）?（t-t）=8，

解得，k=6．

故选A．

26.答案：

C；

试题分析：

试题分析：

根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可。

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∵BE=CE，

∴AB=2BE，

又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，

∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN

∴DM2+DN2=MN2=1

∴DM2+14DM2=1，

解得DM=255；

②DM与BE是对应边时，DM=12DN，

∴DM2+DN2=MN2=1，

即DM2+4DM2=1，

解得DM=55．

∴DM为255或55时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。

故选：C．

27.答案：

C；

试题分析：

试题分析：

①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；

②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；

③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；

④依据相似三角形对应边成比例即可求得。

解：①∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∴△ADE∽△ACD；

故①正确；

②作AG⊥BC于G，

∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=45，

∴BG=ABcosB，

∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×45=16，

∵BD=6，

∴DC=10，

∴AB=DC．

在△ABD与△DCE中，{∠BAD＝∠CDE∠B＝∠CAB＝DC，

∴△ABD≌△DCE（ASA）．

故②正确；

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED，

∵∠AED=90°，

∴∠ADC=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且cosα=45，AB=10，

∴BD=8．

当∠CDE=90°时，易证△CDE∽△BAD，

∵∠CDE=90°，

∴∠BAD=90°，

∵∠B=α且cosα=45，AB=10，

∴cosB=ABBD=45，

∴BD=252．

即当△DCE为直角三角形时，BD=8或252．

故③错误；

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，

设BD=y，CE=x，

∴ABDC=BDCE，

∴1016-y=yx，

整理得：y2-16y+64=64-10x，

即（y-8）2=64-10x，

∴0＜x≤6.4，

∵AE=AC-CE=10-x，

∴3.6≤AE＜10．

故④正确．

故正确的结论为：①②④．

故选：C．

28.答案：

C；

试题分析：

试题分析：

由四边形ABCD是正方形，证得△ADE≌△BAF，进而证得BF=AE，利用两角对应相等易得△AOE∽△ABF，那么OEBF=AEAF问题得解。

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，

∵DE⊥AF，

∴∠ADE+∠DAO=∠DAO+∠OAF=90°

∴∠ADE=∠OAE，

在△ADE和△BAF中，

{∠ADE＝∠OAFAD＝AB∠DAE＝∠ABF?，

∴△ADE≌△BAF，

∴BF=AE，

∵AE=12AB，

∴BF=12AB，

设BF=1，则AB=2，

∴AF=5，

∵∠AOE=∠B=90°．

∠OAE=∠FAB，

∴△AOE∽△ABF，

∴?OEBF＝AEAF?＝?15?＝55?．

故选:C.

29.答案：

D；

试题分析：

试题分析：

利用平行四边形的性质得出△FAE∽△FBC，进而利用相似三角形的性质得出S△FAES△FBC=916，进而得出答案。

解：∵在平行四边形ABCD中，

∴AE∥BC，AD=BC，

∴△FAE∽△FBC，

∵AE：ED=3：1，

∴AEBC=34，

∴S△FAES△FBC=916.

∴S△AFE：S四边形ABCE=9：7．

故选：D．

30.答案：

B；

试题分析：

试题分析：

利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠CDE=∠CED，进而求出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出EF的长。

解：∵在?ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，

∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，

∴∠CDE=∠CED，

∵AB=3cm，AD=6cm，

∴DC=EC=3cm，

∵CG⊥DE，DG=332cm，

∴EG=332cm，

∴DE=33cm，

∵AD∥BC，

∴△AFD∽△CFE，

∴ADEC=DFEF，则63=33-EFEF，

解得：EF=3．

故选：B．

31.答案：

试题分析：

试题分析：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由点F，点G关于直线DE的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，证得△FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ，证得APHQ为正方形，利用正方形性质联系题中所给数据计算出正方形边长，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG长．

试题解析：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，

∵点F，点G关于直线DE的对称，

∴DF=DG，

正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，

∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD与Rt△CDG中，，

∴Rt△AFD≌Rt△CDG，

∴∠ADF=∠CDG，

∴∠FDG=∠ADC=90°，

∴△FDG是等腰直角三角形，

∵DH⊥CF，

∴DH=FH=FG，

∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，

∴四边形APHQ是矩形，

∴∠PHQ=90°，

∵∠DHF=90°，

∴∠PHF=∠DHQ，又在△PFF与△DQH中有，

∴△HPF≌△DHQ，

∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；

设正方形APHQ边长为a，则在Rt△MQH中，有（a-3）2+a2=17，解得a=4；

∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，

又易证△FPH∽△EHG，则有，即EG=，

又FH2=22+42=20，PH=4，

∴EG=5

故答案为：5．

32.答案：

试题分析：

试题分析：由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON．

试题解析：∵AB=3，BM=1，

∴AM=，

∵∠ABM=90°，BN⊥AM，

∴△ABN∽△BNM∽△AMB，

∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，

∴AN=，MN=，

∵AB=3，CD=3，

∴AC=，

∴AO=，

∵，，

∴，且∠CAM=∠NAO

∴△AON∽△AMC，

∴，

∴ON=．

故答案为：．

33.答案：

试题分析：

试题分析：设正方形ABCD的边长为a，则AB=BC=AD=a，根据正方形性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，由勾股定理求出AC=a，延长FP交AD于M，过B作BN∥AC交AF的延长线于N，证△NFB∽△AFC求出BF=（-1）a，CF=（2-）a，证△BOF∽△DOM求出DM=BF=（-1）a，求出GM=（）a，证△GMP∽△CFP，得出=，即可求出答案．

试题解析：如图：

设正方形ABCD的边长为a，则AB=BC=AD=a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，

由勾股定理得：AC=a，

延长FP交AD于M，过B作BN∥AC交AF的延长线于N，

则∠N=∠CAF，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF，

∴∠N=∠BAF，

∴AB=BN=a，

∵BN∥AC，

∴△NFB∽△AFC，

∴=，

∴=，

∴BF=（-1）a，

∴CF=a-（-1）a=（2-）a，

∵AD∥BC，

∴△BOF∽△DOM，

∴=，

∵OD=OB，

∴DM=BF=（-1）a，

∵点G是AD的中点，

∴DG=AG=a，

∴GM=a-（-1）a=（）a，

∵AD∥BC，

∴△GMP∽△CFP，

∴=，

∴==，

故答案为：．

34.答案：

试题分析：

试题分析：如图，作辅助线；证明△ADB′∽△DCB′，得到；求出AB′、CB′的长度；进而求出B′D的长度，即可解决问题．

试题解析：如图，由题意得：△ABD≌△AB′D，

∴BD=B′D，∠B′AD=∠BAD（设为α）；

∵∠B′DC=∠BAC，

∴∠B′DC=∠B′AD；而∠B′=∠B′，

∴△ADB′∽△DCB′，

∴①；

∵AD平分∠CAB，

∴，

设B′D=BD=9λ，则CD=5λ；

∵△ABD≌△AB′D，

∴AB′=AB=9，CB′=9-5=4，代入①并解得：

B′D=6，

∴BD=6．

故答案为6．

35.答案：

试题分析：

试题分析：延长AE交BC于点F．在Rt△ADB中，根据勾股定理得到AD，进一步得到CD；在Rt△BDC中，根据勾股定理得到BC；根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到CF，在Rt△AFC中，根据勾股定理得到AF，通过AA证明△DAE∽△FAC，根据相似三角形的性质即可求解．

试题解析：延长AE交BC于点F．

∵在△ABC中，AB=AC=3，高BD=，

∴在Rt△ADB中，AD==2，

∴CD=AC-AD=1，

∴在Rt△BDC中，BC==，

∵AE平分∠BAC，

∴CF=，∠AFC=90°，

∴在Rt△AFC中，AF==，

∵∠DAE=∠FAC，∠ADE=∠AFC=90°，

∴△DAE∽△FAC，

∴DE：AD=CF：AF，

DE===．

故答案为：．

36.答案：

试题分析：

试题分析：如图，证明AE⊥AD，求出DE的长度；证明△ADF∽△DEC，得到；运用AD=8，DE=4，CD=AB=5，求出AF的长度，即可解决问题．

试题解析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，∠B=∠ADC；而AE⊥BC，

∴AE⊥AD，∠ADF=∠DEC；

∴DE2=AE2+AD2=16+64=80，

∴DE=4

而∠AFE=∠B，

∴∠AFE=∠ADC，即∠ADF+∠DAF=∠ADF+∠EDC，

∴∠DAF=∠EDC；

∴△ADF∽△DEC，

∴；而AD=8，DE=4，CD=AB=5，

∴AF=2．

故答案为2．

37.答案：

试题分析：

试题分析：如图，∠CPD=90°，QC=4m，QD=9m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，则可判断Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可计算出PQ．

试题解析：如图，∠CPD=90°，QC=4m，QD=9m，

∵PQ⊥CD，

∴∠PQC=90°，

∴∠C+∠QPC=90°，

而∠C+∠D=90°，

∴∠QPC=∠D，

∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，

∴=，即=，

∴PQ=6，

即旗杆的高度为6m．

故答案为6．

38.答案：

试题分析：

试题分析：作EN⊥CD于N，如图，先根据正方形的性质得AD=CD=4，DG=DE=，∠GDF=∠EDF，∠ADC=90°，则∠EDC=45°，再证明△ADG≌△CDE得到∠1=∠2，接着在等腰Rt△DEN中计算出DN=EN=DE=1，所以CN=CD-DN=3，CE=，然后证明△CEN∽△CMD，利用相似比可计算出DM=，CM=，则AM=AD-DM=，最后证明△AMH∽△CMD，利用相似比可计算出HM=，再把CM与HM相加即可得到CH的长．

试题解析：作EN⊥CD于N，如图，

∵四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，

∴AD=CD=4，DG=DE=，∠GDF=∠EDF，∠ADC=90°，

∴∠EDC=45°，

在△ADG和△CDE中，

，

∴△ADG≌△CDE，

∴∠1=∠2，

在Rt△DEN中，∵∠EDN=45°，

∴DN=EN=DE=×=1，

∴CN=CD-DN=3，

∴CE===，

∵EN∥DM，

∴△CEN∽△CMD，

∴==，即==，

∴DM=，CM=，

∴AM=AD-DM=4-=，

∵∠1=∠2，∠AMH=∠CMD，

∴△AMH∽△CMD，

∴=，即=，

∴HM=，

∴CH=CM+HM=+=．

故答案为．

39.答案：

试题分析：

试题分析：首先由勾股定理求得AC的长，然后过点E作DE∥BF，从而可得到△AED∽△ABC，△EDO∽△FCO，从而可证明；然后再证明△DHD∽△AEH，从而可得到AH=4OD，然后由△EDO∽△FCO可得到OF=4OE，然后得到AC=5OH，最后即可求得OH的长度．

试题解析：过点E作ED∥BF．

∵ED∥BF．

∴△AED∽△ABC，△EDO∽△FCO．

∴，．

∴．

又∵CF=2AE，

∴CF=4ED．

∴．

∵∠EDH=∠AED，∠EHD=∠AED=90°，

∴△EHD∽△AED．

∵∠A=∠A，∠AHE=∠AED，

∴△AED∽△AEH．

∴△DHE∽△AEH．

∴AH=2EH=4DH．

∵△EDO∽△FCO，

∴．

∴OC=4OD．

∴AH+OC=4DH+4OD=4HO．

∴AC=5HO．

在Rt△ABC中，AC==．

∴OH==．

故答案为：；．

40.答案：

试题分析：

试题分析：先由==，根据比例的性质可得==，又∠APB=∠MPN，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得△APB∽△MPN，由相似三角形对应边成比例得到==．

试题解析：∵==，

∴==，

∴1+=1+=，

∴==，

∴==，

又∵∠APB=∠MPN，

∴△APB∽△MPN，

∴==．

故答案为．

41.答案：

3；

试题分析：

试题分析：

CE与BD相交于F点，如图，由DE∥BC可判断△DEF∽△BCF，则EFFC=DFBF=DEBC=12，于是利用三角形面积公式可得S△DCF=S△EBF=2S△DEF，而S△CDES=94,所以S△DCF=S△EBF=23?×94×32，然后计算图中阴影部分的面积。

解：CE与BD相交于F点，如图，

∵E为AD的中点，

∴DE=32，

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴EFFC=DFBF=DEBC=12，

∴S△DCF=S△EBF=2S△DEF，

而S△CDE=12×3×32=94，

∴S△DCF=S△EBF=23×94=32，

∴图中阴影部分的面积=2×32=3．

故答案为：3．

42.答案：

试题分析：

试题分析：先求出矩形的面积，再由矩形的性质得出△OCD的面积=矩形的面积的，证明EF是△OCD的中位线，得出△EFD∽△OCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出结果．

试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，矩形ABCD的面积=AB?AD=8×6=48，

∴△OCD的面积=×48=12，

∵E、F分别是OD、CD的中点，

∴EF是△OCD的中位线，

∴EF∥OC，EF=OC，

∴△EFD∽△OCD，

∴=（）2=，

∴S△EFD=S△OCD=×12=3．

故答案为：3．

43.答案：

223；

试题分析：

试题分析：

延长BF交CD于H．根据勾股定理求得AC的长，根据ASA可以证明△ABE≌△BCH，则CH=BE=1，再根据相似三角形的性质解。

解：延长BF交CD于H．

在正方形ABCD中，正方形的边长是2，根据勾股定理，得AC=22．

∵AB=BC，∠ABE=∠BCH=90°，∠BAE=∠CBH，

∴△ABE≌△BCH，

∴CH=BE=1．

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CHF，

∴AF:CF＝AB:CH=2，

∴CF=13?AC=223．

故答案为：223．

44.答案：

4；

试题分析：

试题分析：

认真审题，连接EF，可以证明△EB′F≌△ECF，进而可以证明△ABE∽△ECF，得出两个三角形的边之间的比例关系，据此即可得出本题的答案。

解：如图，连接EF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠C=90°，

∵把△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B′，E为BC的中点，

∴BE=EC=BB′，∠B=∠AB′E=∠EB′F=90°，∠AEB=∠AEB′

在Rt△EB′F和Rt△ECF中，

{EB'＝ECEF＝EF，

∴在Rt△EB′F≌Rt△ECF中，

∴∠B′EF=∠CEF，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∴FCBE=ECAB，

即：2BE=12，

解得：BE=4，

∴BC=8．

故答案为：4.

45.答案：

试题分析：

试题分析：首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出结论，由条件把AM、AN用含x的式子表示出来，由勾股定理把MN表示出来解答即可．

试题解析：∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∵AD是BC边上的高，

∴∠DAC+∠C=90°

∴∠B+∠DAC=90°，

∴∠BDM+∠MDA=∠ADN+∠MDA=90°

∴∠BDM=∠ADN，

∴△BMD∽△AND，

∴，

∵，

∴DM：DN=，

∵△BMD∽△AND，

∴∴，

∴AN=BM∴，

设BM为x，

∴AN=，AM=6-x，

∵∠BAC=90°，

∴MN2=（6-x）2+（x）2=（）2+，

故MN的最小值是，

故答案为：．

46.答案：

试题分析：

试题分析：由等腰直角三角形的性质求得∠B=∠C=45°；然后由三角形内角和定理、邻补角的定义求得∠BPE=∠CFP，证得△BPE∽△CFP；过点F作EM⊥EP于点M，设EM=a，求出FM=a、PM=a、FP=a，得，再利用相似三角形对应边成比例可得CF长．

试题解析：如图，

∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，

∴∠B=∠C=45°，BP=CP=BC=，

∴∠2+∠3=135°．

又∵∠EPF=45°

∴∠1+∠3=135°

∴∠1=∠2，

∴△BPE∽△CFP．

过点F作EM⊥EP于点M，设EM=a．

在Rt△EMF中，∵∠FEP=60°，

∴FM=a，

在Rt△FMP中，得到PM=a，FP=a，

则，

∵△BPE∽△CFP，

∴，即，

解得：CF=3-．

故答案为：3-．

47.答案：

试题分析：

试题分析：△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．

试题解析：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，

∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，

∴△ACB∽△AED，

又A′为CE的中点，

∴=，

即=，

∴ED=2．

故答案为：2．

48.答案：

试题分析：

试题分析：首先根据矩形的性质，求得AD∥BC，即可得到∠DAE=∠AMB，又由∠DEA=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△DAE∽△AMB，由△ABM∽△ADE可以得到，根据勾股定理可以求得AD的长，继而得到答案．

试题解析：在矩形ABCD中，

∵M是边BC的中点，BC=3，AB=2，

∴AM=，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AMB，

∵∠DEA=∠B=90°，

∴△DAE∽△AMB，

∴，

∴DE=，

故答案为．

49.答案：

试题分析：

试题分析：由于平行四边形的对边相等，根据BE、EC的比例关系即可得到BE、AD的比例关系；易证得△BFE∽△DFA，已知了BE、AD的比例关系（即两个三角形的相似比），根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解．

试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC；

∵BE：EC=1：2，

∴BE：BC=1：3，即BE：AD=1：3；

易知：△BEF∽△DAF，

∴S△BFE：S△DFA=BE2：AD2=1：9．

50.答案：

试题分析：

试题分析：设BF与CE相交于点H，利用△BCH和△BGF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之间的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

试题解析：如图，设BF与CE相交于点H，

∵CE∥GF，

∴△BCH∽△BGF，

∴=，

即=，

解得CH=，

∴DH=CD-CH=2-=，

∵∠A=120°，

∴AB、GF之间的距离=（2+3）×=，

∴阴影部分的面积=××=．

故答案为：．

51.答案：

12；

试题分析：

试题分析：

利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案。

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△DEF∽△DCF，

∴EFFC=DEBC，

∵点E是边AD的中点，

∴DE=AE=12BC，

∴EFFC=DEBC=12．

故答案为：12．

52.答案：

试题分析：

试题分析：由正方形ABCD中，CF=CE，易证得△DCF≌△BCE，则可得DF=BE，继而可证得BG⊥DF，则可得△DGE∽△BGF，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

试题解析：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC，CD⊥BC，

∴∠BCD=∠DCF=90°

∴在△DCF与△BCE中，

，

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴∠FDC=∠EBC，DF=BE=DG+GF=3+2=5，

∵∠FDC+∠F=90°，

∴∠EBC+∠F=90°，

∴∠BGF=90°，

∴∠DGE=∠BGF=90°，

∴△DGE∽△BGF，

∴，

∵GE=BG-BE=BG-5，

∴，

解得：BG=6．

故答案为：6．

53.答案：

试题分析：

试题分析：先设正方形的边长为a，再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面积，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根据S阴影=S□ABCD-4S△AED+4S△AEL计算即可．

试题解析：设正方形的边长为a，则S□ABCD=a2，

∵AE=BF=CG=DH=AB，

∴AE=BF=CG=DH=a，

∴AF==a，

∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，

∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，

∴S△AED=×a?a=a2．

∵Rt△AED≌Rt△BFA，

∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，

∴∠ALE=∠DAE=90°，

∴△AEL是直角三角形，

∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，

∴Rt△AEL∽Rt△AFB，

∴==，即==，

解得，AL=a，EL=，

∴S△AEL=AL?EL=×a×=，

同理可得，S△AEL=S△BNF=S△CKG=S△DHJ=，

∴S阴影=S正方形ABCD-4S△AED+4S△AEL=a2-4S△AED+4S△AEL=a2-4×a2+4×=a2，

∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为a2：a2=．

54.答案：

试题分析：

试题分析：欲证△ACB∽△CBD，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠ACB=∠CBD=90°，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．

试题解析：∵∠ACB=∠CBD=90°，

当时，即，

即BD=时，△ACB∽△CBD．

55.答案：

试题分析：

试题分析：首先由矩形的性质，得到AD∥BC，AD=BC，即可得到△AFD∽△EFB，由相似三角形对应边成比例，可得AD：BE=DF：BF，求得DF：BF的值，则可求得△DBC的面积，问题的解．

试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△AFD∽△EFB，

∴AD：BE=DF：BF，

∵CE=2BE，

∴DF：BF=3：1，

∵S△DEF=2，

∴S△BEF=，

∴S△BED=2+=

∴S△DEC=

∴S△DBC=S△DEB+S△DEC==8，

∴S矩形fBCD=2S△DBC=16．

故答案为：16．

56.答案：

试题分析：

试题分析：延长NP交ED于G点，设PG=x，先由PG∥DF，得出△EPG∽△EFD，根据相似三角形的性质得出EG=2x，MP=10+2x，进而得到S矩形PNBM是x的二次